Méthode de Newton

La méthode d'approximation de Newton

Une méthode que nous pouvons utiliser pour nous aider à estimer la ou les racines d'une fonction s'appelle la méthode de Newton (oui, elle a été découverte par le même Newton que tu as étudié en physique) !

Formule de la méthode de Newton

La formule de la méthode de Newton stipule que pour une fonction différentiable F(x) et un point initial _x0 proche de la racine

$x_{n+1}=x_n-\frac{F\left(x_n\right)}{F\text{'}\left(x_n\right)}$ où n = 0, 1, 2, ...

Avec de multiples itérations de la méthode de Newton, la séquence de _xn convergera vers une solution pour F(x) = 0.

Comme la dérivée de F(x) se trouve dans le dénominateur de la fraction, si F(x) est une fonction constante dont la dérivée première est 0, la méthode de Newton ne fonctionnera pas. De plus, comme nous devons calculer la dérivée analytiquement, les fonctions dont la dérivée première est complexe peuvent ne pas fonctionner avec la méthode de Newton.

Le calcul de la méthode de Newton

En gardant à l'esprit la formule de la méthode de Newton, regarde la représentation graphique ci-dessous.

La méthode de Newton trouve une ligne tangente au point initial pour trouver une approximation de la racine de f(x) - StudySmarter Original

La méthode de Newton vise à trouver une approximation pour la racine d'une fonction. Sur le graphique, le zéro de la fonction est le point vert, f(x) = 0. La méthode de Newton utilise un point initial (le _x0 rose sur le graphique) et trouve la ligne tangente à ce point. Le graphique montre que la ligne tangente à $x_0$ touche l 'axe des x près de la racine .

À la deuxième itération, la méthode de Newton construit une nouvelle ligne tangente basée sur la dernière approximation trouvée par la ligne tangente - StudySmarter Original.

Le nouveau point, _x1, trouvé par la ligne tangente à _x0, est translaté sur le graphique de la fonction, et une nouvelle ligne tangente est trouvée. Ce processus est répété jusqu'à ce qu'une estimation plausible soit trouvée pour f(x) = 0.

Lorsque la méthode de Newton échoue

Dans les cas où nous ne pouvons pas résoudre directement la racine d'une fonction, la méthode de Newton est une méthode appropriée à utiliser. Cependant, dans certains cas, la méthode de Newton peut échouer :

• La ligne tangente ne traverse pas l'axe des x

  • Se produit lorsque f'(x) est 0

• Différentes approximations peuvent approcher différentes racines s'il y en a plusieurs.

  • Cela se produit lorsque le _x0 initial n'est pas assez proche de la racine.

• Les approximations ne s'approchent pas du tout de la racine

  • L'approximation oscille d'avant en arrière

Examinons un exemple où la méthode de Newton échoue.

Supposons que nous ayons la fonction

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2}+\frac{1}{1+x^2}$

Cette fonction a des racines à $x=-1$ et $x=1$. Cependant, supposons que tu veuilles utiliser la méthode de Newton pour trouver les racines de $f\left(x\right)$. Avec une estimation initiale de $x=2$la méthode de Newton s'approchera de la racine $x=-1$ plutôt que de la racine $x=1$ même si $x=2$ est plus proche de $x=1$. Essaie toi-même et tu verras !

Exemples de la méthode de Newton

Exemple 1

Méthode de Newton pour l'approximation des racines carrées

Il est également possible d'utiliser la méthode de Newton pour obtenir une approximation de la racine carrée d'un nombre ! La formule d'approximation de la racine carrée de la méthode de Newton est presque identique à la formule de la méthode de Newton.

Pour calculer une racine carrée $x=\sqrt{a}$ pour $a>0$ et avec une estimation initiale de $x$ de $x_0$

$x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right)$

Approximation de la racine carrée à l'aide de la méthode de Newton Exemple

Appliquons l'équation d'approximation de la racine carrée de la méthode de Newton à un exemple !