Parler des fonctions trigonométriques, c'est comme parler d'un film ou d'une série télévisée. Les noms des protagonistes de la série te viennent immédiatement à l'esprit ! Mais qu'en est-il des personnages secondaires ? Ils sont tout aussi importants que les autres personnages de l'histoire, ils ont juste moins de temps à l'écran.
La fonction sécante, ainsi que les fonctions cosécante et cotangente, sont collectivement connues sous le nom de fonctions réciproques parce qu'elles sont la réciproque des principales fonctions trigonométriques. Tu apprendras ici à trouver la dérivée de chacune d'entre elles.
Dérivée de la fonction sécante sec
La fonction sécante est la réciproque de la fonction cosinus.
La fonction séc ante est notée
\[\sec{x}\]
et est la réciproque de la fonction cosinus, c'est-à-dire
\[\sec{x}=\frac{1}{\cos{x}}.\]
Pour trouver la dérivée de la fonction sécante, tu peux utiliser la dérivée de la fonction cosinus et la règle du quotient. Commence par écrire la fonction sécante en termes de fonction cosinus, c'est-à-dire
Tu trouveras généralement l'expression ci-dessus dans les tableaux de dérivées, simplement écrite sans parenthèses. Tu obtiens ainsi la formule de la dérivée de la fonction sécante.
Il est temps de passer à la fonction cotangente, qui est la réciproque de la fonction tangente.
La fonction cotangente est notée
\[\cot{x}\]
et est la réciproque de la fonction tangente, c'est-à-dire
\[\cot{x}=\frac{1}{\tan{x}}.\]
Une particularité des fonctions tangente et cotangente est qu'elles peuvent également être écrites comme des fonctions rationnelles en utilisant les fonctions sinus et cosinus, comme on le voit dans l'une des étapes requises pour trouver la dérivée de la fonction sécante. Pour la fonction tangente, tu peux écrire
\[\tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}.\]
Comme la fonction cotangente est la réciproque de la fonction tangente, tu peux aussi trouver la fonction cotangente écrite comme une fonction rationnelle en utilisant les fonctions sinus et cosinus, c'est-à-dire
En utilisant les propriétés des fractions, tu peux écrire ceci sous la forme suivante
\[\cot{x}=\frac{\cos{x}}{\sin{x}},\]
ce qui signifie que la fonction cotangente peut également être écrite comme le quotient de la fonction cosinus et de la fonction sinus.
Tu peux utiliser l'identité ci-dessus pour trouver la dérivée de la fonction cotangente. Comme il s'agit d'un quotient de deux fonctions, tu devras utiliser la règle du quotient, donc
Enfin, tu trouveras également la réciproque de la fonction sinus.
La fonction cosécante est notée
\[\csc{x}\]
et est la réciproque de la fonction sinus, c'est-à-dire
\[\csc{x}=\frac{1}{\sin{x}}.\]
Tu peux trouver la dérivée de la fonction cosécante comme tu l'as fait pour la fonction sécante. Commence par écrire la fonction cosécante en termes de fonction sinus,
\[ \csc{x} = \frac{1}{\sin{x}}.\]
Ensuite, différencie à l'aide de la règle du quotient, c'est-à-dire
Tu as vu que la fonction sécante est la réciproque de la fonction cosinus. Cependant, tu te demandes peut-être comment traiter la fonction sécante inverse.
La fonction sécante inverse, également connue sous le nom de fonction arcus sécante, est notée comme suit
\[\mathrm{arcsec}{\,x}\]
et est la fonction inverse de la fonction sécante.
Tu peux aussi trouver la fonction sécante inverse sous la forme suivante
\[\sec^{-1}{x},\]
où tu dois garder à l'esprit que \(-1\) n' est pas un exposant, il est utilisé pour indiquer une fonction inverse.
N'oublie pas que l'inverse n'est pas la même chose que la réciproque.
Chaque fois que tu parles de fonctions inverses, tu dois faire attention à leur domaine. Pour la fonction sécante inverse, tu dois considérer que les sorties de la fonction sécante sont telles que\[ |\sec{x}| \geq 1, \]
Le domaine de la fonction sécante inverse sera donc tous les nombres dont la valeur absolue est supérieure ou égale à \(1\), c'est-à-dire
\N- (-\Ninfty,-1) \Ncup [1,\Ninfty).\N]
De plus, comme la fonction sécante est une fonction périodique, il est possible d'obtenir la même sortie à partir de deux entrées différentes. Pour s'assurer que la sécante inverse est une fonction, il faut restreindre cet intervalle et la convention habituelle est que ses sorties sont comprises entre \(0\) et \(\pi\), sauf \(\frac{\pi}{2}\), donc
Après avoir fait le tri, il est temps d'examiner la dérivée de la fonction sécante inverse, qui peut être obtenue à l'aide de la différenciation implicite et de quelques identités trigonométriques.
La fonction cotangente inverse, comme son nom l'indique, est l'inverse de la fonction cotangente.
La fonction cotangente inverse, également connue sous le nom de fonction arcus cotangente, est notée comme suit
\[\mathrm{arccot}{\, x}\]
et est la fonction inverse de la fonction cotangente.
Une autre notation pour la fonction cotangente inverse est la suivante
\[\cot^{-1}{x}.\]
Tu peux obtenir n'importe quel nombre réel comme sortie de la fonction cotangente, de sorte que le domaine de la fonction cotangente inverse est constitué de tous les nombres réels.
Les sorties de la fonction cotangente inverse sont généralement choisies de telle sorte qu'elles se situent entre \(0\) et \(\pi\), sans inclure ces valeurs. Cela signifie que
\N- 0 < \Nmathrm{arccot}{\N, x} < \Npi.\N]
Notez que certains livres peuvent définir l'intervalle entre \N( -^\pi/_2,\N) et \N( ^\pi/_2,\N) sans inclure \N(0,\N), c'est à dire
La fonction cosécante inverse, également connue sous le nom de fonction arcus cosécante, est notée comme suit
\[\mathrm{arccsc}{\, x}\]
et est la fonction inverse de la fonction cosécante.
La fonction cosécante inverse peut également s'écrire comme suit
\N[ \Ncsc^{-1}{x},\N]
et sa dérivée diffère de la dérivée de la sécante inverse par un signe.
Tout comme la fonction sécante inverse, les sorties de la fonction cosécante sont telles que\[ |csc{x}| \geq 1, \]
Le domaine de la fonction cosécante inverse sera donc tous les nombres dont la valeur absolue est supérieure ou égale à \(1\), c'est-à-dire
\N- (-\Ninfty,-1) \Ncup [1,\Ninfty).\N]
Les sorties de la fonction cosécante inverse sont telles qu'elles sont comprises entre \N( -^\pi/_2\N) et \N( ^\pi/_2\N), à l'exception de \N(0\N). C'est-à-dire
Entraîne-toi à utiliser les dérivées ci-dessus en faisant quelques exemples !
Trouve la dérivée de
\N[ f(x) = \Nsec{2x^2}.\N]
Solution :
Pour trouver cette dérivée, tu devras utiliser la règle de la chaîne ainsi que la règle de la puissance et la dérivée de la fonction sécante. Commence par laisser \[ u=2x^2,\]
Dérivés de sec, csc et cot - Principaux enseignements
Les fonctions sécante, cosécante et cotangente sont collectivement connues sous le nom de fonctions trigonométriques réciproques .
La fonction sécante est la réciproque de la fonction cosinus, \[\sec{x}=\frac{1}{\cos{x}}.\N].
La fonction cosécante est la réciproque de la fonction sinus, \[\csc{x}=\frac{1}{\sin{x}}.\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N].
La fonction cotangente est la réciproque de la fonction tangente, \[\cot{x}=\frac{1}{\tan{x}}.\]
Tu peux trouver les dérivées des fonctions sécante, cosécante et cotangente en utilisant les dérivées des fonctions sinus et cosinus, ainsi que la règle du quotient.
Les fonctions trigonométriques inverses, également appelées fonctions d'arcus, sont les fonctions inverses des fonctions trigonométriques. Les fonctions trigonométriques inverses ne sont pas les mêmes que les fonctions trigonométriques réciproques.
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Gabriel Freitas est un ingénieur en intelligence artificielle possédant une solide expérience en développement logiciel, en algorithmes d’apprentissage automatique et en IA générative, notamment dans les applications des grands modèles de langage (LLM). Diplômé en génie électrique de l’Université de São Paulo, il poursuit actuellement une maîtrise en génie informatique à l’Université de Campinas, avec une spécialisation en apprentissage automatique. Gabriel a un solide bagage en ingénierie logicielle et a travaillé sur des projets impliquant la vision par ordinateur, l’IA embarquée et les applications LLM.
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