Compromis risque-rendement

Définition du compromis risque-rendement

La définition du compromis risque-rendement est assez simple. La récompense que tu obtiens pour une décision que tu prends est l'augmentation ou la diminution du bonheur, de la sécurité, de la popularité, etc. Sur les marchés financiers, la récompense est le rendement de ton investissement, c'est-à-dire l'augmentation ou la diminution de ton investissement au fil du temps.

L'autre facteur de décision est le risque. Sur les marchés financiers, le risque fait référence au fait que les investisseurs ne savent pas avec certitude quel sera le résultat de leur décision d'investissement. Il existe une certaine probabilité, ou chance, qu'un certain résultat, qui peut être bon ou mauvais, se produise, mais cette probabilité est presque toujours inférieure à 100 %. Ainsi, lorsqu'ils prennent des décisions financières, les gens doivent être conscients des risques encourus et des résultats possibles.

Si tu dois choisir entre l'investissement A, qui est très risqué, et l'investissement B, qui est beaucoup moins risqué, quel est l'investissement qui devrait te coûter le plus cher ? Si tu choisis l'investissement A et que tu sais que le risque qu'il perde de la valeur est beaucoup plus grand que celui de l'investissement B, tu voudras probablement être compensé pour avoir pris plus de risques. Cette compensation est le rendement de ton investissement. Comme les actifs moins chers ont généralement un rendement plus élevé, le placement A, plus risqué, aura un prix plus bas que le placement B, moins risqué.

Cet exemple montre pourquoi les prix sont plus bas et les rendements plus élevés pour les actifs plus risqués. Le risque et le rendement sont positivement corrélés. Cela signifie que plus un investisseur souhaite un rendement élevé, plus il doit accepter de prendre des risques. C'est le compromis risque-rendement qui est inhérent à toutes les décisions financières.

Formule du compromis risque-rendement

La formule du compromis risque-rendement montre comment le risque et le rendement sont positivement corrélés. Jetons un coup d'œil.

La valeur attendue d'un investissement est la moyenne pondérée par les probabilités des résultats possibles. S'il y a deux résultats possibles A et B, et deux probabilités_PA et_PB, alors la valeur attendue est :

\(\hbox{Valeur attendue} = P_A \times \hbox{Valeur du résultat A} + P_B \Nfois \hbox{Valeur du résultat B}\N)

De la même manière, au lieu d'utiliser des probabilités pour les pondérations, nous pouvons utiliser la part d'un portefeuille constituée d'actions et la part constituée d'un actif sans risque comme pondérations. Les investisseurs considèrent que les bons du Trésor américain à court terme sont sans risque parce qu'il y a très peu de chances que le gouvernement américain fasse défaut sur sa dette avant que les bons du Trésor n'arrivent à échéance. Ainsi, le taux d'intérêt de ces bons du Trésor est considéré comme le taux sans risque.

Notons ce qui suit :

\(R_p = \hbox{Rendement attendu du portefeuille}\)

\(R_m = \hbox{Rendement attendu du marché boursier}\)

\(R_f = \hbox{Taux sans risque}\)

\(b = \hbox{Part du portefeuille en actions}\)

\((1 - b) = \hbox{Part du portefeuille en bons du Trésor sans risque}\)

La formule du compromis risque-rendement est alors la suivante :

\(R_p = b \times R_m + (1 - b) \times R_f\)

Moins un investisseur est averse au risque, plus il investira dans les actions, et plus b sera élevé, et vice versa.

Si b = 1, l'ensemble du portefeuille sera constitué d'actions, et le rendement attendu du portefeuille sera donc égal au rendement attendu des actions. Si b = 0, l'ensemble du portefeuille sera constitué de bons du Trésor sans risque, et le rendement attendu du portefeuille sera égal au taux sans risque.

En réarrangeant l'équation ci-dessus, on obtient :

Équation 1 :

\(R_p = R_f + b fois (R_m - R_f)\)

Alors, comment un investisseur peut-il savoir quelle doit être la valeur de b ?

L'écart-type, qui est une mesure de la variabilité, est utilisé pour déterminer le caractère risqué d'un investissement. Étant donné que l'écart-type des bons du Trésor américain à court terme est pratiquement nul, la seule mesure du risque dans un portefeuille bien diversifié est l'écart-type du marché.

Notons :

\(S_p = \hbox{écart-type du portefeuille}\).

\(S_m = \hbox{écart-type du marché}\)

Ainsi :

Equation 2 :

\(S_p = b fois S_m\)

Autrement dit, l'écart-type du portefeuille est égal à la part du portefeuille dans le marché boursier multipliée par l'écart-type du marché boursier.

En réarrangeant cette équation, on obtient :

Équation 3 :

\(b = \frac{S_p} {S_m}\)

C'est-à-dire que la part du portefeuille dans le marché boursier devrait être égale à l'écart-type du portefeuille divisé par l'écart-type du marché boursier. Mais il y a un problème. Si nous ne connaissons pas la valeur de b, comment pouvons-nous connaître la valeur de_Sp? Nous avons une équation et deux inconnues. Pour résoudre cette énigme, nous introduisons d'abord la formule pour b dans l'équation 1 comme suit :

Équation 4 :

\(R_p = R_f + \frac{S_p} {S_m} \N- fois (R_m - R_f)\N)

Nous disposons maintenant d'une équation qui montre que plus_Sp (le risque) augmente, plus _Rp (le rendement) augmente également. C'est ce qu'on appelle la ligne budgétaire de l'investisseur. Mais comment l'investisseur sait-il quel risque (_Sp) il doit prendre ? La réponse est qu'il doit comparer la ligne budgétaire avec son niveau d'aversion au risque, représenté par les courbes d'indifférence.

Les courbes d'indifférence sont ascendantes parce que le risque n'est pas souhaitable. En d'autres termes, plus le risque est grand, plus le rendement doit être élevé. Un investisseur qui a une aversion pour le risque aura des courbes d'indifférence plus raides, ce qui signifie qu'il a besoin d'une forte augmentation du rendement en échange d'une faible augmentation du risque. Un investisseur moins averse au risque aura des courbes d'indifférence plus plates, indiquant qu'il a besoin d'une augmentation beaucoup plus faible du rendement en échange d'une faible augmentation du risque.

Lorsque nous traçons la ligne budgétaire et les courbes d'indifférence d'un investisseur sur un graphique, l'investisseur choisit le niveau de risque,_Sp, où la ligne budgétaire est tangente à la courbe d'indifférence la plus élevée possible, comme le montre la figure 2 ci-dessous. Ce niveau est désigné par S*.

Fig. 2 - Ligne budgétaire, un investisseur

Ainsi, maintenant que S* est connu, l'investisseur peut calculer b comme suit :

Équation 5 :

\(b = \frac{S*} {S_m}\)

L'investisseur peut ensuite calculer R*, le rendement attendu du portefeuille, comme suit :

Équation 6 :

\(R* = R_f + \frac{S*} {S_m} \n- fois (R_m - R_f)\n)

L'investisseur peut alors également calculer de combien le rendement attendu du portefeuille devrait augmenter pour une augmentation donnée du risque, ou à l'inverse, combien de risques supplémentaires l'investisseur doit accepter pour obtenir un rendement attendu plus élevé du portefeuille.

La pente de la ligne budgétaire,

\(\frac{(R_m - R_f)} {S_m}\)

est appelée le prix du risque, car elle indique le niveau de risque supplémentaire qu'un investisseur doit accepter pour obtenir un rendement escompté plus élevé.

Diagramme du compromis risque-rendement

La figure 3 ci-dessous est le diagramme du compromis risque-rendement. Il montre la combinaison optimale de risque et de rendement pour un investisseur compte tenu de ses préférences en matière de risque. Les courbes vertes, appelées courbes d'indifférence, indiquent le degré de risque supplémentaire qu'un investisseur est prêt à accepter pour une augmentation donnée du rendement. Chaque point d'une courbe particulière donne à l'investisseur le même degré de satisfaction. Plus la courbe est élevée, plus le rendement attendu est élevé pour chaque niveau de risque donné.

Il existe un nombre infini de ces courbes mais, par souci de simplicité, nous n'en montrons ici que trois pour faire valoir un point. La ligne bleue, la ligne budgétaire, indique le rendement maximal attendu possible pour chaque niveau de risque donné. Le portefeuille optimal est celui où ce rendement maximum attendu possible correspond exactement au rendement attendu exigé par l'investisseur pour chaque niveau de risque donné. En d'autres termes, il se situe à l'endroit où la ligne budgétaire est tangente à la courbe d'indifférence la plus élevée possible, qui est _IC2. À ce stade, le niveau de risque optimal est S*, et le rendement attendu du portefeuille est R*. La satisfaction reçue en étant sur la courbe _IC3 n'est pas possible car elle est supérieure à la ligne budgétaire.

Fig. 3 - Diagramme du compromis risque-rendement

Exemple d'arbitrage risque-rendement

Prenons un exemple de compromis risque-rendement.

Supposons que nous ayons deux investisseurs A et B. L'investisseur A est très averse au risque. Par conséquent, sa courbe d'indifférence, _ICA, est très raide, ce qui signifie que pour toute augmentation du risque, il exige une forte augmentation du rendement. L'investisseur B a beaucoup moins d'aversion pour le risque. Par conséquent, sa courbe d'indifférence, _ICB, est beaucoup moins raide, ce qui signifie que pour toute augmentation du risque, il n'exige qu'une faible augmentation du rendement.

Comme le montre la figure 4 ci-dessous, le rendement attendu de l'investisseur A est très proche du taux sans risque, _Rf, ce qui signifie que son portefeuille est principalement composé de bons du Trésor américain à court terme. Pendant ce temps, le rendement attendu de l'investisseur B est beaucoup plus proche du rendement attendu du marché, ce qui signifie que son portefeuille est principalement composé d'actions.

Remarque que ces deux investisseurs sont investis dans leurs portefeuilles optimaux. Cela signifie qu'ils ne peuvent pas augmenter leur rendement attendu sans devenir moins averses au risque, ce qui signifierait que leurs courbes d'indifférence devraient devenir moins raides, permettant à la ligne budgétaire d'être tangente à la courbe d'indifférence la plus élevée possible à un rendement attendu plus élevé.

Regarde les choses sous cet angle. Suppose qu'au lieu de représenter deux investisseurs différents, ces deux courbes d'indifférence représentent le même investisseur. Si cet investisseur a un niveau de risque A, son portefeuille optimal se trouve au point_SA,_RA, où la courbe _ICA est tangente à la ligne budgétaire. Maintenant, s'il veut augmenter son rendement attendu, il va devoir accepter plus de risques, ce qui signifie qu'il devra devenir moins averse au risque. S'il augmente sa tolérance au risque jusqu'au niveau de risque B, sa courbe d'indifférence sera moins raide et son portefeuille optimal se situera au point_SB, _RB, où la courbe _ICB est tangente à la ligne budgétaire.

En fin de compte, quelle que soit la tolérance au risque actuelle d'un investisseur, s'il est investi dans le portefeuille optimal, la seule façon d'augmenter les rendements attendus est de devenir moins averse au risque. Il doit échanger un niveau de risque plus élevé contre un rendement attendu plus élevé.

Fig. 4 - Ligne budgétaire, deux investisseurs

Importance de l'arbitrage risque-rendement

L'importance du compromis risque-rendement ne peut pas être sous-estimée. Il est très important que les investisseurs comprennent que s'ils investissent dans un portefeuille bien diversifié et souhaitent obtenir un rendement attendu plus élevé, ils devront accepter un niveau de risque plus élevé. En revanche, s'ils ne sont pas investis dans un portefeuille bien diversifié, ils peuvent réduire leur risque sans réduire leur rendement escompté en investissant dans un portefeuille plus diversifié.

Une fois que le risque diversifiable a été éliminé en investissant dans un bon nombre d'entreprises dont les risques s'annulent, il ne reste plus que le risque non diversifiable, c'est-à-dire le risque inhérent à l'ensemble du marché. À ce stade, la seule façon de réduire le risque dans un portefeuille est d'investir moins dans les actions et plus dans les bons du Trésor à court terme. De même, la seule façon d'augmenter le rendement attendu est d'investir davantage dans les actions et moins dans les bons du Trésor à court terme.

Il en va de même pour une seule action. Si un investisseur veut un rendement attendu plus élevé, il devra investir dans une action risquée. S'il ne veut pas prendre beaucoup de risques, il peut investir dans une action à faible risque, mais il doit comprendre que son rendement attendu sera également plus faible.

Implications du compromis risque-rendement

Les implications du compromis risque-rendement sont assez simples mais essentielles à comprendre. Le fait que les gens n'aiment pas le risque a un effet énorme sur le prix des actifs et le rendement moyen attendu. L'évitement du risque et de l'incertitude pousse les gens à payer des prix plus élevés pour les actifs moins risqués, quels qu'ils soient, et des prix plus bas pour les actifs plus risqués. Cependant, comme les prix des actifs et les rendements escomptés sont inversement liés, cela signifie que les actifs plus risqués auront des rendements escomptés plus élevés que les actifs moins risqués. En d'autres termes, le risque et le rendement attendu sont positivement corrélés.