Distribution de Boltzmann

As-tu déjà réfléchi au fonctionnement des allumettes de sécurité ? Comment une petite écharde de bois peut-elle soudainement s'enflammer ?

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    Les allumettes de sécurité se composent de deux parties. La première est la tête de l'allumette, remplie d'un agent oxydant tel que le chlorate de potassium. La seconde est la surface rugueuse sur le côté de la boîte d'allumettes. Elle contient du phosphore rouge. Lorsque tu frappes la tête de l'allumette contre cette surface rugueuse, tu fournis suffisamment d'énergie pour transformer une partie du phosphore rouge en vapeur de phosphore blanc. La vapeur de phosphore blanc s'enflamme spontanément dans l'air. Cette chaleur est suffisante pour commencer à décomposer le chlorate de potassium à l'intérieur de la tête d'allumette, libérant ainsi de l'oxygène qui alimente davantage la flamme. Ton allumette est maintenant allumée.

    Mais cette réaction ne se produit que si tu fournis de l'énergie - dans ce cas, à partir de la friction causée par le frottement de la tête de l'allumette contre le côté rugueux de la boîte d'allumettes. Fournir plus d'énergie signifie que certaines des particules répondent aux exigences d'énergie d'activation de la réaction. C'est là qu'intervient la loi de distribution de Boltzmann. Découvrons ensemble le sens physique de la distribution de Boltzmann !

    • Ce résumé de cours a pour sujet la loi de distribution de Boltzmann en chimie.
    • Nous allons commencer par expliquer la notion de distribution de Boltzmann.

    • Nous examinerons notamment la formule de distribution de Boltzmann.

    • Nous verrons ensuite le sens physique de la distribution de Boltzmann et sa démonstration.

    • Enfin, nous aborderons la distribution de Boltzmann inversée.

    Notion de distribution de Boltzmann

    Considérons un système parfait comportant \( n \) particules occupant un volume \( V \) , dont l'énergie totale est \( E \) . Ici, la valeur de \( E \) est constante, car aucune énergie n'est ajoutée ou retirée du système. L'énergie totale du système est donc équivalente à la somme des énergies totales des particules individuelles.

    Loi de distribution de Boltzmann

    La distribution de Boltzmann est une fonction de probabilité qui montre la répartition de l'énergie entre les particules d'un gaz parfait .

    C'est un moyen pratique de montrer comment les particules d'une substance varient en énergie, y compris combien atteignent ou dépassent l'énergie d'activation d'une réaction.

    Distribution de Boltzmann : Formule

    La distribution probable de la vitesse des particules dans un gaz est décrite par la formule :

    $$ f(v) = \frac{m}{2 \pi kT}^{ \frac{3}{2}} 4 \pi v^2 e^{ \frac{-mv^{2}}{2kT}} $$

    \( v \) est la vitesse de la particule

    \( m \) est la masse de la particule

    \( k \) est la constante de Boltzmann, égale à \(1,3806452 \times 10^{-23} Joules/Kelvin \), et

    \( T \) est la température du système.

    La variable \( T \) , pour température, apparaît deux fois dans cette équation. L'effet de \( T \) dans le terme \(( \frac{m}{2 \pi kT})^{ \frac{3}{2}} \) est de rendre le pic de la courbe plus petit lorsque \( T \) augmente. L'effet de \( T \) dans le terme exponentiel est que la courbe se déplace vers la droite sur l'axe des \( x \) lorsque \( T \) augmente. Par conséquent, la courbe de distribution est plus large et le pic plus à droite à des températures plus élevées, et plus étroite et le pic plus à gauche à des températures plus basses.

    Quel est le sens physique de la distribution de Boltzmann ?

    Comme nous l'avons mentionné plus haut, la distribution de Boltzmann est une fonction de probabilité qui montre la répartition de l'énergie entre les particules d'un gaz parfait. (Voir Cinétique chimique pour en savoir plus sur ce sujet).

    Un gaz parfait est un gaz hypothétique composé de particules qui n'interagissent pas. Bien que nous rencontrions rarement des gaz parfaits, il est toujours utile d'imaginer leur comportement à l'aide d'une courbe de Boltzmann, car nous pouvons appliquer ces conclusions à n'importe quel gaz ou solution.

    En termes simples, un graphique de distribution Boltzmann montre comment l'énergie des particules de gaz varie au sein d'un système. Ne t'inquiète pas, nous allons le voir maintenant.

    Remarque que nous utilisons le mot "particules". En effet, la distribution de Boltzmann s'applique à toutes sortes d'espèces gazeuses, des atomes aux ions en passant par les molécules.

    Axes

    Voici un exemple typique d'un graphique de distribution Boltzmann.

    Distribution de Boltzmann, Un graphe de distribution Maxwell-Boltzmann, StudySmarterFig. 1- Un graphe de distribution Maxwell-Boltzmann.

    Sur l'axe des \( x \) , nous avons l'énergie et sur l'axe des \( y \) , nous avons le nombre de particules.

    Tu peux trouver d'autres valeurs représentées sur les axes. Par exemple, l'énergie peut être remplacée par la vitesse. Or, la vitesse n'est qu'une mesure de l'énergie cinétique. Ici, les deux valeurs sont suffisamment similaires pour que nous puissions les remplacer l'une par l'autre. Les particules ayant une grande quantité d'énergie se déplacent à grande vitesse - c'est aussi simple que cela.

    De même, sur certains graphiques, l'axe des y indique en fait la probabilité qu'une particule de gaz ait une énergie particulière. Cependant, nous pouvons généraliser cela au nombre de particules ayant chaque valeur d'énergie. Par exemple, si tu as 100 particules de gaz et que la probabilité qu'elles aient une certaine énergie est de 0,05, tu peux t'attendre à trouver 5 particules avec cette énergie.

    Énergie

    Les particules n'ont pas une quantité fixe d'énergie. Au contraire, leur niveau d'énergie change constamment lorsqu'elles se déplacent et entrent en collision les unes avec les autres. Une distribution de Boltzmann nous montre simplement les différentes énergies que nous pouvons nous attendre à voir à un moment donné dans le temps.

    Nombre de particules

    L'axe des ordonnées indique le nombre de particules pour chaque quantité particulière d'énergie. Une valeur plus élevée signifie que plus de particules possèdent cette énergie. Si tu additionnes le nombre de particules avec chaque valeur d'énergie, tu obtiendras le nombre total de particules. Ce nombre est égal à l'aire sous le graphique.

    En regardant le graphique, nous pouvons constater les choses suivantes :

    • Aucune particule n'a d'énergie négative ou d'énergie nulle, ce qui est montré par la limite gauche de la courbe, qui passe par l'origine.
    • Quelques particules ont une très grande quantité d'énergie, comme le montre la longue queue à droite de la courbe. En fait, il n'y a pas de limite supérieure à l'énergie qu'une particule peut avoir - la courbe s'étend indéfiniment.
    • La plupart des particules ont une quantité d'énergie intermédiaire, illustrée par le grand pic au milieu de la courbe.

    Distribution de Boltzmann,   Énergies des particules, StudySmarterFig. 2- Les différentes énergies des particules sur un graphique de distribution Maxwell-Boltzmann.

    Points sur le graphique

    Regardons à nouveau notre graphique. Cette fois, nous allons marquer certains points sur le graphique.

    Distributionde Boltzmann,  Points sur un graphe de distribution Maxwell-Boltzmann, StudySmarter Fig. 3- Points sur un graphe de distribution Maxwell-Boltzmann.

    Énergie la plus probable

    Le point le plus élevé du pic du graphique représente l'énergie la plus probable des particules. Parmi toutes les différentes valeurs d'énergie présentes, le plus grand nombre de particules possède cette énergie particulière.

    Énergie moyenne

    La ligne marquée à droite de l'énergie la plus probable indique l'énergie moyenne des particules. Pour être plus précis, il s'agit de la valeur médiane de l'énergie. La moitié exactement des particules ont une énergie supérieure à celle-ci, tandis que la moitié exactement des particules ont une énergie inférieure à celle-ci.

    Énergie d'activation

    Sur le côté droit du graphique se trouve l'énergie d'activation.

    L'énergie d'activation est la quantité minimale d'énergie nécessaire au démarrage d'une réaction chimique. Elle est représentée par le symbole \( E_a \) .

    Toutes les particules situées à droite de ce point répondent aux exigences de l'énergie d'activation de cette réaction particulière. Cela signifie qu'elles peuvent potentiellement réagir. Toutes les particules à gauche de ce point ne répondent pas à l'énergie d'activation. Elles n'ont pas assez d'énergie pour réagir.

    C'est pourquoi les allumettes sont parfaitement sûres si on les laisse tranquilles. Les particules n'ont pas assez d'énergie pour satisfaire aux exigences de l'énergie d'activation nécessaire au démarrage d'une réaction.

    Distribution de Boltzmann : Démonstration

    Maintenant que nous savons ce que sont les graphiques de distribution Boltzmann, nous pouvons examiner les facteurs qui les affectent. Ces facteurs sont les suivants :

    • la température;

    Nous pouvons ensuite appliquer cela à la vitesse de réaction.

    Température

    Tout d'abord, examinons l'effet du chauffage d'un système.

    Augmenter la température

    Lorsque nous chauffons des particules, nous leur fournissons de l'énergie. Cela signifie deux choses.

    • Les particules ont globalement plus d'énergie, de sorte qu'un plus grand nombre de particules atteignent ou dépassent l'énergie d'activation.
    • Les particules ont également plus d'énergie cinétique. En moyenne, elles se déplacent plus rapidement, et il y a plus de collisions par seconde.

    Si tu chauffes un système gazeux, il y a plus de collisions par seconde et, en moyenne, un plus grand nombre de particules en collision atteignent l'énergie d'activation. Cela signifie que la vitesse de réaction augmente.

    Examinons l'effet de ce phénomène sur un graphique Boltzmann.

    Distribution de Boltzmann, L'effet de l'augmentation de la température, StudySmarterFig. 4- L'effet de l'augmentation de la température sur un graphique de distribution Maxwell-Boltzmann.

    Remarque que la pointe du pic, qui indique l'énergie la plus probable, s'aplatit et se déplace vers la droite. L'énergie la plus probable des particules a augmenté. Tu peux également voir que davantage de particules atteignent maintenant l'énergie d'activation. Cela contribue à augmenter le taux de réaction, comme nous l'avons vu plus haut.

    C'est ainsi que nous allumons des allumettes. Le fait de les frotter contre le côté rugueux de la boîte d'allumettes provoque une friction qui fournit de l'énergie aux particules de la tête d'allumette. À présent, un nombre important d'entre elles a suffisamment d'énergie pour réagir - elles répondent aux exigences de l'énergie d'activation de la réaction.

    Diminution de la température

    Si nous diminuons la température, c'est l'inverse qui se produit : le pic du graphique se déplace vers le haut et la gauche, et moins de particules répondent désormais à l'énergie d'activation. Cela diminue la vitesse de la réaction.

    Distribution de Boltzmann, L'effet de la diminution de la température, StudySmarterFig. 5- L'effet de la diminution de la température sur un graphique de distribution Maxwell-Boltzmann.

    Présence d'un catalyseur

    L'ajout d'un catalyseur ne modifie pas l'énergie de l'une des particules. Au contraire, il réduit l'énergie d'activation de la réaction. Cela signifie qu'un plus grand nombre de particules atteignent ou dépassent l'énergie d'activation. Cela augmente la vitesse de la réaction.

    Distribution de Boltzmann, L'effet de l'ajout d'un  catalyseur, StudySmarterFig. 6- L'effet de l'ajout d'un catalyseur sur un graphique de distribution Maxwell-Boltzmann.

    Comment la concentration affecte-t-elle un graphique de distribution de Boltzmann ?

    La concentration est simplement une mesure du nombre de particules dans un volume donné. Pour augmenter la concentration, nous pouvons diminuer le volume d'un système. Le nombre total de particules reste le même : elles sont simplement entassées dans un espace plus petit.

    Tu remarqueras que nous n'avons rien fait pour modifier l'énergie des particules. Cela signifie que la distribution de Boltzmann reste exactement la même. La concentration n'a aucun effet sur une distribution de Boltzmann.

    Que se passe-t-il si nous augmentons la concentration en gardant le même volume, mais en augmentant le nombre de particules dans le système ? C'est plus facile à comprendre si nous remplaçons le nombre de particules sur l'axe des y par la probabilité. Comme nous n'avons rien fait pour modifier leur énergie, la probabilité que chaque particule ait une énergie spécifique reste la même, et le graphique reste donc inchangé.

    Mais tu sais peut-être aussi que l'augmentation de la concentration d'une espèce augmente le taux de réaction. Comment cela fonctionne-t-il, si la concentration n'affecte pas une distribution de Boltzmann ?

    N'oublie pas que la concentration est une mesure du nombre de particules dans un volume donné. Un système plus concentré contient le même nombre de particules, mais dans un récipient plus petit. En moyenne, les particules sont plus proches les unes des autres, et en moyenne, elles se déplacent moins entre les collisions. Cela signifie qu'il y a plus de collisions par seconde, et donc un taux de réaction plus rapide.

    Qu'est-ce qu'une distribution de Boltzmann inversée ?

    Des physiciens comme Ulrich Schneider et Immanuel Bloch ont maintenant réalisé un gaz dans lequel la distribution de Boltzmann est exactement inversée : De nombreuses particules possèdent de grandes énergies et seulement quelques-unes ont de petites énergies. Cette inversion de la répartition de l'énergie signifie que les particules ont pris une température absolue négative.

    "La distribution de Boltzmann inversée est la marque d'une température absolue négative ; et c'est ce que nous avons obtenu", déclare Ulrich Schneider. "Pourtant, le gaz n'est pas plus froid que zéro Kelvin, mais plus chaud. Il est même plus chaud qu'à n'importe quelle température positive - l'échelle de température ne s'arrête tout simplement pas à l'infini, mais saute plutôt à des valeurs négatives."

    Distribution de Boltzmann - Points clés

    • La loi distribution de Boltzmann est une fonction de probabilité qui montre la répartition de l'énergie entre les particules d'un gaz parfait.
    • La distribution de Boltzmann est décrite par la formule :
      \( f(v) = \frac{m}{2 \pi kT}^{ \frac{3}{2}} 4 \pi v^2 e^{ \frac{-mv^{2}}{2kT}} \) .
    • Les graphiques de la distribution de Boltzmann indiquent souvent l'énergie la plus probable, l'énergie moyenne et l'énergie d'activation.
    • Aucune particule n'a une énergie nulle. Quelques particules ont une très grande quantité d'énergie. Cependant, la plupart des particules ont une quantité d'énergie intermédiaire.
    • La notion de distribution de Boltzmann est démontrée par des facteurs comme la température et les catalyseurs.
    • L'augmentation de la température déplace le pic de la distribution de Boltzmann vers la droite et augmente le nombre de particules qui atteignent ou dépassent l'énergie d'activation. Cela augmente la vitesse de la réaction.
    • L'ajout d'un catalyseur réduit l'énergie d'activation et augmente donc le nombre de particules qui atteignent ou dépassent l'énergie d'activation. Cela augmente la vitesse de réaction.
    • La distribution de Boltzmann inversée est la marque d'une température absolue négative.
    Questions fréquemment posées en Distribution de Boltzmann

    Qu'est-ce que la loi de distribution de Boltzmann ?  

    La distribution de Maxwell-Boltzmann est une fonction de probabilité qui montre la répartition de l'énergie entre les particules d'un gaz parfait .

    Comment fonctionne la distribution de Boltzmann ?  

    Un graphique de distribution Maxwell-Boltzmann montre comment l'énergie des particules de gaz varie au sein d'un système. 

    Comment appliquer la distribution de Boltzmann ?  

    La distribution de Boltzmann est appliquée dans :

    • La dynamique des fluides et les  équations de conservation.
    • La formulation mathématique de la mécanique quantique.
    • Pour déterminer  le nombre de particules qui ne sont pas conservées dans les collisions.
    • Dans la dynamique des galaxies, relativité générale et astronomie. 

    Comment calculer la distribution de Boltzmann ?  

    L'énergie cinétique moyenne des molécules de gaz est donnée par l'équation suivante :


    Ek =3/2 KBT=3/2(K/NA)T



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    Qu'est-ce qui se trouve sur l'axe des y d'un graphique de distribution Boltzmann ?

    Qu'est-ce qui se trouve sur l'axe des x d'un graphique de distribution Boltzmann ?

    L'augmentation de la température d'un système ______.

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