Modèle Black-Scholes

Origine du modèle de Black-Scholes

Tu te demandes comment le modèle de Black-Scholes est né ? Black et Scholes ont présenté leur modèle dans un article intitulé "The Pricing of Options and Corporate Liabilities", publié dans le Journal of Political Economy. Depuis lors, le modèle de Black-Scholes est devenu largement utilisé dans le commerce des options.

Pourquoi utiliser le modèle d'évaluation des options de Black-Scholes ?

Le modèle de Black-Scholes peut être appliqué pour calculer le prix théorique des options d'achat et de vente européennes, en ne tenant pas compte des dividendes versés pendant la durée de vie de l'option. Le modèle de Black-Scholes est généralement utilisé pour évaluer les options sur les marchés monétaires. Ce modèle a sans aucun doute l'avantage sur certaines autres approches. Voici quelques raisons pour lesquelles tu devrais utiliser le modèle Black-Scholes :

• Ses hypothèses sur le comportement du marché ont été jugées plausibles par de nombreuses études.
• Il est assez simple à calculer, ce qui est avantageux pour les décisions financières sensibles au facteur temps.
• Le modèle prend en compte divers facteurs affectant le prix des options, tels que le cours de l'action, le prix d'exercice, la date d'expiration, la volatilité et les taux d'intérêt sans risque.

Interprétation des résultats du modèle Black-Scholes

Tu as donc utilisé le modèle Black-Scholes. En suivant le modèle, la valeur de l'option est généralement exprimée par la formule suivante : \[ C = S_0e^{-qt}N(d_1) - Xe^{-rt}N(d_2) \]. Une fois que tu auras introduit les chiffres et effectué le calcul à l'aide de cette formule, tu obtiendras une valeur. Cette valeur peut être interprétée comme la juste valeur théorique de l'option en fonction des données utilisées. Si le prix actuel du marché pour l'option est supérieur à cette valeur, tu pourrais conclure que l'option est surévaluée, et vice versa. N'oublie pas que si ce modèle fournit une valeur théorique, les prix réels du marché peuvent varier en fonction d'autres facteurs tels que l'humeur du marché, dont le modèle ne tient pas compte.

Hypothèses du modèle de Black-Scholes

Le modèle de Black-Scholes fonctionne sur la base de diverses hypothèses afin de rationaliser le processus d'évaluation des options. Bien que la commodité soit un atout, il est important de se rappeler que ces hypothèses peuvent ne pas se vérifier sur tous les marchés ou dans toutes les situations. Les principales hypothèses du modèle de Black-Scholes couvrent le taux sans risque, la volatilité et la distribution normale.

Hypothèse du taux sans risque dans le modèle de Black-Scholes

Au cœur du modèle de Black et Scholes se trouve le concept de taux sans risque. Le taux sans risque est un taux de rendement hypothétique attendu d'un investissement sans risque. Dans le modèle de Black-Scholes, on suppose que le taux sans risque est constant et connu pendant toute la durée de vie de l'option. Cette hypothèse simplifie le modèle, car elle élimine la nécessité de prédire les taux d'intérêt futurs. Cependant, comme tu peux l'imaginer, c'est rarement le cas dans la réalité. Les taux d'intérêt fluctuent, et les prédire est une tâche notoirement difficile. La formule du modèle Black-Scholes, comme nous l'avons déjà mentionné, est la suivante : \[ C = S_0e^{-qt}N(d_1) - Xe^{-rt}N(d_2) \] Dans cette formule, \( r \) représente le taux sans risque. En tant que tel, le taux sans risque a un impact direct sur le prix de l'option, affectant le taux d'actualisation utilisé.

Hypothèse de volatilité dans le modèle de Black-Scholes

Le modèle de Black-Scholes fait également une hypothèse sur la volatilité. Le modèle suppose que la volatilité de l'actif sous-jacent est constante et connue pendant toute la durée de vie de l'option. La volatilité, telle qu'elle est supposée par le modèle, fait référence à l'écart type des rendements de l'actif. Cela peut entraîner un écart entre les estimations du modèle et les prix réels, car la volatilité a tendance à changer au fil du temps. La volatilité est notoirement difficile à estimer et cette hypothèse entraîne souvent des erreurs de prix.

Hypothèse de distribution normale

L'hypothèse suivante est celle de la distribution log-normale des prix des actifs. Le modèle Black-Scholes fonctionne selon l'hypothèse que les rendements de l'actif sous-jacent sont normalement distribués. Cela découle de l'hypothèse selon laquelle le mouvement du prix de l'actif sous-jacent peut être décrit à l'aide d'un mouvement brownien géométrique avec une dérive et une volatilité constantes. Mais les rendements des actifs du monde réel présentent une asymétrie et une aplatissement - c'est-à-dire que les rendements ne sont pas toujours symétriques et peuvent s'écarter de la distribution normale en forme de cloche. Tu dois te rappeler que les modèles sont basés sur des hypothèses simplificatrices pour les rendre accessibles - une précision parfaite dans la modélisation de marchés financiers complexes est presque impossible, et le modèle de Black et Scholes ne fait pas exception à la règle.

Limites du modèle de Black et Scholes

Bien que le modèle Black-Scholes soit largement utilisé et très respecté, ce n'est pas un outil sans faille. Comme tout modèle, il a ses limites et ses détracteurs. Certaines des principales limites proviennent des propres hypothèses du modèle, en particulier en ce qui concerne les taux sans risque, la volatilité et la distribution normale. Une bonne compréhension de ces limites peut te permettre de savoir quand le modèle fournit des informations précieuses et quand il n'est pas à la hauteur.

Inconvénients des hypothèses du modèle Black-Scholes

Malgré la vaste application du modèle Black-Scholes et sa profonde influence dans le domaine de l'économie financière, ses limites proviennent de ses hypothèses, qui sont souvent en contradiction avec la réalité. L'une des principales hypothèses du modèle Black-Scholes est que les marchés sont parfaitement efficaces et qu'il n'existe pas d'opportunités d'arbitrage. En d'autres termes, il suppose que les marchés sont toujours parfaitement équilibrés et que le prix des titres est toujours correct. Mais en réalité, les marchés ne sont pas toujours efficaces et des opportunités d'arbitrage se présentent occasionnellement. Une autre hypothèse importante concerne les dividendes. Le modèle original de Black-Scholes suppose que l'action sous-jacente ne verse pas de dividendes. Cependant, de nombreuses actions versent par nature des dividendes, ce que le modèle ne prenait pas en compte à l'origine. Plus précisément, les hypothèses liées aux taux sans risque et à la volatilité posent également des problèmes :

• Taux sans risque constant : Le modèle Black-Scholes suppose l'existence et la connaissance d'un taux sans risque, qui est utilisé à des fins d'actualisation. Cependant, le taux sans risque n'est pas constant dans la réalité. Il peut changer en fonction d'une myriade de facteurs, notamment la politique monétaire et les prévisions d'inflation. L'hypothèse d'un taux sans risque constant est donc généralement inexacte.
• Volatilité constante : L'hypothèse d'une volatilité constante est souvent violée dans les scénarios du monde réel. La volatilité a tendance à changer au fil du temps et est fréquemment sujette à des "regroupements de volatilité" - les périodes de forte volatilité ont tendance à être suivies par des périodes de forte volatilité, et les périodes de faible volatilité par des périodes de faible volatilité.

Ces hypothèses simplifient la réalité pour rendre le modèle théoriquement et informatiquement traitable. Cependant, elles limitent également la précision du modèle dans certains scénarios de marché.

Limites du modèle Black-Scholes Distribution normale

Une hypothèse cruciale et souvent critiquée du modèle Black-Scholes est qu'il suppose une distribution log-normale des prix des actifs. Cela suggère que les prix des actifs ont tendance à augmenter et à diminuer avec la même probabilité. Le modèle suppose que les rendements des actifs sous-jacents sont normalement distribués. Par conséquent, les événements "extrêmes" ou les valeurs aberrantes sont considérés comme peu probables. Cependant, dans la pratique, les marchés financiers ont montré que des changements de prix extrêmes peuvent se produire, et plus que ce que la distribution normale pourrait suggérer. La réalité n'est pas de cet avis. Les observations empiriques des rendements des actifs montrent souvent une asymétrie et un excès d'aplatissement, ce qui signifie que les rendements peuvent être asymétriques et présenter des résultats plus extrêmes que ceux prévus dans le cadre d'une distribution normale. Cette limite est devenue particulièrement visible pendant les périodes de crise financière, lorsque des événements extrêmes se sont produits plus fréquemment que le modèle ne le prévoyait. En raison de ces limites, le modèle Black-Scholes, aussi utile soit-il, doit être appliqué avec prudence et avec une bonne compréhension de ses hypothèses et de ses limites inhérentes. C'est pourquoi de multiples variations du modèle classique de Black-Scholes sont apparues au fil du temps, tentant de remédier à ces hypothèses problématiques et de fournir un outil d'évaluation plus précis pour les options dans un marché complexe et volatile. L'une de ces variations est le modèle Black-Scholes-Merton, qui permet d'établir le prix des options qui versent des dividendes.

Exemple du modèle Black-Scholes

Il est maintenant temps de voir le modèle de Black-Scholes en action. Un exemple pratique te permettra de mieux comprendre le rôle que jouent les hypothèses dans le modèle et la façon dont les calculs sont effectués. Prenons un exemple où toutes les informations pertinentes sur une option et son action correspondante sont disponibles.

Modèle de Black Scholes - Un exemple concret

Prenons une situation hypothétique pour une option d'achat sur une action qui ne verse pas de dividende. Nous allons effectuer les calculs du modèle de Black-Scholes en utilisant les données suivantes :

• Prix de l'action, \( S_0 = £1000 \)
• Prix d'exercice, \N( X = £100 \N)
• Temps jusqu'à l'expiration, \( T = 6 \) mois ou 0.5 ans
• Taux sans risque, \N( r = 5\N% \N)
• Volatilité, \( \sigma = 20\% \)

Tout d'abord, calculons \N( d_1 \N). \[ d_1 = \frac{ln(\frac{S_0}{X}) + (r + \frac{\sigma^2}{2})T}{\sigma\sqrt{T} \] Insérer les valeurs données, et cela nous donne : \[ d_1 = \frac{ln(\frac{1000}{100}) + (0.05 + \frac{(0,2)^2}{2})0,5}{0,2\sqrt{0,5}} \approx 2.0494 \] Ensuite, nous calculons \( d_2 \) : \[ d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T} \] Substituer les valeurs : \[ d_2 = 2.0494 - 0.2\sqrt{0.5} \approx 1.8494 \N- Une fois que nous avons \N( d_1 \N) et \N( d_2 \N), nous pouvons trouver la valeur de l'option d'achat en utilisant la formule de Black-Scholes : \N[ C = S_0N(d_1) - Xe^{-rT}N(d_2) \N] En supposant que \N( N(d_1) \Napproximativement 0.98 \N) et \N( N(d_2) \Napprox 0.97 \N) des tables normales standard, \N[ C = 1000 \Nfois 0.98 - 100 \Nfois e^{-0.05 \Nfois 0.5} \N- fois 0,97 \Napprox £920.5 \N] Ainsi, selon le modèle de Black-Scholes, la valeur estimée de l'option d'achat est d'environ £920.5.

Des hypothèses aux calculs - un exemple

Pour illustrer la façon dont les hypothèses du modèle de Black et Scholes s'appliquent en pratique, revenons à notre exemple d'une option d'achat pour une action qui ne verse pas de dividende. Les paramètres de l'option sont les mêmes : un prix de l'action de 1000 livres sterling, un prix d'exercice de 100 livres sterling, 6 mois jusqu'à l'expiration, un taux sans risque de 5 % et une volatilité de 20 %. L'hypothèse d'efficience du marché du modèle Black-Scholes implique que le prix actuel de l'action, qui est de 1000 livres sterling, reflète entièrement toutes les informations accessibles au public. Il n'est donc pas possible d'acheter l'action à un prix inférieur à sa juste valeur marchande ou de la vendre à un prix supérieur. L'hypothèse d'un taux sans risque constant simplifie nos calculs. Nous utilisons un taux sans risque de 5 %. Dans la pratique, le taux sans risque peut fluctuer pendant la durée de vie de l'option, mais pour notre objectif, il reste constant. L'hypothèse d'une volatilité constante dans le modèle de Black-Scholes nous permet d'utiliser une volatilité de 20 % pendant toute la durée de vie de l'option. De même, sur un marché réel, la volatilité peut fluctuer. Enfin, nous supposons une distribution log-normale du prix de l'action. Cela implique une hypothèse de base selon laquelle le prix de l'action sous-jacente peut théoriquement augmenter jusqu'à l'infini alors qu'il ne peut pas descendre en dessous de zéro. Avec ces hypothèses, tu peux comprendre comment elles se reflètent dans les calculs du modèle de Black-Scholes, comme cela a été illustré dans l'exemple précédent. N'oublie pas que le prix calculé de l'option d'achat (920,5 £) est basé sur ces hypothèses, et que tout écart dans le scénario du marché par rapport à ces hypothèses peut affecter le prix réel de l'option.

Utilisation du modèle de Black-Scholes

Le modèle de Black-Scholes, en raison de sa structure simple et de sa traçabilité analytique, a été largement accepté et continue d'être un outil fondamental dans le domaine de la finance. Sa valeur découle notamment de sa capacité à calculer le prix exact d'une option avant qu'elle n'atteigne sa date d'expiration. Mais ce n'est pas là l'étendue de ses applications. Le modèle de Black-Scholes a de nombreuses utilisations qui vont au-delà de son objectif initial. Voyons comment il est utilisé en pratique sur les marchés financiers et comment il peut aider à la planification financière.

Applications pratiques du modèle Black-Scholes

On peut se demander comment un modèle théorique comme le modèle Black-Scholes peut être utilisé dans le monde réel. En réalité, les applications pratiques du modèle sont nombreuses. Mais outre cette fonction essentielle, le modèle est également appliqué dans des domaines tels que les stratégies de négociation, les réglementations financières et la gestion des risques :

• Stratégies commerciales : Les négociateurs d'options utilisent également le modèle Black-Scholes pour mieux comprendre les décisions de négociation. Ils peuvent utiliser le modèle pour identifier les options dont le prix est trop élevé ou trop bas sur le marché. Ces écarts offrent des opportunités de négociation, notamment en matière d'arbitrage.
• Réglementations financières : Les autorités de régulation utilisent le modèle Black-Scholes pour calculer le juste prix des options. Cela fait partie de leurs activités de surveillance et contribue à garantir l'équité et la transparence des marchés.
• Gestion des risques : Les banques et autres institutions financières utilisent le modèle Black-Scholes pour gérer les risques. Ce modèle les aide à comprendre la sensibilité du prix des options à divers facteurs - le prix de l'actif sous-jacent, le délai d'expiration, les taux d'intérêt et la volatilité. Ces informations aident à structurer une stratégie d'atténuation des risques.

N'oublie pas cependant que si le modèle Black-Scholes peut être un outil efficace pour fixer le prix des options et gérer les risques, il n'est pas sans limites. Ses hypothèses sous-jacentes ne se vérifient pas toujours dans les conditions réelles du marché, ce qui entraîne des inexactitudes dans l'évaluation des options. Par conséquent, toute application du modèle doit se faire avec prudence.

Le modèle Black-Scholes - un outil de planification financière

Au-delà des applications pratiques sur les marchés financiers, tu peux te demander comment ce modèle financier s'applique aux individus et à leur planification financière. Bien que cela puisse sembler étrange à première vue, le modèle de Black-Scholes peut en effet être utilisé dans la planification financière personnelle. Prenons un exemple. Disons que tu as des options d'achat d'actions dans l'entreprise pour laquelle tu travailles. Ces options te donnent le droit d'acheter des actions de la société à un prix prédéterminé dans le futur. Le modèle Black-Scholes peut être utilisé pour estimer la valeur de ces options aujourd'hui. Le modèle peut également être utilisé pour mesurer le risque potentiel d'un portefeuille financier contenant des options. En déterminant la réactivité du prix des options aux variations du prix de l'actif sous-jacent, du délai d'expiration, des taux d'intérêt et de la volatilité, tu peux mieux comprendre le profil de risque de ton portefeuille. Cette information peut guider les décisions concernant la conservation ou la vente des options, ce qui peut aider à optimiser les rendements et à gérer les risques. En outre, le modèle de Black-Scholes peut également être appliqué à divers autres aspects de la planification financière, tels que la stratégie et la prise de décision en matière d'investissement, la planification de la retraite, la planification successorale, et plus encore. Encore une fois, la prudence est de mise lorsqu'on utilise le modèle de Black-Scholes pour ces applications. Les hypothèses du modèle ne sont pas toujours respectées dans le monde réel, et il est important de tenir compte de cette divergence lorsque l'on applique le modèle à la planification financière personnelle. Cependant, lorsqu'il est utilisé correctement et avec compréhension, le modèle Black-Scholes peut effectivement être un outil précieux pour la planification financière et la prise de décision.