Équations différentielles linéaires: Cours, Exercices

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Eh bien, il s'avère qu'elles ont quelque chose en commun : elles sont toutes deux décrites par le même type de mathématiques.

Les équations différentielles sont très utiles pour décrire le monde qui nous entoure. En particulier, l'électronique et les ressorts sont tous deux décrits par ce que l'on appelle deséquations différentielles linéaires . Tu apprendras ici à les identifier et à en résoudre certaines.

Qu'est-ce qu'une équation différentielle linéaire ?

Une équation différentielle est une équation pour une fonction inconnue, où ses dérivées interviennent. Mais qu'est-ce qui la rend linéaire ?

Tu peux dire qu'une équation différentielle est linéaire si chaque variable dépendante apparaît de façon linéaire. Cela signifie que la variable dépendante et/ou ses dérivés sont tous élevés à la puissance de \(1\), qu'ils ne sont pas multipliés ensemble et qu'ils ne font pas partie d'une fonction spéciale, comme une fonction trigonométrique ou la fonction exponentielle.

Malgré les considérations ci-dessus, lavariable indépendante peut être non linéaire. C'est-à-dire que la variable indépendante peut être élevée au carré, dans le cadre de la fonction sinus, et ainsi de suite.

Voici quelques exemples d'équations différentielles linéaires .

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+2y=0\]

\[ x^2\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} +x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+4y=e^x\]

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\left(\cos{x}\right)y=x^2\]

Equations différentielles linéaires et non linéaires

Tout comme il existe des équations différentielles linéaires, il existe aussi des équations différentielles non linéaires.

Une équation différentielle non linéaire est une équation différentielle qui n'est pas une équation différentielle linéaire.

C'est simple, non ? Cela signifie que la variable dépendante et/ou ses dérivées sont soit :

sont multipliées l'une par l'autre
sont élevées à une puissance autre que \(1\)
font partie d'une fonction spéciale, comme une fonction trigonométrique ou une fonction exponentielle.

Voici quelques exemples d'équations différentielles non linéaires.

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+xy^2=0\]

\[ y\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+xy=\ln{x}\]

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\sin{y}=\cos{x}\]

Les équations différentielles linéaires peuvent être utilisées pour décrire certains phénomènes naturels, notamment :

Les ondes électromagnétiques.
La diffusion de la chaleur.
Les circuits électroniques.
Les mouvements oscillatoires, comme les ressorts et les pendules.

Pendant ce temps, les équations différentielles non linéaires peuvent décrire des choses comme :

La météo.
La dynamique des fluides.
La dynamique des populations.

Equations différentielles linéaires du premier ordre

Les équations différentielles sont généralement classées en fonction de leur ordre. Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation différentielle linéaire où la dérivée la plus élevée impliquée est une dérivée première. Une équation différentielle linéaire du premier ordre peut toujours être écrite sous la forme suivante

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y=Q(x).\N-]

C'est ce qu'on appelle la forme standard d'une équation différentielle linéaire du premier ordre.

Tu peux aussi rencontrer des équations différentielles écrites en notation primitive, l'équation différentielle ci-dessus peut donc être écrite sous la forme suivante

\N[ y'+P(x)y=Q(x),\N]

où la dépendance de \(y\) n'est pas explicitement indiquée, mais doit être supposée en fonction du contexte.

Note qu'il se peut que l'on te donne une équation différentielle linéaire qui n'est écrite d'aucune de ces deux façons. Dans ce cas, tu dois faire un peu d'algèbre pour la réécrire.

Considère l'équation différentielle suivante

\[ x^2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} +y^2=ye^x.\]

S'agit-il d'une équation différentielle linéaire ? Si oui, détermine \N( P(x)\N) et \N( Q(x).\N)

Réponse :

À première vue, l'équation différentielle ci-dessus peut ne pas sembler linéaire, tu devras donc faire un peu d'algèbre pour le savoir. Pour ce faire, tu dois réécrire l'équation différentielle de façon à ce que le terme contenant la dérivée ne soit pas multiplié par un nombre autre que \(1\).

Pour l'exemple ci-dessus, tu peux y parvenir en divisant toute l'équation différentielle par \(x^2y,\), ce qui te donne

\[ \frac{x^2y \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} +y^2 }{x^2y} = \frac{ye^x}{x^2y},\]

ce qui peut être simplifié par un peu d'algèbre, en obtenant

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\frac{y}{x^2} = \frac{e^x}{x^2}. \]

Cela signifie que l'équation différentielle donnée est linéaire. La fonction qui multiplie \N(y\N) est \N( P(x) \N), et dans ce cas, elle est donnée par

\N[ P(x) = \Nfrac{1}{x^2}, \N]

tandis que la fonction du côté droit de l'équation est \NQ(x),\Nc'est-à-dire

\[ Q(x)= \frac{e^x}{x^2}. \]

Equations différentielles linéaires à coefficients constants

Tu as vu qu'une équation différentielle linéaire du premier ordre peut toujours s'écrire sous la forme suivante

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x).\]

Cela signifie qu'en général, \N( P \N) et \N( Q \N) sont des fonctions de \N(x.\N) Cependant, dans le cas particulier où les fonctions \N( P(x) \N) et \N( Q(x) \N) sont des fonctions constantes, tu as une équation différentielle linéaire à coefficients constants.

Les équations différentielles suivantes sont toutes des équations différentielles linéaires à coefficients constants.

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+3y=0\]

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-\pi y=4\]

\[ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}-5\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-y=e\]

Tu peux identifier une équation différentielle linéaire à coefficients constants en remarquant que la variable indépendante n'apparaît pas explicitement.

La résolution des équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants est une tâche simple car il s'agit d'équations séparables. Considère l'équation différentielle

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+ay=b.\]

L'équation ci-dessus peut être séparée. Il faut d'abord isoler le terme contenant la dérivée, donc

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = b-ay.\N-]

Le côté droit de l'équation peut être considéré comme une fonction de \N(y,\N), c'est-à-dire

\N[ g(y) = b-ay,\N]

donc

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = g(y).\N- \N]

Cela t'indique que l'équation différentielle peut être résolue par la séparation des variables. Commence par réécrire l'équation différentielle en termes de différentielles de \( x \N) et \N( y,\N), c'est-à-dire

\N[ \Nmathrm{d}y = (b-ay)\N,\Nmathrm{d}x,\N]

puis divise les deux côtés de l'équation par \N( b-ay,\N) en obtenant

\[\frac{1}{b-ay} \, \mathrm{d}y = \mathrm{d}x.\]

À partir de là, tu peux intégrer les deux côtés. Le côté gauche est l'une des intégrales impliquant des fonctions logarithmiques, donc

\[-\frac{1}{a} \ln{(b-ay)} = \int \mathrm{d}x,\r]

et l'intégrale d'une différentielle est simplement la variable d'intégration, tu peux ainsi écrire

\[-\frac{1}{a} \ln{(b-ay)} = x+C.\N-]

Ensuite, tu dois isoler \N( y,\N) pour que

\[ \begin{align} \ln{(b-ay)} &= -ax-aC \\l b-ay &= e^{-ax-aC} \N-ay &= b-e^{-ax-aC} \N- y &= \frac{b}{a}-\frac{1}{a}e^{-ax-aC}. \N- [Fin{align}\N]

Cela se verra mieux en utilisant les propriétés des exposants et un peu d'algèbre pour écrire

\[-\frac{1}{a}e^{-ax-aC} = e^{-ax}\left(-\frac{1}{a}e^{-aC}\right),\]

où \( -\frac{1}{a}e^{-aC} \) est toujours une constante dans son ensemble, tu peux donc la renommer, disons en \(A.\) De cette façon

\[y=Ae^{-ax}+\frac{b}{a}\]

est la solution générale d'une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.

Formule pour résoudre les équations différentielles linéaires

En général, il n'existe pas de formule pour résoudre les équations différentielles. Heureusement, dans le cas des équations différentielles linéaires du premier ordre, tu peux obtenir une formule en utilisant ce qu'on appelle un facteur d'intégration.

Considère une équation différentielle linéaire du premier ordre écrite sous forme standard, c'est-à-dire

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x).\]

La solution générale de l'équation différentielle ci-dessus est

\[ y = \frac{1}{\alpha (x)} \left( \int \alpha(x) \N, Q(x) \N, \mathrm{d}x + C \Nright),\N]

où

\N[ \Nalpha(x)=e^{\Nint P(x)\N,\Nmathrm{d}x}\N]

est connu sous le nom de facteur d'intégration.

Tout comme les intégrales indéfinies, les équations différentielles ont des familles de solutions . En introduisant différentes valeurs de la constante d'intégration, \(C,\), tu obtiens différentes solutions à l'équation différentielle.

Tu peux suivre les étapes suivantes afin d'utiliser la formule pour résoudre les équations différentielles linéaires du premier ordre qui sont écrites sous forme standard :

Calcule \N( \Nint P(x) \N, \Nmathrm{d}x.\N) Il n'est pas nécessaire d'ajouter une constante d'intégration à cette étape !
Trouver le facteur d'intégration \( \alpha(x).\) Cela peut être fait en introduisant \N( \Nint P(x) \N, \Nmathrm{d}x \N) dans l'exponentielle, c'est-à-dire,
\N[ \Nalpha(x) = e^{\Nint P(x) \N, \Nmathrm{d}x}.\N].
Calcule \N( \Nint \Nalpha(x)\N,Q(x)\N,\Nmathrm{d}x.\N))
Utilise la formule de la solution générale d'une équation différentielle linéaire du premier ordre.

Tu trouveras quelques exemples dans la section suivante.

Exemples d'équations différentielles linéaires

Les étapes de la résolution d'une équation différentielle linéaire sont mieux comprises avec des exemples. Allons-y !

Résous l'équation différentielle linéaire du premier ordre suivante :

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + 3x^2y=6x^2.\N].

Réponse :

Tu dois toujours commencer par vérifier si l'équation différentielle est écrite sous forme standard,

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x).\]

Si c'est le cas, tu dois aussi identifier \N( P(x)) et \N( Q(x).\N). Dans ce cas, l'équation différentielle est déjà écrite sous forme standard, et tu peux trouver que

\N- [P(x)=3x^2,\N]

\N- Q(x)=6x^2.\N- Q(x)=6x^2.

Maintenant, tu peux suivre les étapes introduites dans la section précédente.

1. Calcule \N( \Nint P(x) \N, \Nmathrm{d}x.\N)

Puisque \( P(x)=3x^2,\N) tu peux trouver son intégrale à l'aide de la règle de puissance, c'est-à-dire

\[ \begin{align} \Nint P(x)\N,\Nmathrm{d}x &= \Nint 3x^2 \N,\Nmathrm{d}x \N &= x^3. \Nend{align} \]

2. Trouve le facteur d'intégration \N( \Nalpha(x).\N)

Pour trouver le facteur d'intégration, tu dois insérer l'intégrale obtenue à la dernière étape dans une fonction exponentielle, c'est-à-dire

\[ \begin{align} \alpha(x) &= e^{\int P(x) \N, \mathrm{d}x} \N- &= e^{x^3}. \N- [Fin{align}\N-]

3. Calcule \N( \Nint \Nalpha(x)\N,Q(x)\N,\Nmathrm{d}x.\N))

Maintenant que tu as trouvé \N( \Nalpha(x),\N), tu dois trouver

\[ \begin{align} \int \alpha(x)\N,Q(x)\Nmathrm{d}x &= \int e^{x^3}(6x^2)\Nmathrm{d}x \Nmathrm{d}x &= 2\int e^{x^3} (3x^2) \Nmathrm{d}x. \N- [Fin{align}\N]

Heureusement, puisque \N( 3x^2 \N) est la dérivée de \N( x^3,\N), tu peux utiliser l'intégration par substitution ! Soit

\N[ u= x^3,\N]

alors

\N- \N- \N- \NMathrm{d}u = 3x^2\Nmathrm{d}x.\N- \N- \N- \N- \N- \N]

De cette façon, tu peux réécrire l'intégrale

\[ \N- Début{alignement} \Nint \Nalpha(x)\N,Q(x) \N, \Nmathrm{d}x &= 2\int e^u \N, \Nmathrm{d}u \N &= 2e^u. \N-END{align}\N-]

N'oublie pas d'annuler la substitution, c'est-à-dire

\N[ \Nint \Nalpha(x) \N, Q(x) \N, \Nmathrm{d}x = 2e^{x^3}.\N]

4. Utilise la formule de la solution générale d'une équation différentielle linéaire du premier ordre.

Enfin, substitue les expressions obtenues dans les étapes précédentes pour trouver la solution générale de l'équation différentielle, c'est-à-dire

\[ \begin{align} y &= \frac{1}{\alpha(x)} \left( \int \alpha(x)\,Q(x) \, \mathrm{d}x + C \right) \ &= \frac{1}{e^{x^3}} \n- gauche( 2e^{x^3} + C\n- droite) \n- &= 2+ \frac{C}{e^{x^3}} \N- &= Ce^{-x^3}+2. \N-END{align} \]

La solution générale de l'équation différentielle est alors

\[ y = Ce^{-x^3}+2.\]

Contrairement aux intégrales indéfinies, où la constante d'intégration est ajoutée à la fin, dans les équations différentielles, tu les trouveras fréquemment en train de multiplier une autre fonction.

Le calcul, c'est avant tout une question d'entraînement ! Voici un autre exemple.

Résous l'équation différentielle linéaire du premier ordre suivante :

\[ x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + y = x^2.\N].

Réponse :

Cette fois, l'équation différentielle n'est pas donnée sous forme standard, tu ne peux donc pas utiliser la formule. Pour y remédier, commence par diviser l'équation entière par \(x,\N), c'est-à-dire

\[ \begin{align} \frac{x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y}{x} &= \frac{x^2}{x} \\ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\frac{y}{x} &= x. \N- [Fin{align}\N]

De cette façon, tu peux maintenant suivre les étapes habituelles en utilisant

\[ P(x) = \frac{1}{x} \]

\[ Q(x) = x.\]

1. Calculer \N( \Nint P(x) \N, \Nmathrm{d}x.\N)

Commence par trouver

\[ \int P(x) \N, \mathrm{d}x = \int \frac{1}{x} \N, \mathrm{d}x,\N]

qui est l'une des intégrales impliquant des fonctions logarithmiques, donc

\[ \Nint P(x) \N, \Nmathrm{d}x = \Nln{x}.\N]

2. Trouve le facteur d'intégration \( \alpha(x).\N)

Tu peux maintenant introduire le résultat obtenu à l'étape précédente pour trouver le facteur d'intégration, c'est-à-dire

\N- \N[ \N- \Ndébut{alignement} \alpha(x) &= e^{\int P(x)\\N,\Nmathrm{d}x} \N- &= e^{\ln{x}}. \N- [Fin{alignement}\N]

Comme la fonction exponentielle et la fonction logarithmique naturelle sont inverses, elles s'annulent l'une l'autre, ce qui permet d'obtenir

\[ \N- \N- \N- \N(x) = x.\N]

3. Calcule \N( \Nint \Nalpha(x)\N,Q(x)\N,\Nmathrm{d}x.\N)

Maintenant que tu as trouvé le facteur d'intégration, tu peux évaluer

\[ \begin{align} \int \alpha(x) \, Q(x) \, \mathrm{d}x &= \int x(x) \, \mathrm{d}x \\N &= \int x^2 \N, \mathrm{d}x, \end{align} \]

ce qui peut être fait à l'aide de la règle de puissance, en obtenant

\[ \Nint \Nalpha(x) \N, Q(x) \N, \Nmathrm{d}x = \Nfrac{1}{3}x^3. \N]

4. Utilise la formule de la solution générale d'une équation différentielle linéaire du premier ordre.

Enfin, substitue les expressions que tu as obtenues dans les étapes précédentes dans la formule, c'est-à-dire

\[ \N- Début{align} y &= \Nfrac{1}{\Nalpha(x)} \Nà gauche(\Nint \Nalpha(x) \N, Q(x) \N, \Nmathrm{d}x + C \Nà droite) \N &= \Nfrac{1}{x}\Nà gauche(\Nfrac{1}{3}x^3+C \Nà droite) \N &= \Nfrac{1}{3}x^2+\Nfrac{C}{x}. \N- [end{align}\N]

La solution générale de l'équation différentielle est alors

\[ y = \frac{1}{3}x^2+\frac{C}{x}.\]

Et une solution avec des coefficients constants ?

Résous l'équation différentielle linéaire du premier ordre suivante :

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + 3y = 0.\r]

Réponse :

Commence par noter que l'équation différentielle donnée est une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants, tu peux donc utiliser la solution générale pour ce type d'équation, c'est-à-dire que si

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} +ay=b,\r]

alors

\[y=Ae^{-ax}+\frac{b}{a},\]

où \N( A \N) est une constante d'intégration.

Dans ce cas, \N(a=3\N) et \N(b=0\N,\N) donc

\[y=Ae^{-(3)x}+\frac{(0)}{(3)},\]

ce qui signifie que la solution de l'équation différentielle donnée est

\N[y=Ae^{-3x}.\N]

C'est simple, non ?

Équation différentielle linéaire - Points clés à retenir

Une équation différentielle linéaire est une équation différentielle dans laquelle la variable dépendante et/ou ses dérivés sont tous élevés à la puissance de \(1\), ils ne sont pas multipliés ensemble et ils ne font pas partie d'une fonction spéciale.
- Si l'une des conditions ci-dessus n'est pas remplie, l'équation différentielle est classée comme une équation différentielle non linéaire.
Une équation différentielle linéaire du premier ordre est une équation différentielle linéaire dont la dérivée la plus élevée est une dérivée dupremier ordre .
Une équation différentielle linéaire du premier ordre peut toujours être écrite sous la forme \[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} +P(x) y = Q(x), \] qui est connue comme la forme standard d'une équation différentielle linéaire du premier ordre.Elle peut également être écrite en utilisant la notation des nombres premiers sous la forme \[ y' + P(x) y = Q(x).\]
- La formule de résolution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre écrite sous forme standard est donnée par\[ y = \frac{1}{\alpha(x)} \left( \int \alpha(x) \, Q(x) \N, \Nmathrm{d}x + C \Nright), \N] où \N( \Nalpha(x) \N) est appelé un facteur d'intégration, et il est donné par\N[ e^{\int P(x) \N, \Nmathrm{d}x}.\]
- Si \( P(x) \N et \N(Q(x) \N sont des fonctions constantes, alors tu as une équation différentielle linéaire du premier ordre avec des coefficients constants, qui peut être écrite comme\N[\Nfrac{\Nmathrm{d}y}{\Nmathrm{d}x}+ay=b.\]Dans ce cas, sa solution générale est donnée par\[y=Ae^{-ax}+\frac{b}{a},\]où \( A \) est une constante d'intégration.

Fiches dans Équations différentielles linéaires 13

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Considère l'équation différentielle linéaire du premier ordre suivante, écrite sous forme standard :
\N[ y'+\sin{x}y=\cos{x}.\N]

Quelle fonction est \N( P(x) \N) ?

\N( P(x) = \sin{x}\N).