Exemple d'équation de Schrödinger

Décomposer l'équation de Schrödinger

L'équation de Schrödinger, nommée d'après son découvreur Erwin Schrödinger, est l'équation fondamentale de la physique pour décrire le comportement de la mécanique quantique. Pour l'exprimer le plus simplement possible, cette équation représente la façon dont l'état quantique d'un système change au fil du temps. \[ H \psi = E \psi \] Où :

• \N( H \N) est l'opérateur hamiltonien.
• \( \psi \) (psi) représente la fonction d'onde du système.
• \N( E \N) représente l'énergie totale du système.

Expliquons ces composantes plus en détail. L'opérateur hamiltonien \( H \) correspond à l'énergie totale du système, y compris l'énergie cinétique et l'énergie potentielle. C'est l'opérateur que nous appliquons à la fonction d'onde \( \psi \). La fonction d'onde \( \psi \) fournit des informations sur la distribution de probabilité de la position d'une particule au sein d'un système. L'énergie \( E \) est constante car elle est indépendante du temps.

Résoudre l'équation de Schrödinger : Un exercice

Notre but est de trouver \( \psi \) étant donné \( H \). En d'autres termes, nous cherchons la fonction d'onde du système. Prenons un exemple : Supposons que \N H \N soit l'opérateur \N -\Nfrac{d^2}{dx^2} \Nqui correspond à l'énergie cinétique. Commençons par notre forme standard : \[ H \psi = E \psi, \] nous remplaçons \( H \psi) par \( -\frac{d^2}{dx^2} \psi), ce qui donne : \[ -\frac{d^2}{dx^2} \psi = E \psi. \] À partir de là, nous isolons \( \psi \) comme le sujet de la formule. Nous t'épargnerons ici un travail mathématique exhaustif, mais si tu devais résoudre l'équation, tu obtiendrais une solution générale pour \( \psi \), qui dépendrait de \( E \).

Comprendre les concepts à travers un exemple d'équation de Schrödinger

Prendre un exemple du monde réel permet souvent de simplifier le concept. Imaginons un électron confiné dans une boîte unidimensionnelle de longueur \N( a \N). L'énergie potentielle \( V \) à l'intérieur de la boîte est nulle, et à l'extérieur de la boîte, elle est infinie. Pour un tel système, l'équation de Schrödinger serait : \[ E \psi = -\frac{\hbar^2}{2m} {\frac{d^2 \psi}{dx^2}}, \] où \( \hbar \) est la constante de Planck réduite et \( m \psi) est la masse de l'électron. Notre but est de trouver \( \psi \) et \( E \psi). En appliquant les conditions aux limites appropriées et en résolvant l'équation, nous pouvons obtenir plusieurs solutions, chacune correspondant à différents niveaux d'énergie (désignés par \N( E_n \N)) que l'électron peut prendre à l'intérieur de la boîte. Cet exemple est une illustration de base d'un système quantique fondamental connu sous le nom de particule dans une boîte. Il démontre l'utilisation de l'équation de Schrödinger pour prédire le comportement des particules quantiques.

Exemple d'équation de Schrödinger en coordonnées sphériques

La mécanique quantique nécessite souvent l'utilisation de différents systèmes de coordonnées pour décrire au mieux les situations physiques. Les coordonnées sphériques peuvent être particulièrement utiles pour les problèmes présentant une symétrie sphérique, comme un électron se déplaçant sous l'influence d'une force centrale. Bien que l'équation générale de Schrödinger soit généralement introduite en coordonnées cartésiennes, explorons un exemple en coordonnées sphériques.

Guide de résolution de l'équation de Schrödinger en coordonnées sphériques

Comprendre comment résoudre l'équation de Schrödinger en coordonnées sphériques peut élargir ton ensemble de compétences en tant que physicien. En général, dans le contexte des coordonnées sphériques, l'équation de Schrödinger est utilisée pour des problèmes impliquant des atomes et d'autres potentiels à symétrie sphérique. La résolution de l'équation de Schrödinger en coordonnées sphériques implique plusieurs étapes. Un point de départ important est la forme sphérique de l'opérateur laplacien, qui est intégré dans l'hamiltonien de l'équation de Schrödinger. En coordonnées sphériques, l'opérateur laplacien (\( \nabla^2 \N)) devient plus complexe : \[ \nabla^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\Npartial}{\Npartial r} \left(r^2 \frac{\partial}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\droite) + \frac{1}{r^2sin^2\theta} \frac{\partial ^2}{\partial \varphi^2} \] où :

• \N( r \N) est la distance radiale.
• \( \theta \) représente l'angle polaire.
• \( \varphi \) représente l'angle azimutal.

En pratique, la forme indépendante du temps de l'équation de Schrödinger devient : \[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi + V \psi = E \psi \] En utilisant la séparation des variables, les parties radiale et angulaire de l'équation peuvent être séparées et résolues indépendamment. Ces solutions conduisent à des niveaux d'énergie quantifiés et à des harmoniques sphériques, qui sont très pertinents dans la description des structures atomiques et des liaisons chimiques.

Exemple pratique de l'équation de Schrödinger en coordonnées sphériques

Pour bien comprendre le fonctionnement de l'équation de Schrödinger en coordonnées sphériques, considérons une situation pratique : un oscillateur harmonique tridimensionnel, qui est un modèle courant pour les systèmes physiques vibrant autour d'un point d'équilibre stable. Supposons que le potentiel soit à symétrie sphérique comme \( V(r) = \frac{1}{2} m \omega^2 r^2 \).

Cela décrit une particule de masse \( m \) oscillant dans un potentiel \( V \) dépendant uniquement de la distance radiale \( r \), où \( \omega \) est la fréquence angulaire

. La substitution du potentiel dans l'équation de Schrödinger donne : \[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi + \frac{1}{2} m \omega^2 r^2 \psi = E \psi \psi] Cette équation ne peut pas être résolue directement, mais nous pouvons nous tourner vers un ensemble de solutions, connues sous le nom d'harmoniques sphériques et les polynômes de Laguerre qui y sont associés. La résolution de cette équation te montrera non seulement comment trouver les fonctions propres et les valeurs propres, mais surtout comment la physique quantique s'applique à des systèmes plus complexes.

Exploration de la séparation des variables pour les potentiels centraux

En mécanique quantique, la compréhension du comportement d'une particule dans un potentiel central est un sujet fondamental. Elle permet de comprendre de nombreuses situations physiques, telles que le mouvement des électrons dans les atomes. La technique mathématique appliquée à la résolution de l'équation de Schrödinger pour une particule dans un tel champ est connue sous le nom de séparation des variables.

Que signifie la séparation des variables dans les potentiels centraux ?

Lorsque tu parles d'un "potentiel central", tu fais référence à un potentiel qui dépend uniquement de la distance radiale à partir d'un point donné, généralement l'origine. Essentiellement, il présente une symétrie sphérique. En ce qui concerne la séparation des variables, il s'agit d'une technique mathématique courante utilisée pour simplifier certains types d'équations différentielles, y compris l'équation de Schrödinger. Dans certaines circonstances, l'équation de Schrödinger peut être assez complexe et difficile à résoudre directement. Cependant, si le potentiel \( V(r) \) ne dépend que de la distance \( r \) et non des variables angulaires, l'équation se simplifie considérablement. Dans ce cas, la solution pour la fonction d'onde \( \psi(r, \theta, \varphi) \) peut être exprimée comme un produit de fonctions, chacune d'entre elles ne dépendant que de l'une des coordonnées. Ainsi, la fonction d'onde pour un potentiel central peut être écrite comme suit : \[ \psi(r, \theta, \varphi) = R(r)\Theta(\theta)\Phi(\varphi) \] La fonction \( \psi \) a été séparée en variables pour le rayon, l'angle polaire et l'angle azimutal, ce qui nous amène à l'expression "séparation des variables". Chaque fonction représente une partie de la solution et est déterminée en résolvant l'équation de Schrödinger. La partie radiale, \( R(r) \), peut illustrer le comportement de la particule dans la direction radiale. Parallèlement, \( \Theta(\theta) \) et \( \Phi(\varphi) \) décrivent ensemble la distribution angulaire de la particule.

Démonstration de la séparation des variables par l'exemple de l'équation de Schrödinger

Pour donner un exemple de la façon dont la séparation des variables est utilisée en mécanique quantique, considère le modèle simplifié d'un atome d'hydrogène. Dans ce scénario, la fonction d'énergie potentielle est donnée par la loi de Coulomb : \[ V(r) = -\frac{k e^2}{r}, \] où :

• \N( k \N) est la constante de Coulomb.
• \N( e \N) est la charge d'un électron.

Cette fonction potentielle ne dépend que de la distance radiale \( r \N), ce qui révèle qu'il s'agit d'un potentiel central. L'équation de Schrödinger pour cet atome d'hydrogène, qui incorpore la fonction d'énergie potentielle ci-dessus \( V(r) \N), peut être résolue en utilisant la technique de séparation des variables. En insérant la fonction d'onde \( \Npsi = R(r)\NTheta(\Ntheta)\NPhi(\Nvarphi) \N) dans l'équation de Schrödinger et en utilisant la forme sphérique de l'opérateur laplacien, les parties radiales et angulaires se séparent naturellement en deux équations. Ce résultat montre à quel point le principe de séparation des variables est crucial pour le calcul des problèmes de mécanique quantique impliquant des potentiels centraux.

Examen de l'équation de Schrödinger angulaire : Un exemple

Lorsque tu te plonges dans la mécanique quantique, tu rencontres inévitablement l'équation de Schrödinger. Il s'agit d'une équation clé qui décrit l'évolution des systèmes quantiques. Dans un système à symétrie sphérique, comme un électron dans un atome, l'équation de Schrödinger en coordonnées sphériques devient avantageuse. La complexité de l'équation de Schrödinger générale en trois dimensions se réduit considérablement dans cette symétrie. Illustrons cela en disséquant un exemple d'équation de Schrödinger angulaire.

Résolution d'un exemple d'équation de Schrödinger angulaire

Après avoir séparé l'équation de Schrödinger en deux parties, radiale et angulaire, tu obtiens une équation différentielle pour chaque partie. La partie angulaire, appelée "équation angulaire de Schrödinger", implique les angles polaires et azimutaux. Dans le cas d'un potentiel central, l'équation angulaire de Schrödinger peut être séparée en deux équations différentielles unidimensionnelles, une pour chaque angle. En mécanique quantique, les solutions de ces équations conduisent à un moment angulaire quantifié et sont directement liées à la forme des orbitales atomiques. En observant un électron dans un atome de type hydrogène, tu peux montrer comment fonctionne l'équation de Schrödinger angulaire. Pour commencer, la fonction d'onde de l'électron peut être écrite comme un produit de trois parties : \[ \psi_{nlm}(r,\theta,\varphi) = R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta,\varphi) \] Ici,

• \( Y_{lm}(\theta,\varphi) \) représente les harmoniques sphériques.
• \N( R_{nl}(r) \N) est la fonction d'onde radiale.
• \N( \N{n,l,m\N} \N) représente les nombres quantiques.

Plus précisément, les harmoniques sphériques satisfont à l'"équation de Schrödinger angulaire" : \[ \Big[ \frac{1}{sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{sin^2\theta} \frac{\partial ^2}{\partial \varphi^2} + l(l+1) \Big] Y_{lm}(\theta,\varphi) = 0 \] En bref, l'équation ci-dessus est l'équation angulaire de Schrödinger ; sa résolution donne les harmoniques sphériques comme solutions et permet de déduire les nombres quantiques, \( l \N) et \N( m \N), qui sont liés au moment angulaire de l'électron.

Décomposer le processus de l'équation angulaire de Schrödinger

Le processus de traitement de l'équation angulaire de Schrödinger implique une bonne maîtrise des équations différentielles ainsi qu'une approche méticuleuse. Nous allons décomposer ce processus à travers cet exemple d'équation de Schrödinger. Tout d'abord, tu commences à résoudre la partie azimutale, celle qui concerne l'angle \( \varphi \). Le résultat donne la nature de \( m \r), le nombre quantique magnétique. Ensuite, tu t'attaques à la partie polaire concernant \( \theta \). Résous l'équation différentielle de Legendre associée, ce qui te conduira à une famille de fonctions, les polynômes de Legendre associés. Ce processus méticuleux démontre la richesse de l'équation de Schrödinger. En épluchant progressivement chaque couche de priorité, tu révèles un processus et une solution beaucoup plus simples que tu ne l'avais d'abord prévu. Il est intéressant de noter que les harmoniques sphériques apparaissent dans divers domaines de la physique, comme la physique atomique et la théorie des champs quantiques. Ce voyage à travers un exemple d'équation de Schrödinger angulaire te donne l'occasion d'explorer un aspect passionnant de la physique quantique. L'examen d'un problème critique, comme la description des électrons dans les atomes, te permet d'appliquer le cadre théorique à des systèmes physiques tangibles et de scruter les caractéristiques étonnantes du monde quantique.

Comprendre l'équation de Schrödinger radiale à l'aide d'un exemple

L'équation radiale de Schrödinger, un élément important de la mécanique quantique, consiste à examiner les composantes de la fonction d'onde d'une particule qui dépendent de la distance radiale. Fréquemment utilisée en coordonnées sphériques, cette équation donne la fonction d'onde radiale. Nous allons maintenant t'expliquer étape par étape comment résoudre un problème avec l'équation de Schrödinger radiale.

Comment résoudre l'équation radiale de Schrödinger : Un exemple étape par étape

Pour comprendre le processus de résolution de l'équation radiale de Schrödinger, prenons un exemple souvent rencontré : une particule dans une boîte à une dimension. Note que les solutions de l'équation radiale offrent la partie radiale des orbitales atomiques et moléculaires, ce qui apporte une valeur immense à la physique atomique et à la chimie. Commence par l'équation de Schrödinger à une dimension : \[ \frac{-\hbar^2}{2m} \frac{d^2 \psi}{dx^2} + V(x) \psi = E \psi \] Ici, le premier terme représente l'opérateur d'énergie cinétique, le \( V(x) \psi \) est l'énergie potentielle, \( \hbar \r) est la constante de Planck réduite \( h/2\pi \r), \( m \r) est la masse de la particule, \( E \r) est la mesure de l'énergie totale et \( \psi \r) est la fonction d'onde - la solution que nous recherchons. Pour notre exemple, imagine une particule dans une boîte allant de \N( x=0 \N) à \N( x=a \N). Le potentiel bien connu \N( V(x) \N) est nul à l'intérieur de cette plage, et tu peux le considérer comme "infini" partout ailleurs (la particule est donc limitée à cette "boîte"). Maintenant, tu vas simplifier l'équation de Schrödinger et la résoudre pour \N( \Npsi \N). Après quelques manipulations mathématiques et la résolution de l'équation différentielle, on arrive à la solution générale : \[ \psi(x) = A \sin(kx) + B \cos(kx) \] où \( k = \sqrt{2mE}/\hbar \). Pour des systèmes quantiques confinés comme celui-ci, la fonction d'onde \( \psi(x) \) doit être nulle aux limites \( x=0 \) et \( x=a \), ce qui est unique. Grâce aux conditions aux limites et à la normalisation, la fonction d'onde finale et les énergies quantifiées apparaissent : Ici, \N( n \N) est le nombre quantique désignant le niveau d'énergie.

Exploration d'un exemple d'équation de Schrödinger radiale

En approfondissant l'équation de Schrödinger, le cas spécifique d'une particule tridimensionnelle dans un potentiel central \( V(r) \) est intéressant. L'équation générale de Schrödinger en coordonnées polaires sphériques se lit comme suit : \[ -\frac{\hbar^2}{2m} \cà gauche[ \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial}{\partial r} \right)+ \frac{1}{r^2 sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right)+ \frac{1}{r^2 sin^2\theta} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2} \right] \psi = E \psi \] C'est une équation lourde, mais avec la séparation des variables, elle se simplifie considérablement. Pour un potentiel central, on peut exprimer la fonction d'onde comme un produit de trois fonctions - une pour chaque variable, \N( r \N), \N( \Ntheta \N), et \N( \Nvarphi \N). L'équation de Schrödinger radiale qui en résulte, après quelques simplifications et réarrangements, ressemble à : \[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial R}{\partial r} \right) + \frac{l(l+1)\hbar^2}{2mr^2} R + V(r) R = E R \] où \( l \N) est le nombre quantique azimutal et \N( R(r) \N) est la partie radiale de la fonction d'onde. Pour un atome d'hydrogène, par exemple, la résolution de cette équation donne la partie radiale des orbitales atomiques. Si ces exemples d'équation de Schrödinger peuvent sembler capricieux au début, tu les trouveras de plus en plus intuitifs avec la pratique. Chaque composante, qu'il s'agisse de la partie angulaire ou radiale, ou de l'analyse de divers potentiels, pose des défis uniques et fascinants. Lorsque tu rencontreras divers scénarios de mécanique quantique, la résolution des problèmes qu'ils requièrent renforcera ta compréhension du comportement quantique, ce qui enrichira tes travaux de physique. Ces exemples, qui apportent une touche de praticité dans le domaine enragé et envoûtant de la mécanique quantique, valident les pouvoirs prédictifs de la théorie quantique.

Analyser les différences dans les équations de Schrödinger

En examinant les équations de Schrödinger, tu verras qu'elles existent sous deux formes : dépendantes et indépendantes du temps. Ces deux formes traitent de problèmes physiques différents et sont mieux comprises si l'on considère un système entier à la fois d'un point de vue dynamique et d'un point de vue stationnaire. De plus, l'équation de Schrödinger en trois dimensions se divise en une partie angulaire et une partie radiale, chacune ayant des solutions et une signification uniques.

Différences entre les types d'équations de Schrödinger

Examinons d'abord de plus près l'équation de Schrödinger dépendante du temps (TDSE). Cette équation décrit comment un système physique change avec le temps. Elle s'exprime comme suit : \[i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(\mathbf{r},t) = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(\mathbf{r}) \right] \psi(\mathbf{r},t)\] Dans la formule ci-dessus, \(t\N) représente le temps, \(\hbar\N) est la constante de Planck réduite, \(m\N) est la masse de la particule, \N(\Nnabla^2\N) est l'opérateur laplacien, représentant l'énergie cinétique, \N(V(\Nmathbf{r})\N symbolise l'énergie potentielle, tandis que \N(\Npsi(\Nmathbf{r},t)\Nest la fonction d'onde décrivant le système quantique. La nature complexe de l'équation permet des solutions qui peuvent représenter des systèmes évoluant avec le temps. D'autre part, l'équation de Schrödinger indépendante du temps (TISE) se déroule lorsque l'énergie potentielle ne dépend pas du temps. Sa forme générale est : \[ -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi(\mathbf{r}) + V(\mathbf{r}) \psi(\mathbf{r}) = E \psi(\mathbf{r}) \] Ici, \(E\N) est l'énergie totale du système. Les solutions de cette équation - fonctions propres et valeurs propres - fournissent des informations importantes sur les états stationnaires d'un système quantique. En tant que sous-ensemble de l'équation de Schrödinger générale, tu trouveras des parties angulaires et radiales présentes lorsque tu traiteras des problèmes qui possèdent une symétrie sphérique, comme la physique atomique. La composante angulaire donne les harmoniques sphériques comme solutions, tandis que la partie radiale fournit les fonctions d'onde radiales - toutes deux sont cruciales pour comprendre les orbitales atomiques et moléculaires.

Différences dans l'application des exemples de l'équation de Schrödinger

La TDSE est utilisée dans des situations où les propriétés des systèmes évoluent dans le temps. Par exemple, en physique, la TDSE peut décrire comment les atomes excités retournent à leur état fondamental, en examinant les processus résolus dans le temps. Elle met en évidence la façon dont les phénomènes quantiques fluctuent dans le temps et peut contribuer à la compréhension des transitions quantiques et de la dynamique dans les technologies de haute précision comme les horloges atomiques. À l'inverse, le point fort de TISE est dans les scénarios où le système est à l'équilibre - comme lorsque les atomes sont dans leur état d'énergie le plus bas, ou "état fondamental". C'est pourquoi il est crucial pour les problèmes impliquant des calculs de niveaux d'énergie, comme ceux que l'on trouve en spectroscopie, et l'étude des états liés, comme les électrons dans les atomes, en fournissant des valeurs propres correspondant aux niveaux d'énergie, ce qui permet de mieux comprendre la structure quantique de la matière. Enfin, les équations de Schrödinger radiales et angulaires se prêtent aux systèmes sphériques. Les équations angulaires te poussent à plonger dans le domaine du moment angulaire, en discutant des nombres quantiques azimutaux et magnétiques. Les équations radiales, quant à elles, entrent en résonance avec la compréhension de phénomènes tels que la distribution radiale des électrons dans les atomes et impliquent souvent de comprendre les fonctions d'énergie potentielle et leur rôle dans la physique observée. Le décodage des différences entre les équations de Schrödinger et leurs applications t'entraîne dans une exploration scintillante des nuances de la mécanique quantique. Ils illustrent comment la même équation fondamentale se manifeste sous des formes variées, aidant à une multitude d'investigations quantiques - chaque inéquation cristallisant une facette unique du monde microscopique.