Fonctions à valeurs vectorielles

Vecteurs

Fig. 1. Un vecteur peut être considéré comme une flèche qui pointe d'un endroit à un autre.

Les vecteurs peuvent être écrits de deux manières différentes,

• Forme du vecteur colonne : \N( \Ndébut{bmatrice} x \Ny \Nfin{bmatrice}, \N)

• Forme composante : \N( x \vec{i} + y \Nvec{j}. \N)

Ces deux vecteurs sont équivalents. Numériquement, les vecteurs peuvent être additionnés et soustraits en ajoutant ou en soustrayant les composants individuels. De même, ils peuvent être multipliés par des quantités scalaires en multipliant les composants individuels. Sous forme de composants, cela revient à rassembler les termes similaires et à développer les parenthèses.

Graphiquement, l'addition de vecteurs se fait en les empilant pointe à pointe, et la soustraction en les empilant pointe à pointe, mais en orientant le second vecteur dans la direction opposée. Multiplier des nombres par un scalaire \(\lambda\) revient à empiler \(\lambda\) des mêmes vecteurs, pointe contre pointe, et si \(\lambda\) est négatif, le produit pointera dans la direction opposée.

Enfin, étant donné un vecteur \( v = x \vec{i} + y \vec{j},\N) la magnitude \(|\vec{v}|\N) et l'angle de direction \N(\Ntheta\N) d'un vecteur peuvent être calculés à l'aide des formules suivantes :

\[ \begin{align} \c{v} | & = \sqrt{ x^2 + y^2 }, \\n- \theta & = \tan^{-1}\gauche({\frac{x}{y}}\ droite) \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n-{align} \]

Pour plus d'informations sur tout cela, voir Vecteurs.

Que sont les fonctions à valeurs vectorielles ?

Les fonctions à valeurs vectorielles sont semblables aux fonctions à valeurs réelles, mais elles produisent un vecteur au lieu d'un scalaire.

À partir de cette définition, tu peux déduire le domaine et l'étendue d'une fonction à valeur vectorielle.

• Le domaine d' une fonction à valeur vectorielle est un sous-ensemble de \N(\Nmathbb{R},\N).

• L'étendue d' une fonction vectorielle à \(n\)dimensions est un sous-ensemble de \(\mathbb{R}^n.\N).

Ici, tu te concentreras sur les vecteurs en 2 dimensions, ce qui signifie que l'étendue des fonctions sera un sous-ensemble de \(\mathbb{R}^2.\) Il est important de noter qu'il s'agit d'un sous-ensemble de \(\mathbb{R}^2\) et non de l'ensemble de \(\mathbb{R}^2,\) car tu rencontreras de nombreuses fonctions à valeur vectorielle qui ne peuvent pas sortir en tout point de \(\mathbb{R}^2.\).

Exemples de fonctions à valeurs vectorielles

Il existe de nombreux types de fonctions à valeurs vectorielles, mais tu verras ici quelques-unes des plus simples.

Lignes droites

La formule vectorielle d'une ligne droite est la suivante

\[ \c{r}(t) = \begin{bmatrix} a_1 \\c a_2 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} b_1 \ b_2 \end{bmatrix}. \]

Ici, \(\vec{a} = a_1 \vec{i} + a_2 \vec{b} \) est le vecteur position d'un point \(a\) sur la ligne, et \( \vec{b} = b_1 \vec{i} + b_2 \vec{j} \) est un vecteur qui est parallèle à la ligne.

Fig. 2. Une droite est définie par une fonction à valeur vectorielle utilisant un point sur la droite, \(a,\N) et un vecteur parallèle à la droite, \N(\Nvec{b}.\N).

Cercles et ellipses

L'équation vectorielle d'un cercle de rayon \(a\) est la suivante

\[ \vec{r}(t) = \begin{bmatrix} a \cos{t} \\\N a \sin{t} \Nend{bmatrix} \N]

Fig. 3. La fonction à valeur vectorielle pour un cercle peut être réalisée à l'aide des fonctions sinus et cosinus.

Une ellipse peut être définie de la même manière, mais en utilisant \N(a\N)comme ordonnée sur l'axe \N(x\N)et \N(b\N)comme ordonnée sur l'axe \N(y\N)-.

\N[ \Nvec{r}(t) = \Ndébut{bmatrice} a \Ncos{t} \Nb \Nsin{t} \Nfin{bmatrice} \N]

Fig. 4. La fonction à valeur vectorielle d'une ellipse peut être définie de façon similaire à celle d'un cercle, mais en tenant compte des différentes interceptions de l'axe.

Les spirales

Il existe de nombreuses façons de définir les spirales en mathématiques, mais une méthode simple consiste à les définir de la même façon que les spirales et les cercles, mais en ajoutant un terme \(t\) devant les fonctions trigonométriques.

\[ \c{r}(t) = \cbegin{bmatrix} a t \cos{t} \c b t \sin{t} \cend{bmatrix} \c]

Fig. 5, Le graphique d'une spirale, où \(a = b = \frac{1}{2}. \N-)

Représentation graphique des fonctions à valeurs vectorielles

Lorsque tu as appris à représenter graphiquement des équations cartésiennes telles que \N(y = f(x),\N), tu as probablement commencé par dessiner un tableau de valeurs pour \N(x,\N), puis tu as indiqué les valeurs correspondantes de \N(y.\N) Tu pouvais ensuite tracer ces points et les joindre pour créer une estimation de la courbe. Tu peux faire exactement la même chose pour représenter graphiquement les fonctions à valeurs vectorielles, mais en commençant par la variable \(t\N) et en utilisant ces valeurs de \(t\N) pour calculer les valeurs correspondantes de \(x\N) et \N(y.\N).

Pour voir d'autres exemples, voir Représentation graphique des fonctions vectorielles.

Formule des fonctions à valeurs vectorielles

La formule la plus importante pour les fonctions à valeurs vectorielles est la formule de la longueur d'arc, ou la longueur d'une courbe entre deux points.

La longueur de la courbe entre les points \(t=a\) et \(t=b.\)

La longueur \(L\) d'une courbe \(\vec{r}(t) = f(t) \vec{i} + g(t) \vec{j} \) entre deux points \N(a\N) et \N(b\N) est

\N- L = \Nint_a^b \Nsqrt{[f'(t)]^2 + [g'(t)]^2} \, \mathrm{d}t. \]

Cela permet de mesurer toute la longueur de la courbe, comme si tu avais posé un bout de ficelle sur la courbe, puis que tu l'avais coupé et mesuré. Voyons quelques exemples à l'aide de cette formule.

Dérivée d'une fonction à valeur vectorielle

La dérivée des fonctions à valeur vectorielle peut être trouvée en différenciant chaque composante de la fonction à valeur vectorielle. La dérivée de \( \vec{r}(t) = f(t) \vec{i} + g(t) \vec{j} \) est :

\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t(t) = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}(t) \vec{i} + \frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}\mathrm{d}}(t) \vec{j}, \]

en supposant que les dérivées de \(f(t)\N et \N(g(t)\N) par rapport à \N(t\N) existent. C'est logique, car cela revient à utiliser la règle de l'addition pour différencier n'importe quelle autre fonction. La dérivée d'une fonction à valeur vectorielle en un point pointera dans la direction de déplacement de la fonction, sur une tangente à la courbe.

Si la fonction à valeur vectorielle, appelée \N(\Nvec{s}(t),\N) représente la position sur le plan \N(xy) à l'instant \N(t,\N), alors la dérivée de cette fonction sera le vecteur vitesse \N(\Nvec{v}(t).\N). La magnitude du vecteur vitesse à l'instant \N(t) est la vitesse de déplacement à l'instant \N(t.\N) De même, la différentielle du vecteur vitesse sera le vecteur accélération, \N( \Nvec{a}(t). \) Voyons maintenant comment différencier certaines fonctions à valeur vectorielle.

Pour en savoir plus sur la différenciation des fonctions à valeurs vectorielles, voir Calcul des fonctions à valeurs vectorielles.