Imagine que tu te diriges avec un ami vers un café situé au milieu d'une grande ville. En regardant une carte, ton ami te dit que tu es à environ 1,61 km au sud-ouest du café. Tu regardes la même carte et tu vois que tu es à \(4\) pâtés de maisons en face et à \(4\) pâtés de maisons en dessous du café.
Dans ce scénario, ton ami et toi communiquez tous les deux la même information sur l'endroit où vous vous trouvez par rapport au café. La différence est que, alors que tu as utilisé un système de coordonnées rectangulaires ou cartésiennes, ton ami a utilisé un système de coordonnées polaires. Cet article présente les coordonnées polaires, la façon de représenter graphiquement les coordonnées polaires, la façon de convertir les coordonnées polaires en coordonnées rectangulaires et les généralisations des coordonnées polaires en trois dimensions.
Système de coordonnées polaires
Tu as probablement l'habitude de parler de points dans le plan en faisant référence à leurs coordonnées \(x) et \(y). Ce système d'étiquetage des points s'appelle le système de coordonnées rectangulaires, également connu sous le nom de coordonnées cartésiennes.
Figure 2. Le système de coordonnées rectangulaires
Lescoordonnées polaires ne sont qu'une façon différente d'étiqueter les points dans le plan. Au lieu d'utiliser les coordonnées \(x) et \(y), le système de coordonnées polaires indique les points en fonction de la distance qui les sépare de l'origine, \(r), et de leur angle \(thêta) par rapport à l'axe positif \(x), mesuré dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Cet angle \(\theta\) est généralement mesuré en radians.
Plus loin dans cet article, tu apprendras comment convertir les degrés et les radians, au cas où tu l'aurais oublié !
Figure 3. Le système de coordonnées polaires
En principe, l'angle \(\theta\) et la distance radiale \(r\) peuvent prendre n'importe quelle valeur réelle. Dans la pratique, les valeurs de \(r\) sont exprimées en utilisant uniquement des valeurs non négatives, c'est-à-dire
\N[ r \N dans [0,\Nfty).\N]
Si \(r\) est égal à zéro, alors, quel que soit \(\theta\), le point \((r,\theta)\) est au pôle.
Figure 4. L'origine, ou le pôle, en coordonnées polaires
La convention habituelle est de l'exprimer comme si \(\theta=0\) pour éviter toute ambiguïté.
Comme nous l'avons déjà mentionné, \(r\) peut prendre des valeurs négatives, mais cela n'est généralement pas exprimé de cette façon. Au lieu d'écrire un point \N((-r,\theta)\N) avec une coordonnée \N(r\N) négative, tu écris la réflexion du point \N((r,\theta)\N) en ajoutant \N(\Npi\N) à l'angle.
Figure 5. Un point et sa réflexion en coordonnées polaires
La coordonnée angulaire, \N(\Ntheta\N), est généralement exprimée à l'aide de valeurs comprises entre \N(0\N) et \N(2\Npi\N), c'est-à-dire
\N[ \Ntheta \Ndans [0,2\Npi).\N]
Tout comme pour la coordonnée radiale, il est également possible d'obtenir un point \((r,-\theta)\) avec une coordonnée \(\theta\) négative. Tu peux obtenir ce point en tournant dans le sens des aiguilles d'une montre à partir de l'axe x positif de \(\theta\) au lieu de tourner dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.
Figure 6. Deux points avec des signes \(\theta\) opposés
Les coordonnées polaires et cartésiennes introduisent implicitement la notion de différentes métriques et de différentes façons de parler de la distance. Pour en revenir à notre scénario du café, tu peux dire que ton ami et toi êtes à \(8\) pâtés de maisons du café (4 pâtés de maisons en face et \(4\) pâtés de maisons en dessous), ou que vous êtes à \(1\) mile (\(1,61 km\)) du café. Les deux notions de distance ont leurs avantages. La "distance en bloc", appelée la métrique des taxis, t'indique combien tu dois marcher pour te rendre au café si tu dois rester sur le trottoir. La "distance diagonale", ou métrique euclidienne, t'indique le chemin le plus court que tu puisses emprunter pour te rendre au café, en supposant que tu puisses couper en diagonale à travers les pâtés de maisons.
Les métriques et les espaces métriques associés deviennent de plus en plus importants au fur et à mesure que tu étudies les mathématiques et ont des applications pratiques incroyables dans des domaines allant de la science des données au traitement des signaux en passant par la mécanique quantique.
Terminologie des coordonnées polaires
Il y a plusieurs termes qu'il est important de connaître lorsqu'on travaille avec des coordonnées polaires. Le point que nous appelons l'origine lorsque nous travaillons avec des coordonnées rectangulaires est appelé le pôle lorsque nous travaillons avec des coordonnées polaires. Ce que nous appelons l'axe des x lorsque nous travaillons avec des coordonnées rectangulaires est appelé l'axe polaire lorsque nous travaillons avec des coordonnées polaires.
L'axe polaire est également appelé direction de référence.
La distance à partir de l'origine, désignée par la coordonnée \(r\), est également appelée rayon, coordonnée radiale ou distance radiale. La coordonnée \(\theta\) est appelée coordonnée angulaire, angle polaire ou azimut.
Tableau 1. Terminologie utilisée dans les coordonnées polaires
Nom(s) en coordonnées rectangulaires
Nom(s) en coordonnées polaires
Origine
Pôle
Axe horizontal, ou axe \(x\)
Axe polaire, ou direction de référence
Distance par rapport à l'origine
Coordonnée radiale, rayon ou distance radiale
Angle dans le sens inverse des aiguilles d'une montre par rapport à l'axe positif \(x\)
Coordonnée angulaire, angle polaire ou azimut
Degrés et Radians
La coordonnée angulaire \(\theta\) est généralement spécifiée en degrés ou en radians. Les degrés et les radians sont simplement des façons différentes de mesurer les angles.
Algébriquement, la relation entre les degrés et les radians est la suivante :
Représentations multiples des points en coordonnées polaires
L'un des aspects intéressants du travail avec les coordonnées polaires est que chaque point a une infinité de coordonnées polaires qui le décrivent. Tu l'as remarqué tout à l'heure pour le pôle, dont nous avons dit qu'il est représenté par \N((0,\theta)\N) pour n'importe quelle valeur de \N(\theta)\N. Par exemple, les coordonnées \N((0,0)\N), \N((0,-\pi)\N), et \N(\Ngauche(0,\tfrac{\sqrt{\pi}}{17}\Ndroite)\Nreprésentent toutes le pôle.
Il convient de noter que cette représentation multivaluée est généralement évitée et que les coordonnées sont représentées dans l'intervalle
\N[ r \Ndans [0,\Ndansfty)\N]
et
\N[ \Ntheta \Ndans [0,2\Npi).\N]
Cependant, pour certains scénarios particuliers, comme la description du mouvement en physique, ces domaines sont étendus de manière à inclure tous les nombres réels.
En général, les points \N((r,\theta)\N) et \N((r,\theta+2n\pi)\N) pour tout entier \N(n\N) décrivent le même point. Les points \N((-r,\Ntheta)\N) et \N((r,\Ntheta+m\Npi)\N), où \N(m\N) est un entier impair , décrivent également le même point.
Géométriquement, \N((r,\Ntheta)\N) et \N((r,\Ntheta+2n\Npi)\Nreprésentent le même point parce que l'ajout de \N(2n\Npi\N) correspond à une rotation du point de \N(2n\Npi\N) radians, ou d'un multiple de 360 degrés. La rotation d'un multiple de \N(2\Npi\N) ne change pas la position du point, donc \N((r,\Ntheta)\Net \N((r,\Ntheta+2n\Npi)\Nreprésentent le même point.
Figure 7. Représentations multiples du même point en coordonnées polaires
Les coordonnées \N(\Ngauche(1,\Ntfrac{\pi}{4}\Ndroite)\N) et \N(\Ngauche(1,\Ntfrac{9\pi}{4}\Ndroite)\Ndécrivent le même point car
Comment convertir les coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires ?
À ce stade, tu as peut-être déjà remarqué que travailler avec des coordonnées polaires présente des avantages, alors tu peux apprendre ici comment convertir des coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires.
Étant donné un point en coordonnées cartésiennes, tu peux trouver une expression pour ce même point en coordonnées polaires. Pour ce faire, tu peux utiliser les formules suivantes
Pour comprendre l'origine de ces formules, disons que l'on te donne un point \((x,y)\N) en coordonnées rectangulaires et que tu veux connaître ses coordonnées polaires correspondantes \((r,\Ntheta)\N). Si tu faisais un graphique du point, tu obtiendrais quelque chose comme l'image suivante.
Figure 8. Un point du plan représenté en coordonnées polaires et rectangulaires
Tu peux utiliser des faits connus sur les triangles rectangles pour écrire les relations entre \N(x), \N(y), \N(r) et \N(\Ntheta). Tout d'abord, remarque que tu peux utiliser le théorème de Pythagore pour écrire
\N- x^2+y^2=r^2.\N- x^2+y^2=r^2.\N- x^2+y^2=r^2.
À partir de là, tu peux résoudre \N(r\N) pour obtenir la première formule,
\[ r = \sqrt{x^2+y^2}.\]
Tu peux aussi utiliser le fait que la tangente d'un angle \(\Ntheta\N) dans un triangle droit est le rapport de son côté opposé à son côté adjacent, ce qui te permet d'écrire
\N[ \Ntan{\Ntheta} = \Nfrac{y}{x}.\N]
Tu peux maintenant utiliser la fonction tangente inverse pour isoler \(\theta\), c'est-à-dire
N'oublie pas que cet angle est généralement donné en radians, alors assure-toi que ta calculatrice les utilise !
Cela signifie que le point \(P\) en coordonnées polaires est
\[ P =(5,0.9272).\]
Comme tu dois utiliser la fonction tangente inverse pour trouver l'angle \N(\Ntheta\N), il est préférable d'en discuter un peu plus en détail.
Tangente et arctangente
Lorsque tu utilises la formule
\[\theta=\arctan{\left(\frac{y}{x}\right)},\]
tu dois connaître certains détails techniques liés aux fonctions tangente et arctangente.
Tout d'abord, remarque que cette expression est indéfinie lorsque \(x=0\). Dans ce cas, le point \N((x,y)\N) doit se trouver sur l'axe \N(y\N). Ainsi, \(\theta\) doit être soit \(\tfrac{\pi}{2}\) soit \(-\tfrac{\pi}{2}\), selon que \(y\) est positif ou négatif.
Figure 9. Deux points en coordonnées polaires lorsque \(x=0\)
Ensuite, étant donné n'importe quelle valeur de \(\tfrac{y}{x}\), il y a en fait deux valeurs de \(\theta\) dans \([-\pi,\pi]\) satisfaisant \(\tan(\theta)=\tfrac{y}{x}\).
Étant donné \(y=1\) et \(x=1\), les angles \(\tfrac{\pi}{4}\) et \(-\tfrac{3\pi}{4}\) satisfont tous les deux que
Remarque que ces angles sont des reflets l'un de l'autre ; c'est toujours le cas.
Pour être sûr de spécifier le bon point lorsque tu écris un point en coordonnées polaires, tu dois t'assurer que l'angle \(\theta\) que tu utilises est dans le bon quadrant. La fonction arctangente ne renvoie que les angles compris entre \(-\tfrac{\pi}{2}\) et \(\tfrac{\pi}{2}\), donc \(\arctan\left(\tfrac{y}{x}\right)\) ne renvoie la valeur correcte de \(\theta\) que si le point \((x,y)\) se trouve dans le premier ou le quatrième quadrant.
Figure 10. Graphique de la fonction arctangente
De plus, comme les valeurs de \(\theta\) sont généralement données entre \(0\) et \(2\pi\), tu dois également effectuer une correction si l'angle que tu obtiens de la calculatrice est négatif. Le tableau suivant résume comment trouver \(\theta\).
Tableau 2. Relation entre le signe de \(x\) et l'angle \(\theta\)
Puisque la coordonnée \(x) est négative et que la coordonnée \(y) est positive, le point \(P) se trouve dans le deuxième quadrant (II).
Cette étape est assez simple, il suffit d'utiliser la formule pour \N(r\N), c'est-à-dire\N[ \Nbegin{align} r &= \Nsqrt{x^2+y^2}]. \N- &= \sqrt{(-2)^2+1^2} \N&= \Nsqrt{4+1} \N&= \sqrt{5}.\Nend{align} \]
Tu viens de trouver que \N(P\N) est sur le second quadrant, alors utilise une calculatrice et trouve que\N[\NBegin{align} \theta &= \arctan{\left( \frac{1}{-2}\right)}+\pi \\\ne &= \arctan{\left(-0.5\right)}+\pi \ne &= -0.463647+3.141592 \ne &= 2.677945.\N-nd{align} \N]
Comment convertir les coordonnées polaires en coordonnées rectangulaires ?
Supposons maintenant que l'on te donne un point en coordonnées polaires et que tu veuilles savoir comment exprimer ce point en coordonnées rectangulaires. Dans ce cas, tu peux aussi utiliser le même diagramme du triangle droit qui relie \N(x), \N(y), \N(r) et \N(thêta).
Figure 11. Un point du plan représenté en coordonnées polaires et rectangulaires
Concentre-toi sur l'angle \(\theta\). Comme tu as un triangle droit, tu peux écrire le sinus de l'angle comme suit :
\[ \sin{\theta} = \frac{y}{r}\].
De même, le cosinus de l'angle est :
\[ \cos{\theta} = \frac{x}{r}\]
En résolvant chaque expression pour \(x\N) et \N(y\N), tu obtiendras :
\N[ x=r\N,\Ncos{\theta}\N]
et
\N[ y=r\,\Nsin{\theta}\N]].
Contrairement au passage des coordonnées rectangulaires aux coordonnées polaires, les expressions ci-dessus ne requièrent aucune considération particulière. Elles sont aussi simples que possible !
Tu as trouvé précédemment que le point \(P=(-2,1) \N) avait :
Les valeurs ci-dessus sont précisément les coordonnées rectangulaires du point \(P\).
Graphiques de coordonnées polaires
Tu peux utiliser plusieurs ressources électroniques pour représenter graphiquement des points en coordonnées polaires. Par exemple, dans Geogebra, tu peux représenter graphiquement un point \((r,\theta)\) en tapant \((r;\theta)\). De nombreuses calculatrices graphiques te permettent également de tracer des points à l'aide de coordonnées polaires, tout comme des programmes et des langages de programmation tels que Python, Octave et Matlab. Pour plus d'informations sur la façon de tracer des courbes polaires, voir l'article Courbes polaires.
Exemples de conversion entre les coordonnées polaires et les coordonnées rectangulaires
Trouve ensuite thêta. Comme le point se trouve dans le troisième quadrant, tu devras utiliser [\Ntheta=\Narctan\Nà gauche(\Nfrac{y}{x}\Nà droite)+\Npi,\N].
Exemples de conversion des coordonnées polaires en coordonnées rectangulaires
Pour l'exemple suivant, suppose que l'on te donne un point en coordonnées polaires et que tu souhaites savoir comment il s'écrit en coordonnées rectangulaires.
Convertis le point
\[\left(4,-\tfrac{\pi}{3}\right)\]
des coordonnées polaires aux coordonnées rectangulaires.
Solution :
Commence par trouver \(x\) en utilisant la formule \(x=r\cos(\theta)\).
Par conséquent, le point \N(\Ngauche(5,\Ntfrac{3\pi}{4}\Ndroite)\N) en coordonnées cartésiennes est \N(\Ngauche(-\Ntfrac{5\sqrt{2}}{2},\Ntfrac{5\sqrt{2}{2}{2}\Ndroite)\N).
Ne t'inquiète pas si ta calculatrice ne te donne pas les valeurs exactes des fonctions trigonométriques. Si tu donnes une valeur décimale, la réponse est toujours la même.
Coordonnées polaires - Principaux enseignements
Le système de coordonnées polaires est un système d'étiquetage des points du plan en fonction de leur distance à l'origine et de leur angle par rapport à l'axe x positif.
Il y a plusieurs façons de représenter un point donné en coordonnées polaires.
Lorsque tu convertis des coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires, fais attention au quadrant dans lequel se trouve ton point et assure-toi d'utiliser la fonction arctangente appropriée.
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Questions fréquemment posées en Coordonnées polaires
Qu'est-ce que les coordonnées polaires ?
Les coordonnées polaires sont un système de coordonnées où un point est déterminé par une distance depuis un point d'origine et un angle par rapport à une direction de référence.
Comment convertir des coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes ?
Pour convertir des coordonnées polaires en coordonnées cartésiennes, utilisez les formules : x = r * cos(θ) et y = r * sin(θ).
À quoi servent les coordonnées polaires ?
Les coordonnées polaires sont utilisées pour simplifier les calculs dans des systèmes où la symétrie radiale est importante, comme en physique et en ingénierie.
Quelle est la relation entre les coordonnées polaires et la trigonométrie ?
La relation est que les coordonnées polaires utilisent la trigonométrie pour exprimer les positions avec des angles et des distances, connectées par des fonctions trigonométriques comme cosinus et sinus.
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