Limites à l'infini et asymptotes

Lien entre les limites à l'infini et les asymptotes horizontales

Comme leur nom l'indique, les asymptotes horizontales sont horizontales, c'est-à-dire parallèles à l'axe \(x\). La pente de toute ligne horizontale est \(0\). Reprenons l'exemple d'une fonction décroissante :

Figure 2 - L'asymptote horizontale d'une courbe définie par \N(y=f(x)\N)

Remarque que la limite de la fonction converge vers une valeur finie comme \(x \rightarrow \infty\), ce qui donne lieu à l'asymptote horizontale de la fonction.

On peut voir que l'asymptote (la ligne droite) ne croise jamais ni même ne rencontre la courbe elle-même. Il peut sembler qu'elles se rencontrent à un moment donné, mais elles se rapprochent de plus en plus.

Lorsque la valeur de \(x\) tend vers \(+\infty\), la fonction tend vers une certaine valeur. Lorsque la valeur de \(x\N) s'approche de \N(-\N), la valeur de la fonction commence à exploser, elle s'approche de \N(+\N).

Pour une courbe décrite par la fonction \N(y=f(x)\N), si la fonction converge vers une valeur constante, \N(b\N), alors l'équation de l'asymptote horizontale est donnée par \N(y=b\N). En d'autres termes, \N(y=f(x) \Nrightarrow b\N) comme \N(x \Nrightarrow +\Nfty\N).

La bonne façon de l'indiquer est d'utiliser la notation de la limite.

\[\lim_{x \à +\infty} f(x)=b \N]

Tout ce que cette équation signifie, c'est que la limite de la fonction \N(f(x)\N) lorsque \N(x)\N tend vers l'infini est \N(b\N).

D'après cet énoncé, \N(b\N) pourrait être une asymptote de \N(f(x)\N), mais ce n'est pas forcément le cas. Alors, comment trouver une asymptote horizontale ?

Comment trouver les asymptotes horizontales d'une fonction ?

Il n'existe pas d'algorithme ou de méthode universelle pour trouver les asymptotes horizontales, mais il y a quelques règles que tu peux utiliser pour identifier les asymptotes horizontales des fonctions rationnelles. Si une fonction rationnelle est constituée d'un polynôme au numérateur et au dénominateur, alors tu peux trouver les asymptotes en suivant les étapes suivantes :

• Si le degré du polynôme au numérateur est supérieur au degré du polynôme au dénominateur, alors il n'existe pas d'asymptote horizontale pour cette courbe.

• Si le degré du polynôme du numérateur est inférieur au degré du polynôme du dénominateur, l'équation de l'horizontale est toujours \(y=0\).

• Si le degré du numérateur est égal au degré du dénominateur, alors divise par le coefficient directeur (le nombre multiplié par la variable du degré le plus élevé) du numérateur par le coefficient directeur du dénominateur. Le quotient de ces coefficients directeurs est la valeur y de l'asymptote horizontale.

Asymptotes verticales et calcul de la limite à l'infini

Lesasymptotesverticales sont des asymptotes qui sont parallèles à l'axe des y. Dans ce cas, pour une valeur finie de \(x\), la fonction est indéfinie. Examinons un autre exemple dans la fonction ci-dessous. Au lieu de la variable indépendante, la variable dépendante atteint la valeur de \(+\infty\). Elle peut également tendre vers \(-\infty\) pour une valeur finie de \(x\).

Figure 3 - Asymptote verticale d'une courbe définie par \N(y=f(x)\N)

Ici, la courbe s'approche de \(x=a\), mais ne la touche jamais. Par conséquent, la ligne verticale \(x=a\) est une asymptote verticale. Encore une fois, si la valeur tend vers quelque chose sans jamais l'atteindre, elle peut être exprimée mathématiquement comme une limite qui diverge :

$$ \lim_{x \à a} f(x)= +\infty \ \ \text{or} \ \ \lim_{x \to a} f(x)=-\infty$$

où l'asymptote verticale est donnée par \(x=a\).

Comment trouver les asymptotes verticales d'une fonction ?

Tu as vu comment une asymptote verticale est définie mathématiquement, la fonction doit s'approcher d'une certaine valeur \(x=a\) pour que \(y\) s'approche de \(+\infty\) ou de \(-\infty\). Tu dois avoir une valeur de \(a\) telle que les limites deviennent indéfinies \((+\infty \ \text{or} \N -\infty)\N).

As-tu vu des exemples de ce genre pendant tes études de mathématiques ? Oui, tu en as vu ! Diviser par zéro est un grand pas en avant en maths !

Ainsi, pour chaque fonction rationnelle , tu dois trouver une valeur de \(x\N) telle que le dénominateur devienne \N(0\N). Par exemple,

\[y = \frac{5x}{x-3}.\]

est indéfini lorsque \(x=3\).

Certaines fonctions ne sont jamais égales à \N(0\N) pour toute valeur réelle de \N(x\N), par exemple, une classe de fonctions exponentielles n'atteint jamais la valeur \N(0\N). Cela implique que ces fonctions n'ont pas d'asymptotes verticales. Prenons un exemple pour voir à quoi ressemble le processus ci-dessus dans la pratique :

Relation entre les limites à l'infini et les asymptotes obliques

Les asymptotes ne doivent pas toujours être exactement horizontales ou verticales, elles peuvent avoir n'importe quelle orientation. Les asymptotes qui forment un angle aigu avec l'axe des x sont appeléesasymptotes obliques.

Figure 4 - Asymptote oblique d'une courbe définie par \(y=f(x)\)

La notion est très similaire à celle des asymptotes horizontales, puisqu'il faut considérer la limite de la fonction à l'infini.

Si tu considères la limite de la fonction comme \(x \rightarrow \infty\), la courbe converge vers une certaine valeur qui peut être décrite par une droite, qui est l'asymptote oblique de la courbe.

Si une fonction définit une courbe par \N(y=f(x)\N), alors l'asymptote glissante de la courbe est donnée par \N(y=mx+b\N), si et seulement si les limites ci-dessous sont satisfaites :

$$ \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}=m \N-text{et} \ \lim_{x \to +\infty}|f(x)-mx|=b$$

Si les limites ci-dessus ne sont pas finies, alors il n'y a pas d'asymptotes obliques à la courbe.

Limites à l'infini et asymptotes Exemples