Résultats des intégrales en fonctions trigonométriques inverses

Nous allons examiner ici la dérivée de la fonction sinus inverse et la façon dont nous pouvons l'utiliser dans l'intégration.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arcsin{\frac{x}{a}}=\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$$

Considérons maintenant l'intégrale suivante :

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}$$

L'intégrale ci-dessus peut être réalisée à l'aide de la substitution trigonométrique. Ici, nous devrions faire \(u=a\sin{x}\) et utiliser l'identité trigonométrique de Pythagore \(\sin^2{x}+\cos^2{x}=1\). Au lieu de cela, nous utiliserons notre rappel sur la dérivée de la fonction sinus inverse.

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\arcsin{\frac{x}{a}}+C$$

Cela devient beaucoup plus facile si nous avons une table d'intégration sous la main !

C'est au tour de la dérivée de la fonction cosinus inverse.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arccos{\frac{x}{a}}=\text{-}\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$$

Tu as remarqué quelque chose ? C'est le négatif de la dérivée de la fonction sinus inverse. Considère maintenant l'intégrale suivante.

$$\int\text{-}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}$$

Nous pouvons utiliser la fonction cosinus inverse, mais nous pouvons également éliminer le signe négatif de l'intégrale et utiliser la fonction sinus inverse.

$$\int\text{-}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\text{-}\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}$$

De cette façon, il y a une formule de moins à mémoriser.

$$\int\text{-}\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{a^2-x^2}}=\text{-}\arcsin{\frac{x}{a}}+C$$

Évalue l'intégrale suivante :

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{9+x^2}$$

Lorsque nous évaluons ce type d'intégrales, nous devons identifier la valeur de \(a\) ; de cette façon, nous pouvons utiliser la formule correspondante pour trouver l'antidérivée de la fonction demandée.

• Réécris \(9\) comme \(3^2\).

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{9+x^2}=\int\frac{\mathrm{d}x}{3^2+x^2}$$

• Intégrer en utilisant la fonction tangente inverse avec \(a=3\).

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{9+x^2}=\frac{1}{3}\arctan{\frac{x}{3}}+C$$

Evalue l'intégrale suivante :

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{5-x^2}}$$

Même si \(5\) n'est pas un carré parfait, c'est toujours le carré de \(\sqrt{5}\).

• Réécris \N(5\N) comme \N( (\sqrt{5})^2 \N).

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{5-x^2}}=\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{(\sqrt{5})^2-x^2}}$$

• Intégrer en utilisant la fonction sinus inverse avec \(a=\sqrt{5}\).

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{5-x^2}}=\arcsin{\frac{x}{\sqrt{5}}}+C$$

Évalue l'intégrale suivante :

$$\int\frac{x\,\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^4}}$$

Puisque la variable est soustraite, nous utiliserons la fonction sinus inverse. Ensuite, nous remarquons que nous pouvons réécrire \(x^4=(x^2)^2\).

$$\int\frac{x\,\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^4}}=\int\frac{x\,\mathrm{d}x}{\sqrt{1-(x^2)^2}}$$

Cela suggère d'utiliser l'intégration par substitution avec \(u=x^2\).

• Utilise la règle de puissance pour trouver \(\mathrm{d}u\).

$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=2x \rightarrow \frac{1}{2}\mathrm{d}u=x\,\mathrm{d}x$$

• Ecris l'intégrale en termes de \(u\N) et \N(\mathrm{d}u\N).

$$\int\frac{x\,\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{1}{2}\int\frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1-u^2}}$$

• Intégrer à l'aide de la fonction sinus inverse.

$$\int\frac{x\,\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{1}{2}\arcsin{u}+C$$

• Substitue \(u=x^2\).

$$\int\frac{x\,\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^4}}=\frac{1}{2}\arcsin{x^2}+C$$

Évalue l'intégrale suivante :

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^6-4}}$$

Commence par noter que \(x^6=(x^3)^2\).

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^6-4}}=\int\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{(x^3)^2-4}}$$

Cette fois-ci, nous utiliserons la fonction sécante inverse puisqu'une constante est soustraite de la variable, mais nous devons d'abord effectuer la substitution suivante :

$$u=x^3 \rightarrow \mathrm{d}u=3x^2\,\mathrm{d}x$$$.

Nous devons avoir \(3x^2\) au numérateur, pour que cette substitution puisse fonctionner. Nous allons donc multiplier par 1 à l'intérieur de l'intégrale.

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^6-4}}=\frac{1}{3}\int\frac{3x^2\,\mathrm{d}x}{x^2\,x\sqrt{(x^3)^2-4}}$$

Ici, nous avons multiplié par \(3x^2\) au numérateur et au dénominateur et factorisé \(\frac{1}{3}\) de l'intégrale. Cette expression peut maintenant être simplifiée comme suit :

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^6-4}}=\frac{1}{3}\int\frac{3x^2\,\mathrm{d}x}{x^3\sqrt{(x^3)^2-4}}$$

En substituant \(u=x^3\) nous obtenons :

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^6-4}}=\frac{1}{3}\int\frac{\mathrm{d}u}{u\sqrt{u^2-4}}$$

Nous pouvons maintenant intégrer à l'aide de la fonction sécante inverse.

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^6-4}}=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\mathrm{arcsec}{\frac{u}{2}}+C$$

Enfin, nous remplaçons \(u=x^3\). Nous simplifions également les fractions.

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{x^6-4}}=\frac{1}{6}\mathrm{arcsec}{\frac{x^3}{2}}+C$$

Évalue l'intégrale suivante :

$$\int \mathrm{arctan}{\, 3x} \, \mathrm{d}x.$$

Cette intégrale ressemble presque à l'intégrale de la fonction tangente inverse. Il suffit de faire une substitution pour la résoudre.

• Soit \N( u=3x.\N) Trouve \N( \mathrm{d}u \N) en utilisant la règle de la puissance.

$$u=3x \rightarrow \mathrm{d}u=3\mathrm{d}x$$$

• Isoler \N( \mathrm{d}x. \N)

$$\mathrm{d}u=3\mathrm{d}x \rightarrow \mathrm{d}x=\frac{1}{3}\mathrm{d}u$$

• Ecris l'intégrale en termes de \(u\N) et \N(\Mathrm{d}u.\N)

$$\begin{align} \int \mathrm{arctan}{\c}, 3x} \, \mathrm{d}x &= \int \mathrm{arctan}{\, u}\left( \frac{1}{3} \mathrm{d}u \right) \\ &= \frac{1}{3}\int \mathrm{arctan}{\, u} \, \mathrm{d} u \end{align}$$

• Intègre la fonction tangente inverse.

$$\int \mathrm{arctan}{\c}, 3x} \, \mathrm{d}x = \frac{1}{3} u\,\mathrm{arctan}{\,u}-\frac{1}{2}\ln{(u^2+1)} $$.

• Substitue \(u=3x,\N) en simplifiant, et ajoute la constante d'intégration.

$$\begin{align} \int \mathrm{arctan}{\c, 3x} \N- \N, \Nmathrm{d}x &= \frac{1}{3} \N- gauche(3x \N,\Nmathrm{arctan}{\N,(3x)}-\Nfrac{1}{2}\Nln{((3x)^2+1)}\Ndroite) \N &= x\N,\Nmathrm{arctan}{\N, 3x} - \frac{1}{6}\ln{\left( 9x^2+1\right)} + C \end{align}$$.