Des modèles géocentriques d'Aristote, et héliocentrique de Copernic, au modèle atomique de Bohr, tu as probablement déjà remarqué que les cercles étaient d'un grand intérêt non seulement aux mathématiciens, mais également aux astronomes et physiciens à travers les époques.
Le mouvement circulaire est un mouvement sur une trajectoire circulaire autour d'un point central ayant un rayon constant. Un exemple de mouvement circulaire serait une pierre attachée à une ficelle qui se balance en cercle. Nous pouvons nous renseigner sur plusieurs caractéristiques du mouvement circulaire, par exemple : la période de temps pendant laquelle l'objet effectue une orbite complète. Les physiciens et surtout les astronomes se sont intéressés depuis longtemps à l'étude du mouvement circulaire. C'est la méthode par laquelle nous pouvons décrire le mouvement planétaire à l'échelle astronomique, ou simplement le mouvement des roues de ton vélo, qui assure ta stabilité au moment où tu le pédales.
Ce résumé de cours va t'initier, de manière simplifiée, aux mouvements circulaires et aux équations qui leur régissent. Prépare-toi à une nouvelle découverte !
Comment fonctionne le vecteur vitesse dans un mouvement circulaire ?
Dans un mouvement circulaire, la vitesse est toujours tangentielle à la direction du mouvement. Si la force centripète était supprimée, l'objet continuerait à se déplacer dans la direction de sa vitesse, brisant ainsi le mouvement circulaire et avançant en ligne droite.
Tu sais d'après les cours de mathématiques que la dérivée d'une certaine fonction en un point est représentée graphiquement par la tangente à la courbe représentant la fonction en ce point ; et comme le vecteur vitesse n'est autre que la dérivée de la position par rapport au temps, sa direction ne sera autre que la tangente à la trajectoire circulaire en tout point.
Figure 1. La force centripète maintient l'objet en mouvement circulaire.
La force centripète est le nom donné à la force qui maintient le mouvement circulaire. Elle agit le long du rayon et est dirigée vers le centre de l'orbite.
Vitesse angulaire
Cette quantité peut être utile pour calculer la position d'un corps en rotation en le repérant grâce à un angle qui varie au cours du temps.
La vitesse angulaire est le déplacement angulaire par unité de temps.
Ici, les degrés sont convertis en radians. Un radian est équivalent à l'angle dont le sommet est le centre d'un cercle lorsqu'un arc de longueur égale à son rayon est créé sur sa circonférence.
Nous pouvons diviser l'angle avec lequel un objet s'est déplacé par le temps qu'il a fallu pour que ce déplacement angulaire se produise pour déterminer la vitesse angulaire moyenne : \[\omega=\frac{\Delta \theta}{\Delta t}\]
Quand \(\Delta t \rightarrow 0\) : \[\omega = \theta'= \frac{d\theta}{dt}\]
- ω est la vitesse angulaire mesurée en rad/s.
- \(\Delta t\) est le temps pris, qui est différent de la période de temps.
- θ est l'abscisse angulaire totale dans la période de temps donnée (cela peut dépasser 360º ou 2π).
De plus, nous pouvons mesurer le temps que met l'objet à effectuer une orbite complète pour en déduire la vitesse angulaire. \[\omega = \frac{2 \pi}{T} = 2 \pi f\]
- ω représente la vitesse angulaire, mesurée en rad/s.
- T représente la période de temps, c'est-à-dire le temps qu'il faut à l'objet pour effectuer une orbite complète. Elle est mesurée en secondes.
- f représente la fréquence du mouvement et est mesurée en hertz.
- 2π est 360º en radians, ce qui représente le déplacement angulaire maximal et un cercle complet.
Passons à une étude linéaire des caractéristiques d'un mouvement circulaire.
Étude linéaire du mouvement circulaire
Position
Similairement à l'abscisse angulaire \(\theta\), nous définissons l'abscisse curviligne \(s\)
L'abscisse curviligne \(s\) est la mesure en mètres de l'arc du cercle que décrit l'objet en mouvement circulaire durant un certain temps.
Rappelle-toi de la manière dont tu avais l'habitude de calculer le périmètre d'un cercle complet (\(p=2\pi r\)), \(2\pi\) étant l'angle du cercle complet.
Par analogie, si tu dois trouver la longueur d'un arc de cercle dont l'angle est \(\theta\), il te suffit de multiplier l'angle par le rayon du cercle.
Vitesse
Comme nous l'avions précisé précédemment, le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire.
Trouvons l'expression de la norme du vecteur vitesse.
\[V=\frac{ds}{dt}=\frac{d(r.\theta)}{dt}=r\frac{d\theta}{dt} = r.\omega\]
\[\rightarrow \boxed{V=r.\omega}\]
D'autre part, la vitesse linéaire n'est autre que la distance parcourue par rapport au temps. Et nous savons que la distance parcourue lorsqu'on fait un tour complet n'est autre que le périmètre du cercle \(p=2\pi r\) traversé durant la période \(T\) qui est constante dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme.
- Alors, \[V= \frac{2\pi r}{T}\]
- Par un réarrangement des termes et identification à l'équation précédente de la vitesse : \[V= r.\frac{2\pi}{T} =r.\omega\] On voit bien que : \[\boxed{\omega=\frac{2\pi}{T}}\] et \(f=\frac{1}{T}\) donc, \[\boxed{\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f}\]
Accélération
La norme du vecteur accélération dans le cas d'un mouvement rectiligne est donnée par :\[a=\frac{dV}{dt}=\frac{d(r.\omega)}{dt}= r.\theta''\]
\[\rightarrow \boxed{a=r.\theta''}\]
\(\theta''\) étant l'accélération angulaire.
Accélération — mouvement circulaire
Nous avions parlé de l'existence d'une composante centripète (ou normale) de l'accélération à rajouter à la composante tangentielle, sans quoi le mouvement serait rectiligne le long de la tangente au cercle et nous n'aurions plus de mouvement circulaire.
Repère de Frenet
Le repère de Frenet est un repère attaché au point matériel ou au centre de masse d'un système étudié. Les deux axes de ce repère sont l'axe tangentiel et l'axe normal à la trajectoire curviligne.
Les deux composantes du vecteur accélération dans le repère de Frenet sont données par : \[\boxed{a_T=\frac{dV}{dt} \hspace{10px} et \hspace{10px} a_N=\frac{V^2}{r}}\]
Quelles forces agissent sur un objet en mouvement circulaire ?
La force centripète est un concept clé du mouvement circulaire. Il ne faut pas la confondre avec la force centrifuge, qui porte un nom proche. La force centripète maintient l'accélération angulaire, tandis que la force centrifuge est une pseudo-force. Elle est ressentie uniquement par l'objet qui décrit la trajectoire circulaire. La force centrifuge agit dans la direction opposée à la force centripète, c'est-à-dire vers l'extérieur.
Figure 2. La force centrifuge (en bleu) s'oppose à la force centripète (en vert).
Exemples d'objets en mouvement circulaire
Il existe de nombreux exemples concrets de mouvement circulaire. Considère les cas suivants :
Une voiture prend un virage.
Dans ce cas, la force de frottement est la force centripète :\[f=\frac{m.V^2}{r}\]
Une balle reliée à une barre par une corde suit un mouvement circulaire autour de la barre à vitesse constante. La balle a une masse de 300 g et se déplace à une vitesse de 3,2 m/s. Calcule la force centripète si la corde a une longueur de 1,5 m. Puis calcule l'accélération de la balle autour de la barre.
Tout d'abord, calcule la force centripète avec m = 300 g, v = 3,2 m/s, et r = 1,5 m. Convertit 300 g en kg, puis calcule F. \[F=\frac{m.V^2}{r}\] \[\rightarrow F=\frac{0,3\times(3,2)^2}{1,5}=2,048 N\]
Le résultat est de 2,048 newtons. Nous savons grâce aux lois de Newton que la force est égale à la masse multipliée par l'accélération :
\[F=ma_N=2,048 N\]
Comme nous connaissons la masse m de l'objet, nous pouvons diviser F par m pour déterminer a. \[a=\frac{F}{m}=\frac{2,048}{0,3}=6,83 m/s^2\]
Une balançoire.
Une balançoire fonctionne comme un pendule. En appliquant la deuxième loi de Newton \(\Sigma\vec{F}=m\vec{a}\), la force centripète est la somme des forces dans l'axe le long de la corde qui soutient la balançoire. Dans ce cas, ces forces sont la force de gravité F=mg et la force de tension 'T'.\[F=m.g - T\]Lorsque la balançoire passe par son point le plus bas, les deux forces agissent l'une contre l'autre (voir figure 3).
Fig.3- Forces sur une balançoire, la force de gravité étant dirigée vers le bas et la force de tension vers le haut.
En comprenant cela, nous pouvons simplement assimiler les deux comme suit :
\[F=\frac{m.V^2}{r}\]
Tout comme le mouvement rectiligne, nous pouvons écrire les quatre principales équations cinématiques du mouvement circulaire uniforme et du mouvement circulaire non uniforme par analogie à celles du mouvement rectiligne.
Mouvement circulaire uniforme
\(\omega = \theta'=cte\)
\[ \rightarrow \boxed{ \theta=\omega.t + \theta_0}\]
Voici l'équation horaire en abscisse angulaire du mouvement circulaire uniforme.
De manière équivalente, nous avons la même forme de l'équation avec l'abscisse curviligne comme variable.
\(V=r.\omega = cte\) \[\rightarrow \boxed{s=V.t + s_0}\]
Voici l'équation horaire en abscisse curviligne du mouvement circulaire uniforme.
Mouvement circulaire uniformément varié
\(\theta'' = cte\) \[\rightarrow \boxed{\theta'=\theta''.t +\theta'_0}\]
De plus, \[\boxed{\theta=\frac{1}{2}\theta''t^2+\theta'_0.t+\theta_0}\] voici l'équation horaire du mouvement circulaire accéléré ou décéléré uniformément.
En outre, \[\boxed{{\theta'}^2 - {\theta'_0}^2=2 \theta'' (\theta-\theta_0)}\] c'est la relation indépendante du temps du mouvement circulaire uniformément varié (mouvement circulaire accéléré ou décéléré).
De manière équivalente, nous pouvons réécrire ces équations avec l'abscisse curviligne.
\(a=r.\theta''=cte\) \[\rightarrow \boxed{V=a.t+V_0}\]
Et, \[\boxed{s=\frac{1}{2}a.t^2 + v_0.t+s_0}\] c'est l'équation horaire en abscisse curviligne du mouvement circulaire accéléré ou décéléré uniformément.
Enfin, \[\boxed{V^2-V_0^2=2a(s-s_0)}\] c'est la relation indépendante du temps du mouvement circulaire accéléré ou décéléré uniformément.
Toutes les relations précédentes sont analogues à celles du mouvement rectiligne auquel tu peux en trouver les démonstrations dans notre article de "Cinématique".
Mouvement Circulaire - Points-clés
- Les caractéristiques du mouvement circulaire sont la vitesse, le rayon et la période.
- L'équation du mouvement circulaire est la suivante : \[F=\frac{m.V^2}{r}\] il existe une différence entre les vecteurs linéaires et leurs équivalents angulaires.
- Il est important d'utiliser des scalaires angulaires ou les normes des vecteurs angulaires.
- Le mouvement circulaire peut être appliqué à des situations de la vie réelle.
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