Continuité

Décide si la fonction

est continue en $x=2$.

Réponse :

Si tu essaies d'évaluer la fonction $f\left(x\right)$ à 2, tu obtiens une division par zéro. Donc, en fait, cette fonction n'est pas définie en $x=2$et elle ne peut donc pas être continue à cet endroit non plus. Tu peux représenter graphiquement la fonction pour voir qu'il y a une asymptote verticale à $x=2$C'est pourquoi la fonction n'est pas définie à cet endroit.

Cette fonction n'est pas continue à x=2 | StudySmarter Originals

La difficulté de l'exemple précédent était donc que la fonction n'était pas définie lorsque $x=2$. Supposons plutôt que ta fonction soit définie par

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x+2}{x-2},& x\ne 2\\ 7,& x=2\end{array}\right.$

qui est définitivement définie à $x=2.$ Cette fonction est-elle continue en $x=2$?

Réponse :

Dans ce cas

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

mais

$\underset{x\to 2+}{\lim }f\left(x\right)=\infty$,

donc la limite n'existe pas à $x=2$. Par conséquent, même si la fonction est définie lorsque $x=2$elle n'y est pas continue.

Rigons un peu plus l'exemple précédent. Si le problème est que la limite de gauche et celle de droite ne sont pas les mêmes, tu peux modifier un peu la fonction pour voir ce qui se passe. Prends

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x+2}{x-2},& x>2\\ 7,& x=2\\ -\frac{x+2}{x-2}& x<2\end{array}\right.$

Réponse :

Maintenant, quand tu regardes la limite à mesure que $x$ s'approche de 2, tu as

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\infty =\underset{x\to 2+}{\lim }f\left(x\right).$

Mais $f\left(2\right)=7$ce qui n'est certainement pas l'infini ! La fonction n'est donc toujours pas continue à $x=2$.

Décide si la fonction

est continue lorsque $x=3$.

Réponse :

L'astuce ici est de lire attentivement la question. Nous ne regardons pas nécessairement le point où la fonction change de définition, nous regardons ce que la question demande !

Dans ce cas, la fonction change de définition à x=2, mais on nous demande si elle est continue à x=3. Tout ce que tu dois donc considérer, c'est si la fonction $g\left(x\right)=x+3$ est continue en $x=3$. Mais il ne s'agit que d'une ligne, donc tu sais que

et la fonction $f\left(x\right)$ est continue en $x=3$.

Voyons ce qu'il en est, étape par étape :

Étape 1 : Assure-toi que la fonction est définie sur $x=3$. $g\left(3\right)=6$. Par conséquent, elle est définie.

Étape 2 : Assure-toi que la limite à $x=3$ existe. C'est-à-dire, vérifie si les limites de gauche et de droite de $x=3$ sont égales.

$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }g\left(x\right)=6$et $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }g\left(x\right)=6$.

Les limites de gauche et de droite de $x=3$ sont en effet égales.

Étape 3 : Enfin, vérifie si la limite est égale à la valeur de la fonction à $x=3$. C'est-à-dire :

$\begin{array}{rcl}\underset{x\to 3}{\lim }g\left(x\right)& =& g\left(3\right)\\ & & \\ 6& =& 6\end{array}$

Cette dernière condition est satisfaite. Par conséquent, la fonction est continue à $x=3$.

Décide si la fonction

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}-x^2+9,& x\le 2\\ x+3,& x>2\end{array}\right.$

est continue au point $p=2$.

Réponse :

Suivons les mêmes étapes que dans l'exemple précédent.

Étape 1 : Vérifie si la fonction est définie au point $p=2$.

$f\left(2\right)=-2^2+9=-4+9=5$.

Par conséquent, la fonction est définie à $p=2$.

Étape 2 : Maintenant, tu vérifies si la limite existe. La limite de gauche donne

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }(-x^2+9)=5,$

et la limite de droite est

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }(x+3)=5,$

ce qui signifie que

$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=5.$

Étape 3 : Enfin, vérifie si la valeur de la fonction de l'étape 1 et la limite de l'étape 2 sont égales. Elles sont toutes les deux égales à 5 !

Tu as donc vérifié :

1. Que la fonction est définie au point,
2. La limite de la fonction existe à ce point, et
3. La valeur de la fonction en ce point a la même valeur que la limite.

Par conséquent, la fonction $f\left(x\right)$ est continue en $p=2$.

Décide si la fonction

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}-x^2+9,& x\le 2\\ x+1,& x>2\end{array}\right.$

est continue au point $p=2$.

Réponse :

Étape 1 :

Comme dans l'exemple précédent, $f\left(2\right)=5$

Étape 2 : Vérifie les limites de gauche et de droite :

La limite de gauche :

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=5.$

Mais maintenant la limite de droite est

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }(x+1)=2,$

donc

$\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)$

n'existe pas. Par conséquent, la fonction n'est pas continue au point $p=2$.