Théorèmes de continuité

Supposons que

$f\left(x\right)=\left|x\right|$ et $g\left(x\right)=\frac{x+3}{x-1}$.

Où est $\left(f·g\right)\left(x\right)$ continue ?

Réponse :

Rappelle-toi que la fonction valeur absolue est continue partout, et que les fonctions rationnelles sont continues sur leurs domaines.

Puisque $g\left(x\right)$ est une fonction rationnelle dont le domaine est $\left(-\infty ,1\right)\cup \left(1,\infty \right)$elle est continue partout sauf à $x=1$.

Alors, en utilisant la propriété du produit, $\left(f·g\right)\left(x\right)$ est continue partout sauf en $x=1$.

Si tu sais que $g\left(x\right)$ est continue en $x=p$est $\left|g\right|\left(x\right)$ continue à $x=p$?

Réponds :

Prends $f\left(x\right)$ comme étant la fonction de valeur absolue, qui est continue partout.

Cela signifie que tu sais que $g\left(x\right)$ est continue en $x=p$ et $f\left(x\right)$ est continue en $g\left(p\right)$.

Alors, en utilisant le théorème de composition des fonctions continues, $\left(f\circ g\right)\left(x\right)=\left|g\right|\left(x\right)$ est continue en $x=p$.

Prends

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}1,& x<0\\ -1,& x\ge 0\end{array}\right.$ et $g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}-1,& x<0\\ 1,& x\ge 0\end{array}\right.$.

Aucune de ces fonctions n'est continue en $x=0$.

Si tu additionnes ces deux fonctions qui ne sont pas continues en $x=0$leur somme est-elle toujours discontinue en $x=0$? Bien,

$\left(f+g\right)\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}1+\left(-1\right),& x<0\\ -1+1,& x\ge 0\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{ll}0,& x<0\\ 0,& x\ge 0\end{array}\right.=0$ ,

qui est continue partout. Par contre-exemple, tu as donc montré qu'il ne peut pas y avoir de propriété de la somme pour les fonctions discontinues.

Qu'en est-il de la propriété du produit ? Leur produit est

$\left(f·g\right)\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}1·\left(-1\right),& x<0\\ -1·1,& x\ge 0\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{ll}-1,& x<0\\ -1,& x\ge 0\end{array}\right.=-1$,

qui est continu partout. Tu ne peux donc pas avoir de propriété de produit pour des fonctions qui ne sont pas continues.

Tu penses peut-être que rien ne peut aller de travers avec la propriété de la constante. Il s'agit simplement de multiplier par une constante !

En fait, cette propriété ne fonctionne pas non plus.

Prends $k=0$. Alors $\left(k·f\right)\left(x\right)=\left(0·f\right)\left(x\right)=0$qui est continue partout. Ainsi, même la propriété de constance ne tient pas pour les fonctions discontinues.