Gaz parfait

Qu'est-ce que la théorie cinétique des gaz ?

La théorie cinétique des gaz permet d'étudier un gaz en considérant l'ensemble des nombreuses particules qui le composent. L'adjectif « cinétique » fait référence au fait que la plupart des propriétés du gaz sont obtenues à partir du mouvement des particules microscopiques.

Grandeurs microscopiques principales

Les grandeurs microscopiques principales utilisées en théorie cinétique des gaz sont :

• La vitesse : c'est la quantité microscopique principale de la théorie cinétique des gaz. La distribution des vitesses permet de déterminer la pression, et la moyenne de cette distribution permet de déterminer la température.

• L'énergie cinétique : obtenue à partir de la vitesse, elle donne un accès plus direct à la température.

• L'énergie d'interaction : typiquement faible pour un gaz, elle doit complètement être négligeable pour appliquer la loi des gaz parfaits.

Interprétation macroscopique

Maintenant que nous avons vu les grandeurs microscopiques principales de la théorie cinétique des gaz, faisons le lien avec les grandeurs macroscopiques que l'on étudie en thermodynamique. Entre autres, il s'agit de :

• La température : elle mesure l'énergie cinétique moyenne des particules constituant le gaz. C'est lié à la vitesse à laquelle les particules se déplacent.

• La pression : elle mesure la force moyenne que les particules exercent par unité de surface sur les bords du conteneur. On peut également la comprendre comme une densité d'énergie cinétique.

• Le volume : il mesure l'espace occupé par le gaz. C'est également relié à l'espace entre les particules, ce qui influe sur l'intensité des interactions entre les particules.

• Énergie interne : elle mesure l'énergie cinétique et l'énergie potentielle due aux interactions entre les particules.

Modèle du gaz parfait

Gaz parfait, définition : c'est une approximation du comportement des gaz réels. Ce modèle nécessite des hypothèses simples associées au modèle de la théorie cinétique des gaz. Celui-ci nous permet de comprendre les propriétés thermodynamiques et leurs relations. Il est également important de comprendre sous quelles conditions et pourquoi l'approximation des gaz parfaits n'est plus valable, auquel cas un modèle plus complexe est nécessaire.

Hypothèses du modèle

La théorie cinétique appliquée au gaz parfait nécessite de faire les hypothèses suivantes :

• Aucune force à distance n'existe entre les particules.

• Les particules de gaz peuvent entrer en collision, mais la durée de collision est faible par rapport au temps qui s'écoule entre deux collisions.
• Les collisions entre les particules sont élastiques, c'est-à-dire qu'elles ne causent pas d'échange ou de perte d'énergie.
• Le mouvement des particules est aléatoire, mais suit les lois de Newton.
• Les particules n'ont pas de volume, elles sont ponctuelles (infiniment petites).

Ces hypothèses permettent de tirer certaines conséquences au niveau macroscopique :

1. Il est commode de considérer les moyennes pour définir les quantités macroscopiques, car le mouvement est aléatoire.

2. Appliquer les lois de Newton nous permet d'étudier le transfert de quantité de mouvement entre les particules et avec les surfaces délimitant le gaz.

3. Le caractère élastique des collisions implique que l'énergie cinétique est conservée. Dans le cas du gaz parfait, il s'agit de l'énergie totale parce qu'il n'y a pas d'énergie potentielle.

Loi des gaz parfaits

La loi des gaz parfaits est une équation qui met en relation les trois quantités macroscopiques principales, à savoir la pression, la température et le volume. Elle contient également la quantité de matière en moles. Elle est donnée par \[ \fbox{\(PV = nRT\)} \] où \(P\) est la pression du gaz (en \(Pa\))

\( V \) est le volume (en \(m^3\))

\(T\) est la température (en \(K\))

\(R\) est la constante des gaz parfaits (environ égal à \(8{,}314\; J \cdot \textrm{mol} ^{-1} \cdot K^{-1})\)

Cette équation peut être démontrée pour \(n\) moles de particules qui se comportent selon les hypothèses précédentes, en faisant une analyse statistique permettant d'extraire les quantités thermodynamiques. À partir de cette équation, et en fixant l'une des quantités thermodynamiques, on peut en déduire les trois lois valables pour les gaz parfaits :

• loi de Boyle-Mariotte (à température fixe)
• loi de Charles (à pression fixe)
• loi de Gay-Lussac (à volume fixe)

Généralisation du modèle

Les gaz suivent la loi des gaz parfaits pour certaines gammes de conditions expérimentales (faibles pressions et températures). En revanche, le modèle peut ne plus être valable pour deux raisons principales :

1. Les particules du gaz ne sont pas ponctuelles, elles ont un certain volume.

2. Il existe des forces à distance entre les particules.

Ces deux contributions sont pris en compte dans l'équation de Van der Waals qui fait intervenir deux paramètres \(a\) et \(b\) : \[ (P + a\cdot \frac{n^2}{V^2})\cdot (V-n\cdot b) = nRT \]

Cette équation redonne la formule du gaz parfait lorsque l'on pose \(a=0\) et \(b=0\). Il est possible de prouver que lorsque le volume molaire (le volume occupé par une mole de gaz) est suffisamment grand, les paramètres \(a\) et \(b\) peuvent être négligés, et on obtient à nouveau la loi des gaz parfaits. Le cas où une mole d'une substance occupe un volume très grand correspond bien à nos hypothèses car :

1. Même si les particules ne sont pas ponctuelles et ont un certain volume, celui-ci est négligeable comparé au large volume dont disposent les particules.
2. Même s'il existe des forces à distance entre les particules, le volume important permet aux particules d'être très éloignées les unes des autres, ce qui rend la force à distance approximativement nulle.

Figure 1. Schéma illustrant la différence entre un gaz parfait et un gaz réel. On voit que le gaz réel est plus dense de sorte que l'on ne peut plus négliger l'interaction entre les particules.