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Sauter à un chapitre clé
Après avoir coupé la pomme de terre en tranches, tu peux commencer à réfléchir à l'envers. Peux-tu remettre toutes les tranches ensemble pour reconstituer la pomme de terre ? C'est peut-être un peu difficile à faire car, une fois coupée en tranches, tu ne peux pas reconstituer la pomme de terre. Cependant, le volume des tranches est égal au volume de la pomme de terre avant que tu ne la coupes en tranches.
L'idée de trancher est très utile pour trouver les volumes, car si les tranches sont très fines, tu peux utiliser les formules pour trouver les surfaces et reconstituer le solide par intégration.
Que signifie la détermination des volumes par découpage ?
Tu as probablement déjà trouvé des formules pour trouver les volumes de certains corps géométriques, par exemple si l'on te donne un cône, tu peux trouver son volume à l'aide de la formule suivante
\[ V_{\text{cône}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h,\]
ou peut-être qu'on te donne un cylindre, dont le volume peut être trouvé avec la formule suivante
\[ V_{{text{cylindre}} = \pi r^2 h.\N]
Il y a aussi le volume d'une pyramide, qui, quelle que soit la forme de sa base, peut être trouvé avec
\[ V_{\text{pyramide}} = \frac{1}{3}A h.\]
Mais d'où viennent toutes ces formules ? Pourquoi \( \frac{1}{3} \) sont-elles impliquées ?
La réponse à cette question devient plus facile si tu coupes l 'un de ces solides en tranches , obtenant ainsi une section transversale du corps.
Une coupe transversale d'un corps est une vue qui montre à quoi ressemblerait le corps si tu le coupais.
Prenons le cas d'un cône. Tu peux voir ici une coupe transversale obtenue en coupant le cône à mi-hauteur. La coupe est effectuée de façon à ce qu'elle soit parallèle à la base du cône.
Figure 1. La section transversale parallèle à la base d'un cône est un cercle
Ceci est particulièrement utile car la formule pour trouver l'aire d'un cercle est la suivante
\[ A_{\text{cercle}} = \pi r^2, \]
tu peux donc additionner toutes les sections transversales du cône au moyen de l'intégration pour obtenir le volume d'un cône.
Trouver des volumes par découpage
Pour trouver des volumes par découpage, considère un exemple plus simple : le volume d'un prisme rectangulaire.
Figure 2.Un prisme rectang ulaire
Ensuite, tranche le prisme pour obtenir une section transversale parallèle à l'une de ses faces, par exemple une section transversale parallèle à sa base.
Figure 3. La section parallèle à la base d'un prisme rectangulaire est un rectangle.
Tu peux trouver la surface d'un rectangle en utilisant la formule suivante
\[ A_{\text{rectangle}} = \ell w.\N]
Pour trouver le volume du prisme rectangulaire, imagine que tu empiles toutes les tranches rectangulaires du prisme. Comme toutes les tranches sont égales, il te suffit de multiplier l'aire du prisme rectangulaire (appelons-la \N( A \N) pour simplifier) par la hauteur du prisme, soit
\N- [\N- Début{alignement} V_{\text{prism}} &= A h \\\N- &= \Nell w h. \Nend{align} \]
Tu peux obtenir la même formule en empilant des sections transversales qui sont parallèles à n'importe quel autre côté du prisme !
Tu peux imaginer cette étape comme si tu faisais glisser la surface d'une section transversale du prisme d'un côté à l'autre
Figure 4. Volume du prisme rectangulaire obtenu en faisant glisser la surface d'une section transversale d'un côté à l'autre.
Une idée similaire s'applique à d'autres corps géométriques, comme les cylindres.
Figure 5. Volume d'un cylindre obtenu en faisant glisser la surface d'une section transversale d'une base à une autre.
Le volume d'un cylindre peut être trouvé en multipliant la surface de la base par sa hauteur, soit
\[ \begin{align} V_{{text{cylindre}} &= A h \\\N- &= \pi r^2 h. \Nend{align}\N]
Mais que se passe-t-il si les tranches ne sont pas égales ? Tu dois intégrer!
Déterminer des formules pour les volumes par tranches
Jusqu'à présent, tu as vu que si toutes les aires d'une section transversale d'un solide sont égales, il te suffit de multiplier par la longueur du côté transversal correspondant pour obtenir le volume d'un solide, comme dans le cas du prisme rectangulaire ou avec le cylindre.
Considère maintenant le cas d'un cône. Supposons que la base de ce cône soit égale à \N(R,\N) et que sa hauteur soit \N( h.\N) Si tu prends des coupes transversales parallèles à sa base, tu découvriras qu'elles n'ont pas la même surface.
Figure 6. Les sections transversales d'un cône n'ont pas la même surface
À titre d'illustration, place le cône le long de l'axe \(x-\)avec sa pointe à l'origine. De cette façon, tu peux trouver le rayon de chaque section transversale en fonction de \(x.\).
Figure 7. Le rayon de chaque section transversale est une fonction de \(x.\)
En fait, les sections transversales sont toutes des cercles avec des rayons différents, qui peuvent être trouvés en utilisant des triangles similaires, c'est-à-dire
\[ \frac{R}{h} =\frac{r}{x},\]
donc
\[ r = \frac{R}{h}x.\]
Figure 8. Tu peux trouver le rayon d'une section transversale à l'aide de triangles semblables.
La fonction
\[ r(x) = \frac{R}{h}x\]
te donne le rayon de chaque section transversale en fonction de sa position par rapport à la pointe du cône.
\[ \begin{align} A(x) &= \pi \left( r(x) \right) ^2 \\N &= \pi \left( \frac{R}{h}x \right)^2 \N &= \frac{\pi R^2}{h^2}x^2. \N-END{align} \]
Maintenant que tu connais une fonction pour l'aire de chaque section transversale, tu peux les additionner au moyen de l'intégration. Les limites d'intégration sont \(a=0\) puisque tu pars de la pointe du cône, et \( b=h\) parce que les sections transversales s'alignent jusqu'à la base.
\[ \begin{align} V &= \int_0^h A(x) \,\mathrm{d}x \\ &= \int_0^h \frac{\pi R^2}{h^2}x^2\,\mathrm{d}x \\ &= \frac{\pi R^2}{h^2}\int_0^h x^2\,\mathrm{d}x. \N- [Fin{align}\N]
Tu peux résoudre l'intégrale définie résultante en utilisant la règle des puissances et le théorème fondamental du calcul, c'est-à-dire
\[ \begin{align} \Nint_0^h x^2 \N, \Nmathrm{d}x &= \Ngauche( \Nfrac{1}{3}(h)^3 \Ndroite) - \Ngauche( \Nfrac{1}{3}(0)^3\Ndroite) \N &= \Nfrac{1}{3}h^3. \N-END{align} \]
En replaçant l'intégrale définie ci-dessus dans la formule du volume, tu obtiens
\[ \begin{align} V &= \left( \frac{\pi R^2}{h^2} \right) \left(\frac{1}{3}h^3 \right) \\ &= \frac{\pi R^2h^3}{3h^2} \N- &= \frac{1}{3}\pi R^2 h,\Nend{align}\N]
qui est la formule du volume d'un cône,
\[V_{{text{cône}} = \frac{1}{3}\pi R^2h.\N-]
C'est donc de là que vient le \( \frac{1}{3} \) ! Tu peux trouver des formules pour d'autres solides en suivant des étapes similaires à celles décrites ci-dessus.
Déterminer les volumes en découpant des solides de révolution
Une autre façon de trouver les volumes des solides consiste à faire tourner les figures bidimensionnelles autour d'un axe de révolution. Les solides trouvés de cette façon sont connus sous le nom de solides de révolution, et leur volume est déterminé à l'aide de différentes méthodes selon le solide.
Figure 9. Solide de révolution obtenu par la rotation d'une parabole le long de l'axe \(x-\).
Consulte nos articles sur la méthode du disque et la méthode de la rondelle pour plus d'informations sur ce sujet !
Exemples de volumes déterminés par découpage
Il y a d'autres formules qui peuvent être déterminées par tranchage !
Trouve la formule du volume d'une pyramide carrée de côté \N( \Nell \N) et de hauteur \N( h.\N).
Réponse :
La base d'une pyramide carrée, comme son nom l'indique, est carrée, donc sa surface peut être trouvée en utilisant la formule de la surface d'un carré, c'est-à-dire
\[ A_{\text{square}}=\ell ^2.\]
Les sections transversales parallèles à la base de la pyramide sont des carrés plus petits. Tu peux utiliser des triangles similaires pour trouver que la longueur \N( s \N) des côtés de ces carrés est donnée par
\[ s(x) = \frac{\ell}{h}x. \]
Sachant cela, la surface de chaque section transversale devient
\[ \N- \N- \N- \N{align}} A(x) &= \left( s(x) \right)^2 \left( \frac{\ell}{h}x\right)^2 \left( \frac{\ell^2}{h^2}x^2. \Nend{align} \]
En intégrant cette surface le long de l'axe \N(x-\N)de \N( 0 \N) à \N( h, \N), tu peux trouver le volume de la pyramide, donc
\[ \begin{align} V &= \int_0^h A(x) \N- \Mathrm{d}x \N- &= \int_0^h \Nfrac{\ell^2}{h^2} x^2 \N- \Mathrm{d}x \N- &= \Nfrac{\ell^2}{h^2} \int_0^h x^2 \N, \Nmathrm{d}x. \N- [Fin{align}\N]
L'intégrale définie résultante est la même que dans l'exemple précédent du cône, tu peux la trouver à l'aide de la règle des puissances et du théorème fondamental du calcul, ce qui te donne
\N[ \Nint_0^h x^2 \N, \Nmathrm{d}x = \Nfrac{1}{3}h^3.\N]
En replaçant cette intégrale dans la formule du volume, on obtient
\[ \begin{align} V &= \left( \frac{\ell^2}{h^2} \right) \left( \frac{1}{3}h^3 \right) \e&= \frac{\ell^2h^3}{3h^2} \\N- &= \Nfrac{1}{3}\ell^2h. \N-END{align} \]
Note que la surface de la base est \N( A=\ell^2,\N), tu peux donc la substituer à la formule ci-dessus et obtenir
\N[ V=\frac{1}{3}Ah,\N]
ce qui te semble plus familier.
Tu t'es déjà demandé pourquoi la formule du volume d'une sphère contient \( \frac{4}{3} \N) ?
Trouve la formule du volume d'une sphère de rayon \N( R.\N)
Réponse :
Commence par imaginer que tu places la sphère à l'origine du système de coordonnées. Les sections transversales d'une sphère sont toutes des cercles, tu peux donc trouver l'aire d'une section transversale de la sphère à l'aide de la formule suivante
\N[ A(x) = \Npi \Ngauche(r(x)\Ndroite)^2.\N]
Tu dois trouver le rayon de la sphère en fonction de sa position par rapport à l'origine. Pour ce faire, concentre-toi sur la section transversale de la sphère.
Fig. 10. Le rayon d'une section transversale de la sphère de rayon R peut être exprimé en termes de \(x\).
Le rayon d'une section transversale répond à l'équation suivante
\[x^2+r^2=R^2,\]
d'où tu peux obtenir
\N- [r^2=R^2-x^2,\N]
donc
\N- [\N- gauche( r(x) \Ndroite) ^2 = R^2-x^2,\N]
Cela signifie que la surface d'une section transversale est donnée par
\N[ A(x) = \Npi (R^2-x^2),\N]
Tu peux donc intégrer pour trouver le volume de la sphère, c'est-à-dire
\[ V(x) = \int_{-R}^R \pi \left(R^2-x^2\right) \, \mathrm{d}x\]
L'intégrale peut être réalisée à l'aide de la règle de puissance. N'oublie pas que dans ce cas, R est une constante !
\[ \begin{align} V(x) &= \int_{-R}^R \pi \left( R^2-x^2\right) \, \mathrm{d}x \\N &= \pi \left[ \left( R^2(R)-\frac{1}{3}(R)^3\N \N - \left( R^2(-R) -\frac{1}{3}(-R)^3\N \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n-] \\ &= \pi \left[ \left(R^3-\frac{1}{3}R^3 \right)-\left( -R^3+\frac{1}{3}R^3 \right)\right]\\ &=\pi \left[ \frac{2}{3}R^3+\frac{2}{3}R^3\right] \\ &= \frac{4}{3}\pi R^3. \N- [end{align}\N]
Et voilà comment tu obtiens la formule du volume d'une sphère !
Déterminer les volumes par découpage - Principaux points à retenir
- Une coupe transversale d'un corps est une vue qui montre à quoi ressemblerait le corps si tu le coupais en travers.
- L'idée derrière la détermination des volumes par tranchage est de trouver les aires des tranches d'un corps, et de les intégrer pour obtenir leur volume.
- Pour ce faire, tu obtiens des tranches, ou coupes transversales, alignées le long de l'axe d'intégration.
- Les formules de nombreux corps géométriques peuvent être trouvées par tranchage, comme les volumes des pyramides, des cônes et des sphères.
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