Problèmes de Maxima et Minima

Identifie tous les maxima et minima du graphique. Tu dois supposer que le graphique représente la fonction entière, c'est-à-dire qu'il se trouve sur un intervalle fermé.

Fig. 2 - Le graphique d'une fonction qui a des minima et des maxima absolus et relatifs.

Solution:

Nous pouvons résoudre cet exemple en regardant simplement le graphique.

Identifie tous les maxima et minima du graphique. Tu dois supposer que le graphique représente la fonction entière, c'est-à-dire qu'il se trouve sur un intervalle fermé.

Fig. 3 - Le graphique d'une fonction qui a des minima et des maxima absolus et relatifs.

Solution:

Trouve les extrema locaux (maxima et minima) de la fonction,

\[f(x) = x^{3} - 3x + 5. \N-]

Solution:

Ici, tu dois appliquer la stratégie 1.

1. Take the first derivative of the given function.\[ \begin{align}f'(x) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{3} - 3x + 5) \\ \\f'(x) &= 3x^{2} - 3\Nend{align} \]

2. Set \( f'(x) = 0 \) and solve for \( x \) to find all critical points.\[ \begin{align}f'(x) = 3x^{2} - 3 &= 0 \N-3(x^{2} - 1) &= 0 \N-(x - 1)(x + 1) &= 0 \N-x &= \Npm 1\N- end{align} \]

3. Take the second derivative of the given function.\[ \begin{align}f''(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f'(x)) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(3x^{2} - 3) \\ \\f''(x) &= 6x\end{align} \]

4. Insère les points critiques de l'étape 2 dans la dérivée seconde.

   • Pour \N( x = -1 \N),\N[ f''(x) = 6(-1) = -6 \N]Comme \N( -6 \N) est négatif, le point critique où \N( x = -1 \N) est un maximum local.

   • Pour \N( x = 1 \N),\N[ f''(x) = 6(1) = 6 \N]Puisque \N( 6 \N) est positif, le point critique où \N( x = 1 \N) est un minimum local.

Pour confirmer tes calculs, trace le graphique de la fonction et reporte les valeurs extrêmes.

Fig. 4 - Le graphique de la fonction \( f(x) = x^{3} - 3x + 5 \N) a un maximum local au point \N( (-1, 7) \N) et un minimum local au point \N( (1, 3) \N).

Par conséquent, le point \N(-1, 7) \Nest un maximum local et le point \N(1, 3) \Nest un minimum local.

Trouve les extrema absolus (maximum et minimum) de la fonction,

\N[ f(x) = x^{3} - 3x + 5 \N]

sur l'intervalle fermé \( [-3, 3] \N).

Solution:

Ici, tu dois appliquer la stratégie 2.

1. Résous la fonction à ses points d'extrémité, c'est-à-dire là où \N( x = -3) et \N( x = 3).\N[ \Nbegin{align}f(-3) &= (-3)^{3} - 3(-3) + 5 = -13 \\N-f(3) &= (3)^{3} - 3(3) + 5 = 23\N-nd{align} \]
2. Trouve tous les points critiques de la fonction qui se trouvent sur l'intervalle ouvert \( (-3, 3) \) et résous la fonction à chaque point critique.

   1. Comme il s'agit de la même fonction que celle que tu as utilisée dans l'exemple précédent, reporte-toi aux étapes \N( 1 \N) à \N( 4 \N) de cet exemple.

3. Compare toutes les valeurs des étapes \N( 1 \N) et \N( 2 \N).

Pour confirmer tes calculs et tes comparaisons, trace le graphique de la fonction et reporte les extrema.

Fig. 5 - Le graphique de la fonction \( f(x) = x^{3} - 3x + 5) sur l'intervalle fermé \N[-3, 3] a deux extrema locaux, un minimum absolu au point \N(-3, -13) et un maximum absolu au point \N(3, 23).

Par conséquent, le point \N(-3, -13) \Nest le minimum absolu et le point \N(3, 23) \Nest le maximum absolu.

Disons que tu lances un modèle de fusée et que tu sais que la hauteur de la fusée en fonction du temps est donnée par la formule suivante

\[ H(t) = -6t^{2} + 120t \]

où ,

• \H(t) est en mètres,
• \N( t \N) est en secondes, et
• \( t > 0 \).

1. Combien de temps la maquette de fusée met-elle pour atteindre sa hauteur maximale ?
2. Quelle est la hauteur maximale atteinte par la fusée miniature ?
3. Combien de temps met la fusée à modèle réduit pour retomber sur le sol ?

Solutions:

D'après les informations données, tu sais que :

• la hauteur de la maquette de fusée est donnée par la variable \N( H \N),
• le temps écoulé - en secondes - est donné par la variable \N( t \N), et
• le temps ne peut pas être négatif.

1. Il s'agit de trouver la valeur maximale de la fonction \N( H(t) \N).
   1. Prends la dérivée première de la fonction donnée.\[ \N-{align}H'(t) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-6t^{2} + 120t) \N-{\N-{align}H'(t) &= -12t + 120\N-{align} \]
   2. Set \( H'(t) = 0 \) and solve for \( t \) to find all critical points.\[ \begin{align}H'(t) = -12t + 120 &= 0 \\ \\-12t &= -120 \\ \\t &= 10\end{align} \]
   3. Take the second derivative of the given function.\[ \begin{align}H''(t) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-12t + 120) \\ \\H''(t) &= -12\end{align} \]
   4. Insère les points critiques de l'étape \N( 2 \N) dans la dérivée seconde.\N[ H''(10) = -12 \N]
      • Puisque \N- H''(10) \Nest négatif, \N- t = 10 \Nest la valeur maximale de la fonction.Par conséquent, \N- t = 10 \Nspace s \Nest le temps qu'il faut à la maquette de fusée pour atteindre sa hauteur maximale.
2. Pour trouver la hauteur maximale atteinte par la fusée miniature, tu prends l'heure à laquelle la fusée miniature atteint sa hauteur maximale, que tu as trouvée dans la partie A, et tu la branches dans la fonction donnée \N( H(t) \N).\N[ \Nbegin{align}H(t) &= -6t^{2} + 120t & \mbox{ la fonction donnée } \\N-H(10) &= -6(10)^{2} + 120(10) & \mbox { insérer 10 pour t } \N- \N-&= -6(100) +1200 & \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-{ simplifier } \\N-&= -600 + 1200 \N-&= 600\N- end{align} \]Par conséquent, \( H = 600\space m \) est la hauteur maximale atteinte par la fusée miniature.
3. Pour savoir à quel moment la maquette de fusée atterrit sur le sol après avoir été lancée, tu dois réfléchir à ce qui se passe physiquement.
   • Dans ce scénario, il y a deux cas où la maquette de fusée est au sol :
     • lorsque le modèle de fusée est lancé, et
     • lorsqu'elle atterrit.
   • Qu'est-ce qui est commun à ces deux cas ?
     • La hauteur de la fusée miniature est de \( 0 \N) !
     • Donc, pour répondre à cette question, tu dois mettre la fonction originale \NH(t) \Négale à \N( 0 \N) et résoudre \N( t \N).\N[ \NBegin{align}H(t) = -6t^{2} + 120t &= 0 \N--6t(t - 20) &= 0 \N-t = 0 \N- et } t = 20\Nend{align} \]
     • Tu sais que lorsque \( t = 0\space s \N) est le moment où le modèle de fusée a été lancé initialement, cela signifie que lorsque \( t = 20\space s \N) est le temps que le modèle de fusée met pour atterrir après avoir été lancé.

Une entreprise de fabrication constate que le bénéfice qu'elle tire de l'assemblage d'un certain nombre de bicyclettes par jour est donné par la formule suivante

\N[ P(n) = -n^{2} + 50n - 100. \N]

1. Combien de bicyclettes doivent être assemblées par jour pour maximiser le profit ?
2. Quel est le bénéfice maximum ?
3. Quelle est la perte si aucune bicyclette n'est assemblée en un jour ?

Solutions:

D'après les informations données, tu sais que :

• le profit réalisé par l'entreprise de fabrication - en dollars - est donné par la variable \( P \),
• le nombre de bicyclettes assemblées en une journée est donné par la variable \N( n \N), et
• le nombre de vélos assemblés ne peut pas être négatif.

1. Ceci te demande de trouver la valeur maximale de la fonction \N( P(n) \N).
   1. Prends la dérivée première de la fonction donnée.\N[ \Nbegin{align}P'(n) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-n^{2} + 50n - 100) \N \NP'(n) &= -2n + 50\Nend{align} \]
   2. Fixe \N P'(n) = 0 \N et résout pour \N n \N pour trouver tous les points critiques.\N[ \Nbegin{align}P'(n) = -2n + 50 &= 0 \N \N-2n &= -50 \N \Nn &= 25\Nend{align} \]
   3. Take the second derivative of the given function.\[ \begin{align}P''(n) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-2n + 50) \\ \\P''(n) &= -2\end{align} \]
   4. Insère les points critiques de l'étape \N( 2 \N) dans la dérivée seconde.\N[ P''(25) = -2 \N]
      • Puisque \N( P''(25) \N) est négatif, \N( n = 25 \N) est la valeur maximale de la fonction.Par conséquent, \N( n = 25 \N) est le nombre de bicyclettes qui doivent être assemblées par jour pour maximiser le profit.
2. Pour trouver le profit maximum, tu prends le nombre de vélos qui doivent être assemblés par jour pour maximiser le profit, que tu as trouvé dans la partie A, et tu le mets dans la fonction donnée \N( P(n) \N).\N[ \Nbegin{align}P(n) &= -n^{2} + 50n - 100 & \mbox{ la fonction donnée } \\N-P(25) &= -(25)^{2} + 50(25) - 100 & \mbox { insérer 25 pour n } \N- \N-&= -(625) + 1250 - 100 & \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-{ simplifier } \N- \N-&= -625 + 1150 \N- \N-&= 525\N- end{align} \]Par conséquent, \( P = 525 $ \) est le profit maximum.
3. Que sais-tu si aucune bicyclette n'est assemblée en un jour ? C'est exact, \N( n = 0 \N) ! Donc, pour trouver la perte si aucune bicyclette n'est assemblée en un jour, tu résous la fonction donnée lorsque n = 0.\N-[ \N-{align}P(n) &= -n^{2} + 50n - 100 & \mbox{ la fonction donnée } \\N-P(0) &= -(0)^{2} + 50(0) - 100 & \mbox { insérer 0 pour n } \N- \N-&= -(0) + 0 - 100 & \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-{ simplifier } \\ \\&= -100\end{align} \]Par conséquent, \( P = -$100 \) est la perte si aucun vélo n'est assemblé en un jour.