Mouvement circulaire et diagrammes de corps libre

Dessiner un diagramme de corps libre

Pour commencer, expliquons ce qu'est un diagramme de corps libre et pourquoi il est important. Un diagramme de corps libre, également connu sous le nom de diagramme de force, est un diagramme qui montre toutes les forces vectorielles agissant sur un objet. Il est utile de dessiner l'objet séparément du système et d'identifier chaque force agissant sur l'objet. N'indique pas les forces que l'objet exerce sur d'autres objets, mais seulement celles qui agissent sur l'objet. S'il y a plusieurs objets dans un système, tu devras faire un diagramme de corps libre pour chaque objet.

Nous représentons les forces sur un diagramme de corps libre à l'aide de vecteurs. Nous montrons chaque force agissant sur l'objet en dessinant un vecteur dont la longueur et la direction représentent respectivement l'ampleur et la direction de la force. Nous dessinons les diagrammes de corps libres de deux façons différentes. La première consiste à dessiner les vecteurs de force agissant sur l'objet à partir d'un point représentant le centre de masse de l'objet. La deuxième méthode consiste à dessiner chaque vecteur de force sur l'objet au point où la force agit. L'image ci-dessous est un exemple de diagramme de corps libre pour une boîte sur une rampe. Les vecteurs de la force de gravité, de la force normale et de la force de frottement viennent du centre de masse de la boîte et pointent dans la direction de la force.

Diagramme de corps libre pour une boîte sur une rampe, StudySmarter Originals

Diagramme de corps libre pour un mouvement circulaire

Maintenant que nous savons comment dessiner un diagramme de corps libre, nous pouvons discuter des diagrammes de corps libre pour les objets en mouvement circulaire uniforme. Considérons un satellite en orbite autour de la Terre. Dans l'image ci-dessous, le satellite se déplace dans un cercle uniforme autour de la Terre. Quelle force agit sur le satellite pour le maintenir en orbite ? La gravité ! Sans gravité, la vitesse élevée du satellite le ferait s'envoler en ligne droite. Le satellite tombe constamment vers la Terre à cause de la gravité. La vitesse élevée du satellite et la gravité le maintiennent sur une orbite circulaire.

Le diagramme des corps libres du satellite est assez simple puisque la seule force qui agit sur lui est la gravité. Nous représentons la force de gravité par un vecteur. La direction du vecteur pointe vers le centre de la Terre.

Les objets en mouvement circulaire uniforme doivent avoir une force centripète qui pointe vers le centre du cercle ; c'est cette force qui maintient l'objet en mouvement dans un cercle. La force centripète est la somme de toutes les forces agissant radialement sur l'objet.

Lorsque l'on fait un diagramme de corps libre pour un objet en mouvement circulaire uniforme, il est important d'identifier les forces qui contribuent à la force centripète. La force centripète est proportionnelle à l'accélération centripète. Cela nous aidera plus tard lorsque nous écrirons notre équation.

Examinons de plus près deux diagrammes de corps libres : une balle sur une ficelle qui se balance dans un mouvement circulaire vertical et un mouvement circulaire horizontal.

Diagramme de corps libre pour un mouvement circulaire vertical

Considère une balle qui est balancée dans un mouvement circulaire vertical, comme le montre l'image ci-dessous. Nous allons tracer trois diagrammes de corps libre pour la balle aux positions 1, 2 et 3.

Diagramme de corps libre pour une balle balancée dans un mouvement vertical à trois positions, StudySmarter Originals

Deux forces agissent constamment sur la balle : la force de gravité et la force de tension. La force de gravité dans les trois positions est dirigée vers le bas, mais la force de tension pointe vers le bas à la position 1, vers la droite à la position 2 et vers le haut à la position 3. Nous devons également noter la magnitude des vecteurs. L'ampleur de la force de gravité dépend de la masse de la balle, qui reste constante. Ainsi, l'ampleur de la force de gravité est la même dans les trois positions.

L'ampleur de la force de tension ne sera pas la même dans les trois positions. Pour que la balle reste dans un mouvement circulaire, la vitesse de la balle doit augmenter le long de la partie inférieure du cercle. Au sommet du cercle, la balle ralentit en raison de la gravité, et la ficelle ne la tire donc pas aussi fort. Il est important de noter qu'étant donné que la vitesse de la balle change, la balle n'est pas dans un mouvement circulaire uniforme dans ce cas. Si la vitesse de la balle devient trop faible, la ficelle deviendra molle et la force de tension sera nulle. La balle sortira alors de son mouvement circulaire. Nous dirons pour ce problème que la boule conserve une vitesse suffisante pour l'empêcher de sortir de son mouvement circulaire. L'ampleur de la force de tension sera la plus faible à la position 1 et augmentera pour atteindre l'ampleur la plus importante à la position 3.

Nous pouvons utiliser la deuxième loi de Newton,$F_{net}=ma$pour décrire le mouvement de la balle à chaque position. Même si la balle n'est pas en mouvement circulaire uniforme, nous pouvons toujours utiliser l'équation suivante$a_c=\frac{v^2}{r}$pour l'accélération centripète en chaque point, où$r$est le rayon du cercle.

Commençons par la position 1. Nous commençons par fixer la force centripète égale à la masse multipliée par l'accélération centripète. La force nette dans cette équation est la force centripète, nous devons donc inclure toutes les forces qui contribuent à la force centripète. Pour la position 1, nous avons :

$F_{net}=m{a}_c$

$T_1+mg=m\frac{{\left(v_1\right)}^2}{r}$

Remarque que lorsque nous définissons notre système de coordonnées à cette position, nous choisissons la direction vers le bas comme étant la direction positive puisque c'est la direction vers laquelle pointe l'accélération centripète.

Maintenant, pour la position 2, nous allons définir la direction à droite de la balle comme étant la direction positive. Comme la force de gravité est perpendiculaire à la force de tension, elle n'a pas de composantes qui contribuent à la force centripète. Nos équations de force pour cette position sont :

$T_2=m\frac{{\left(v_2\right)}^2}{r}$

Enfin, pour la position 3, nous définissons la direction ascendante comme étant positive. Nos équations de force deviennent :

$T_3-mg=m\frac{{\left(v_3\right)}^2}{r}$

Nous pouvons utiliser ces équations pour trouver l'ampleur de la force de tension ou la vitesse à chaque position.

Diagramme du corps libre pour un mouvement circulaire horizontal

Le cas d'une balle se balançant dans un mouvement circulaire horizontal est un peu plus simple que le mouvement circulaire vertical. Comme la vitesse de la balle est constante, la balle subit un mouvement circulaire uniforme. Le poids de la balle fait que nous ne pourrions jamais la balancer complètement à l'horizontale, mais nous ferons l'approximation que la balle est légère et nous traiterons la situation comme si elle était complètement horizontale. Dans ce cas, nous n'avons besoin que d'un seul diagramme des corps libres car la force de gravité et la force centripète sont toujours perpendiculaires l'une à l'autre, comme le montre l'image ci-dessous. Cela signifie que la force de gravité ne contribuera pas à la force centripète.

Puisque la seule force centripète provient de la tension de la corde, notre équation de force est la suivante :

$\begin{array}{rcl}{F}_{net}& =& m{a}_c\\ T& =& m\frac{v^2}{r}\end{array}$

Résoudre un problème de mouvement circulaire horizontal

Faisons maintenant un problème pratique pour le mouvement circulaire horizontal. Prenons l'exemple d'une voiture qui roule sur une courbe inclinée en effectuant un mouvement circulaire. À un certain angle, aucun frottement n'est nécessaire pour maintenir la voiture dans un mouvement circulaire parce que la composante horizontale de la force normale sera la force causant l'accélération centripète. Quel est cet angle pour une$1000\mathrm{kg}$qui décrit une courbe d'un rayon de$65\mathrm{m}$et une vitesse de$15\raisebox{1ex}{$\mathrm{m}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{s}$}\right.$?

Nous pouvons dessiner le diagramme du corps libre de la voiture comme indiqué ci-dessous. Les composantes de la force normale sont représentées par des lignes pointillées afin que nous puissions voir comment les composantes contribuent au système.

La voiture ne subit pas de mouvement dans la direction verticale, nous savons donc que l'accélération verticale est nulle. L'équation de la force dans la direction verticale nous donne :

$\begin{array}{rcl}{F}_{net}& =& ma\\ F_n\cos \theta -F_g& =& 0\\ F_n\cos \theta & =& mg\\ F_n& =& \frac{mg}{\cos \theta }\end{array}$

La seule force qui contribue à l'accélération centripète est la composante horizontale de la force normale :

$\begin{array}{rcl}{F}_{net}& =& m{a}_c\\ F_n\sin \theta & =& m\frac{v^2}{r}\\ F_n& =& \frac{m{v}^2}{r\sin \theta }\end{array}$

En les mettant sur un pied d'égalité, nous obtenons :

$\begin{array}{rcl}\frac{mg}{\cos \theta }& =& \frac{m{v}^2}{r\sin \theta }\\ \tan \theta & =& \frac{v^2}{rg}\end{array}$

Nous pouvons alors utiliser cette équation pour trouver l'angle nécessaire.

$\begin{array}{rcl}\theta & =& {\tan }^{-1}\left(\frac{v^2}{rg}\right)\\ & =& {\tan }^{-1}\left(\frac{{(15\raisebox{1ex}{$\mathrm{m}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{s}$}\right.)}^2}{(65\mathrm{m})(9.8\raisebox{1ex}{$\mathrm{m}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{${\mathrm{s}}^2$}\right.)}\right)\\ & =& 0.34\mathrm{rad}\\ & =& 19.45°\end{array}$

Mouvement circulaire et gravitation Exemples de diagrammes à corps libre

Voici quelques exemples supplémentaires pour t'entraîner !