Séries Alternées

Pour en revenir à la série harmonique alternée, tu sais déjà que la première condition du test de la série alternée est satisfaite parce que

$a_n=\frac{1}{n}>0$.

Condition 2 : Puisque

$a_n=\frac{1}{n}$ et $a_{n+1}=\frac{1}{n+1}$

tu sais que $a_n>\hspace{0.17em}{a}_{n+1}$ car$n<n+1$ce qui implique que

$\frac{1}{n}>\hspace{0.17em}\frac{1}{n+1}$,

donc la deuxième condition est satisfaite.

Condition 3 : Tu sais aussi que

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n}=0$,

la troisième condition est donc remplie.

Cela signifie que tu peux appliquer le test des séries alternées pour dire que la série harmonique alternée converge.

N'oublie pas que la série harmonique diverge, donc parfois, le fait de passer d'une série régulière à une série alternée peut la faire passer de divergente à convergente.

Tu sais que la série P

$\sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{n}\right)}^2$

converge parce que $p=2$.

Que peux-tu dire de la série P alternée ?

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^{n+1}}{n^2}$?

Réponse : Avant d'appliquer le test de la série alternée, tu dois t'assurer que toutes les conditions sont remplies.

Condition 1 : Ici

$a_n=\frac{1}{n^2}>0$

la première condition est donc remplie.

Condition 2 : Tu sais que

$a_n=\frac{1}{n^2}$

et

$a_{n+1}=\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}=\frac{1}{n^2+2n+1}<\frac{1}{n^2}=a_n$,

la deuxième condition est donc remplie.

Condition 3 : regarde la limite,

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{n^2}=0$,

la troisième condition est donc remplie.

Cela signifie que le test des séries alternées indique que la série

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^{n+1}}{n^2}$

converge.

Peux-tu utiliser le test des séries alternées pour savoir si la série

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^n}{\sqrt{n}}$

converge ?

Réponse :

Vérifions les conditions du test des séries alternées.

Condition 1 : Pour cette série

$a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}>0$,

la première condition est donc remplie.

Condition 2 : Ici

$a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}$ et $a_{n+1}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}$.

Tu n'as peut-être pas une bonne intuition de la façon dont $a_n$ et $a_{n+1}$ se comparent l'une à l'autre, alors essayons une valeur pour $n$ et voyons ce qui se passe. Si $n=10$, alors

$a_{10}=\frac{1}{\sqrt{10}}\approx 0.3162$, et $a_{11}=\frac{1}{\sqrt{11}}\approx 0.3015$,

ce qui signifie que $a_{10}>\hspace{0.17em}{a}_{11}$. C'est dans ce sens que tu souhaiterais que l'inégalité aille. En fait, puisque $n<n+1$, tu sais que $\sqrt{n}<\sqrt{n+1}$ ce qui implique

$\frac{1}{\sqrt{n}}>\frac{1}{\sqrt{n+1}}$,

donc en général $a_n>a_{n+1}$. Tu sais maintenant que la deuxième condition tient.

Condition 3 : Regarde la limite,

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{n}}=0$,

la troisième condition est donc également valable.

Grâce au test des séries alternées, tu sais que la série converge.

Comme dans l'exemple précédent, tu peux montrer que les sommes partielles de la série

$\sum _{n=1}^{\infty }{\left(-1\right)}^{n+1}$

divergent, ce qui signifie que la série diverge. Que se passe-t-il si tu essaies d'utiliser le test des séries alternées ?

Réponse :

Tout d'abord, examinons la séquence des sommes partielles de cette série. Tu sais que

$\begin{array}{ccc}{s}_1& =& 1\\ s_2& =& 1-1=0\\ s_3& =& 0+\hspace{0.17em}1=1\\ s_4& =& 1-1=0\\ & ⋮& \end{array}$

Donc, en fait, la séquence des sommes partielles diverge, ce qui, par définition, signifie que la série diverge.

Pour appliquer le test des séries alternées, il faut que les trois conditions soient remplies. Pour cette série, $a_n=1$ pour tout $n$ce qui signifie que la première condition est remplie. Mais pour vérifier la deuxième condition, il faut que $a_n>a_{n+1}$ou, en d'autres termes, que $1>1$ ce qui n'est pas vrai. C'est encore pire quand tu regardes la limite dans la troisième condition puisque

$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }1=1$,

qui n'est certainement pas zéro. Ainsi, même si tu sais en regardant les sommes partielles que cette série diverge, tu ne peux pas utiliser le test des séries alternées pour dire quoi que ce soit à ce sujet.

Regarde la série

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^{n+1}n}{2n-1}$.

Cette série diverge, ce qui signifie qu'une ou plusieurs des trois conditions du test des séries alternées n'est pas remplie. Quelle est la condition qui échoue ?

Réponse :

Ici

$a_n=\frac{n}{2n-1}$,

et tu peux voir que la première condition tient.

Condition 2 : Pour vérifier la condition 2, montrer que $a_n>\hspace{0.17em}{a}_{n+1}$ revient à montrer que $a_n-a_{n+1}>0$. Donc

id="5257673" role="math" $$\begin{gathered} a_n-a_{n+1}=\frac{n}{2n-1}-\frac{n+1}{2(n+1)-1} \\ =\frac{1}{\left(2n-1\right)\left(2n+\hspace{0.17em}1\right)} \\ =\frac{1}{4n^2-1} \\ >\frac{1}{4n^2} \\ >0 \end{gathered}$$

et la deuxième condition tient.

Condition 3 : regarder la limite,

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{2n-1}=\frac{1}{2}$,

qui n'est certainement pas zéro. Cela signifie que la condition 3 du test des séries alternées échoue.

Jetons un coup d'œil à la série harmonique alternée. Tu sais déjà que les termes du théorème de la limite des séries alternées sont satisfaits grâce à un exemple précédent. Cela signifie que tu peux appliquer le théorème de la limite des séries alternées en toute sécurité.

Supposons que tu additionnes les 10 premiers termes. Quelle est la distance entre la somme partielle et la réponse réelle ?

Réponse : Si tu fais le calcul,

$s_{10}=\frac{1267}{2520}\approx 0.6456$,

donc en utilisant le théorème de la limite de la série alternée, l'erreur de troncature pour $s_{10}$ est inférieure à

id="5257688" role="math" $a_{11}=\frac{1}{11}$.

Le fait que le terme ${\left(-1\right)}^{11}$ est négatif t'indique qu'il s'agit d'une sous-estimation plutôt que d'une surestimation.