Discontinuité par saut

Pour la fonction du graphique ci-dessous,

1. Trouve une équation pour la fonction
2. Montre qu'elle présente un saut de discontinuité à $x=2$.

Fonction avec un saut discontinu, StudySmarter Original

Réponse :

Lorsque tu écris l'équation d'une fonction comme celle-ci, il est plus facile de la diviser en plusieurs parties et de les rassembler à la fin.

1. À gauche de $x=2$la fonction a une ordonnée à l'origine à $\left(0,2\right)$ et la pente de la ligne est de 1. L'équation de la ligne de gauche sous forme d'ordonnée à l'origine est donc la suivante $y=x+\hspace{0.17em}2$.
2. À droite de $x=2$, la fonction a une ordonnée à l'origine à $(3,0)$ et la pente de la ligne est $-1$. L'équation de la droite est donc $y=-x+3$.
3. Au point $x=2$ la valeur de la fonction est 1.
4. En rassemblant toutes ces parties, tu obtiens la fonction définie par morceaux

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x+\hspace{0.17em}2,& x<\hspace{0.17em}2\\ -x+3,& x\ge 2\end{array}\right.$.

Pour montrer qu'elle présente une discontinuité par saut, il ne suffit malheureusement pas de pointer l'endroit sur le graphique et de dire "tu vois, ça saute !". Il faut plutôt regarder les limites de gauche et de droite. En utilisant la définition de la fonction que tu as trouvée,

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x+2\right)=2+2=4$,

et

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(-x+3\right)=-2+3=1$.

Tu peux donc voir que la limite de gauche et la limite de droite sont toutes deux des nombres réels, mais qu'il ne s'agit certainement pas du même nombre. Cela montre qu'il y a un saut de discontinuité à $x=2$.

Est-ce que la fonction

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x<1\\ 0,& x=1\\ 2-(x^2-1),& x>\hspace{0.17em}1\end{array}\right.$

présente une discontinuité par saut à $x=1$?

Réponse :

Vérifions les limites :

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{x}^2=1$

et

id="5250585" role="math" $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }(2-\left(x^2-1\right)=2-\left(1^2-1\right)=2-0=2$,

La limite à gauche n'est pas égale à la limite à droite à $x=1$Tu sais donc que la fonction n'est pas seulement discontinue en $x=1$elle présente un saut de discontinuité à cet endroit.

La fonction

$g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x<1\\ 2x-1,& x\ge 1\end{array}\right.$

Réponse :

Il s'agit encore une fois de vérifier les limites :

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{x}^2=1$

et

Les limites à gauche et à droite sont égales, et la valeur de la fonction à $x=1$ est également de 1. Par conséquent, $g\left(x\right)$ est en fait continue à cet endroit et ne présente pas de discontinuité par saut.

Le produit de deux fonctions qui ont une discontinuité de saut à $x=3$ n'a pas de discontinuité de saut à $x=3$?

Réponse :

Le produit peut être continu, mais il n'est pas nécessaire qu'il le soit. Examinons quelques cas. Dans les deux cas, tu utiliseras la fonction

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x+1,& x\le 3\\ x-1,& x>3\end{array}\right.$.

Tu peux voir en regardant les limites gauche et droite à $x=3$ que $f\left(x\right)$ a un saut de discontinuité à cet endroit.

Pense maintenant à la fonction

$g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x-1,& x<3\\ x+\hspace{0.17em}1,& x\ge 3\end{array}\right.$.

Cette fonction présente également un saut discontinu à $x=3.$ Alors à $x=3$,

$f\left(3\right)·g\left(3\right)=(3+1)(3+1)=16$.

En regardant la limite de gauche et de droite,

$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)·g\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }(x+1)(x-1)=(3+1)(3-1)=8$,

et

$\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)·g\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }(x-1)(x+1)=(3-1)(3+1)=8$.

Nous avons donc une fonction dont la limite à gauche est égale à la limite à droite à . $x=3$mais la valeur de la fonction ici n'est pas la même que la limite... il s'agit d'une discontinuité amovible, et non d'une discontinuité par saut !

Le produit d'une fonction qui a un saut de discontinuité à $x=3$ et d'une fonction continue, peut-il être continu en $x=3$?

Réponse :

Bien sûr ! Prends ta fonction continue comme étant celle qui est identiquement nulle, ou en d'autres termes $g\left(x\right)=0$ pour toutes les valeurs de $x$. D'après l'exemple précédent, tu sais que

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x+1,& x\le 3\\ x-1,& x>3\end{array}\right.$

a un saut de discontinuité à $x=3$mais

Le produit des deux fonctions est toujours égal à 0, donc le produit est en fait continu à$x=3$.

Le produit de deux fonctions, toutes deux avec des discontinuités par saut en $x=3$peut être continu en $x=3$?

Réponse :

Et comment ! Prends tes fonctions définies par

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}1,& x\le 3\\ -1,& x>\hspace{0.17em}3\end{array}\right.$,

et

$g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}-1,& x\le 3\\ 1,& x>3\end{array}\right.$.

Ces deux fonctions ont une discontinuité de saut à $x=3$mais leur produit est

$f\left(x\right)·g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}1·(-1),& x\le 3\\ (-1)·1,& x>3\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{ll}-1,& x\le 3\\ -1,& x>\hspace{0.17em}3\end{array}\right.=-1$,

qui est continu en $x=3$.