Mouvement circulaire

Comment fonctionne le vecteur vitesse dans un mouvement circulaire ?

Dans un mouvement circulaire, la vitesse est toujours tangentielle à la direction du mouvement. Si la force centripète était supprimée, l'objet continuerait à se déplacer dans la direction de sa vitesse, brisant ainsi le mouvement circulaire et avançant en ligne droite.

Figure 1. La force centripète maintient l'objet en mouvement circulaire.

Vitesse angulaire

Cette quantité peut être utile pour calculer la position d'un corps en rotation en le repérant grâce à un angle qui varie au cours du temps.

Ici, les degrés sont convertis en radians. Un radian est équivalent à l'angle dont le sommet est le centre d'un cercle lorsqu'un arc de longueur égale à son rayon est créé sur sa circonférence.

Nous pouvons diviser l'angle avec lequel un objet s'est déplacé par le temps qu'il a fallu pour que ce déplacement angulaire se produise pour déterminer la vitesse angulaire moyenne : \[\omega=\frac{\Delta \theta}{\Delta t}\]

• ω est la vitesse angulaire mesurée en rad/s.
• \(\Delta t\) est le temps pris, qui est différent de la période de temps.
• θ est l'abscisse angulaire totale dans la période de temps donnée (cela peut dépasser 360º ou 2π).

De plus, nous pouvons mesurer le temps que met l'objet à effectuer une orbite complète pour en déduire la vitesse angulaire. \[\omega = \frac{2 \pi}{T} = 2 \pi f\]

• ω représente la vitesse angulaire, mesurée en rad/s.
• T représente la période de temps, c'est-à-dire le temps qu'il faut à l'objet pour effectuer une orbite complète. Elle est mesurée en secondes.
• f représente la fréquence du mouvement et est mesurée en hertz.
• 2π est 360º en radians, ce qui représente le déplacement angulaire maximal et un cercle complet.

Passons à une étude linéaire des caractéristiques d'un mouvement circulaire.

Étude linéaire du mouvement circulaire

Position

Similairement à l'abscisse angulaire \(\theta\), nous définissons l'abscisse curviligne \(s\)

Vitesse

Comme nous l'avions précisé précédemment, le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire.

Trouvons l'expression de la norme du vecteur vitesse.

\[V=\frac{ds}{dt}=\frac{d(r.\theta)}{dt}=r\frac{d\theta}{dt} = r.\omega\]

\[\rightarrow \boxed{V=r.\omega}\]

Accélération

La norme du vecteur accélération dans le cas d'un mouvement rectiligne est donnée par :\[a=\frac{dV}{dt}=\frac{d(r.\omega)}{dt}= r.\theta''\]

\[\rightarrow \boxed{a=r.\theta''}\]

\(\theta''\) étant l'accélération angulaire.

Accélération — mouvement circulaire

Nous avions parlé de l'existence d'une composante centripète (ou normale) de l'accélération à rajouter à la composante tangentielle, sans quoi le mouvement serait rectiligne le long de la tangente au cercle et nous n'aurions plus de mouvement circulaire.

Repère de Frenet

Le repère de Frenet est un repère attaché au point matériel ou au centre de masse d'un système étudié. Les deux axes de ce repère sont l'axe tangentiel et l'axe normal à la trajectoire curviligne.

Les deux composantes du vecteur accélération dans le repère de Frenet sont données par : \[\boxed{a_T=\frac{dV}{dt} \hspace{10px} et \hspace{10px} a_N=\frac{V^2}{r}}\]

Quelles forces agissent sur un objet en mouvement circulaire ?

La force centripète est un concept clé du mouvement circulaire. Il ne faut pas la confondre avec la force centrifuge, qui porte un nom proche. La force centripète maintient l'accélération angulaire, tandis que la force centrifuge est une pseudo-force. Elle est ressentie uniquement par l'objet qui décrit la trajectoire circulaire. La force centrifuge agit dans la direction opposée à la force centripète, c'est-à-dire vers l'extérieur.

Figure 2. La force centrifuge (en bleu) s'oppose à la force centripète (en vert).

Exemples d'objets en mouvement circulaire

Il existe de nombreux exemples concrets de mouvement circulaire. Considère les cas suivants :

Tout comme le mouvement rectiligne, nous pouvons écrire les quatre principales équations cinématiques du mouvement circulaire uniforme et du mouvement circulaire non uniforme par analogie à celles du mouvement rectiligne.

Mouvement circulaire uniforme

\(\omega = \theta'=cte\)

\[ \rightarrow \boxed{ \theta=\omega.t + \theta_0}\]

Voici l'équation horaire en abscisse angulaire du mouvement circulaire uniforme.

De manière équivalente, nous avons la même forme de l'équation avec l'abscisse curviligne comme variable.

\(V=r.\omega = cte\) \[\rightarrow \boxed{s=V.t + s_0}\]

Voici l'équation horaire en abscisse curviligne du mouvement circulaire uniforme.

Mouvement circulaire uniformément varié

\(\theta'' = cte\) \[\rightarrow \boxed{\theta'=\theta''.t +\theta'_0}\]

De plus, \[\boxed{\theta=\frac{1}{2}\theta''t^2+\theta'_0.t+\theta_0}\] voici l'équation horaire du mouvement circulaire accéléré ou décéléré uniformément.

En outre, \[\boxed{{\theta'}^2 - {\theta'_0}^2=2 \theta'' (\theta-\theta_0)}\] c'est la relation indépendante du temps du mouvement circulaire uniformément varié (mouvement circulaire accéléré ou décéléré).

De manière équivalente, nous pouvons réécrire ces équations avec l'abscisse curviligne.

\(a=r.\theta''=cte\) \[\rightarrow \boxed{V=a.t+V_0}\]

Et, \[\boxed{s=\frac{1}{2}a.t^2 + v_0.t+s_0}\] c'est l'équation horaire en abscisse curviligne du mouvement circulaire accéléré ou décéléré uniformément.

Enfin, \[\boxed{V^2-V_0^2=2a(s-s_0)}\] c'est la relation indépendante du temps du mouvement circulaire accéléré ou décéléré uniformément.

Toutes les relations précédentes sont analogues à celles du mouvement rectiligne auquel tu peux en trouver les démonstrations dans notre article de "Cinématique".