Considère l'équation différentielle avec une valeur initiale de. Utilise pour obtenir une approximation de .
Étape 1 : Trouve la pente de la ligne tangente au point initial.
Pour trouver la pente de la ligne tangente au point il suffit de l'introduire dans l'équation différentielle pour obtenir
Étape 2 : Trouver notre nouvelle valeur x
Pour trouver notre prochaine valeur x, nous ajoutons h à la valeur x initiale pour obtenir
Étape 3 : Insère nos valeurs dans l'équation différentielle pour obtenir notre nouvelle approximation de la valeur y.
Nous avons donc :
- Taille de l'étape,
- Valeur y initiale,
- La pente de la ligne tangente à la valeur initiale,
En branchant toutes nos valeurs, nous obtenons
Ainsi, l'approximation de la solution à est ou
Étape 4 : Répète l'algorithme autant de fois que nécessaire pour obtenir y(4).
Étant donné que notre taille de pas est de 0,2, nous devrons répéter l'algorithme 4 fois de plus :
- En utilisant :
- Utilisation :
- En utilisant : En utilisant : En utilisant : En utilisant : En utilisant : En utilisant : En utilisant : En utilisant :
- Utilisation :
Enfin, nous avons obtenu notre approximation à !
Lorsque tu résous plusieurs itérations de la méthode d'Euler, il peut être utile de construire un tableau pour chacune de tes valeurs ! Dans les problèmes itératifs comme celui-ci, les tableaux peuvent t'aider à organiser tes chiffres.
Pour ce problème, un tableau pourrait ressembler à ce qui suit :
(xi, yi) | dy/dx | h = 0.2 | xi+1 | yi+1 |
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Étape 5 : Vérifier l'erreur
Comme cet exemple spécifique peut être résolu directement, nous pouvons vérifier l'erreur globale de notre réponse.
La solution directe de l'équation différentielle est . En introduisant x = 4, nous obtenons
Pour vérifier le pourcentage d'erreur, il suffit de calculer
Notre erreur est relativement faible !
Nous utilisons des valeurs absolues dans le calcul du pourcentage d'erreur parce que nous ne nous soucions pas de savoir si notre approximation est supérieure ou inférieure à la valeur réelle, nous voulons simplement savoir à quelle distance elle se trouve !
Heureusement pour nous, tous les problèmes de la méthode d'Euler suivent le même algorithme simple.