Le théorème des gendarmes

Utilise le théorème de Squeeze pour évaluer

\[lim_{x \rightarrow 0} x^2 \cos \left( \dfrac{1}{x^2} \right)\N]

Lorsque nous introduisons \(x = 0\), nous rencontrons une forme indéfinie \(cos \left( \frac{1}{0} \right)\). C'est un candidat parfait pour le théorème de l'écrasement !

La stratégie générale pour résoudre ce type de problèmes liés au théorème de Squeeze consiste à- commencer par la fonction trigonométrique,\(f(x)=\cos \left( \dfrac{1}{x^2} \right)\) dans ce cas- monter jusqu'à la fonction du problème ; ici c'est \(f(x)=x^2 \cos \left( \dfrac{1}{x^2} \right)\).Voyons comment procéder !

• Étape 1 : Crée une inégalité double pour lier la fonction trigonométrique en fonction de la nature de la fonction cosinus.
  • Nous savons que la fonction cosinus oscille sur l'intervalle fermé \N([-1, 1]\N), c'est-à-dire \N(-1 \Ncôté(x) \Ncôté 1).
  • En traçant le graphique de \(\cos \left( \frac{1}{x^2} \right)\N), nous constatons que f oscille également sur l'intervalle fermé \([-1, 1]\N), c'est-à-dire \(-1 \leq \cos \left( \frac{1}{x^2} \Nright)\leq 1\N).

• Étape 2 : Modifie l'inégalité si nécessaire pour délimiter la fonction du problème:
  • Notre fonction est \(f(x)=x^2 \cos \left( \frac{1}{x^2} \right)\) donc nous multiplions notre inégalité bilatérale par \(x^2\) et nous obtenons :

\[-x^2\leq x^2 \cos \left( \frac{1}{x^2} \right)\leq x^2\].

• Étape 3 : Vérifie que les fonctions limites ont la même limite.
  • Maintenant que notre fonction est bornée, nous devons vérifier que \(lim_{x \rightarrow 0}-x^2= lim_{x \rightarrow 0} x^2\) afin d'appliquer le théorème de l'écrasement : \N(lim_{x \Nrightarrow 0}-x^2= lim_{x \Nrightarrow 0} x^2=0\N)

• Étape 4 : Appliquer le théorème de la compression
  • Puisque \N(lim_{x \Nrightarrow 0}-x^2= lim_{x \Nrightarrow 0} x^2=0\N), alors par le théorème de la compression\N[lim_{x \Nrightarrow 0} x^2 \Ncos \Nleft( \Nfrac{1}{x^2}\Nright)=0\N].

Trouve \N (lim_{x \Nflèche droite - \Ninfty}) \dfrac{7x^2-\sin(5x)}{x^2+15}\)

Lorsque nous introduisons \(- \infty\), nous nous retrouvons avec la forme indéterminée \(\dfrac{\infty}{\infty}\). Encore une fois, puisqu'une fonction trigonométrique apparaît, c'est un candidat parfait pour le théorème de l'écrasement !En suivant la même stratégie que précédemment, commence par la fonction trigonométrique \(f(x)=\sin(5x)\), et va jusqu'à

\[f(x)=\dfrac{7x^2-\sin(5x)}{x^2+15}\]

Jetons un coup d'œil !

• Étape 1: Fais une inégalité recto-verso pour lier la fonction trigonométrique en te basant sur la nature de la fonction sinus.
  • Nous savons que le sinus se comporte comme le cosinus en ce sens qu'il oscille sur l'intervalle fermé \([-1, 1]\).
  • En regardant l'image ci-dessous, lorsque nous représentons graphiquement \(-\sin(5x)\), nous constatons que :

\[-1 \leq -\sin(5x) \leq 1\]

Fig. 4. Graphique de l'exemple 2.

• Étape 2: Modifie l'inégalité si nécessaire pour délimiter la fonction du problème.
  • Notre fonction est:\N[f(x)=lim_{x \rightarrow - \infty} \dfrac{7x^2-\sin(5x)}{x^2+15}\N] et notre inégalité double est : \[-1 \leq -\sin(5x) \leq 1\].
  • Ajoute \(7x^2\) pour obtenir \[7x^2-1 \leq 7x^2-\sin(5x) \leq 7x^2+1\].
  • Multiplie par \(\frac{1}{x^2+15}\) pour obtenir \[\dfrac{7x^2-1}{x^2+15}]. \leq \dfrac{7x^2-\sin(5x)}{x^2+15} \leq \dfrac{7x^2+1}{x^2+15} \]
• Étape 3: Maintenant que notre fonction est bornée, nous devons vérifier que : \[lim_{x \rightarrow - \infty }\dfrac{7x^2-1}{x^2+15}=lim_{x \rightarrow -\infty }]. \dfrac{7x^2+1}{x^2+15}\] Ceci afin d'appliquer le théorème de l'écrasement.
  • Une fois de plus, lorsque nous essayons d'introduire \(- \infty\), nous nous heurtons à une forme indéterminée. Cependant, cette fois-ci, nous pouvons utiliser la manipulation algébrique pour résoudre le problème.
  • Multiplie les deux limites par : \[\dfrac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}] pour obtenir \[lim_{x \arrow -\infty \dfrac{7- \frac{1}{x^2}}{1+ \frac{15}{x^2}} }\] et \[lim_{x \rightarrow -\infty \dfrac{7+ \frac{1}{x^2}}{1+ \frac{15}{x^2}} }\]
  • Maintenant, lorsque nous introduisons \(-\infty\), nous obtenons \(\dfrac{7-0}{1+0}\) et \(\dfrac{7+0}{1+0}\) laissant respectivement : \[lim_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{7x^2-1}{x^2-15}=lim_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{7x^2+1}{x^2-15}=7\]

• Étape 4 : Appliquer le théorème de l'écrasement
  • Puisque \[lim_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{7x^2-1}{x^2-15}=lim_{x \rightarrow -\infty} \dfrac{7x^2+1}{x^2-15}=7\], alors par le théorème de l'écrasement : \[lim_{x \rightarrow -\infty } \dfrac{7x^2-\sin(5x)}{x^2+15}=7\].