Loi d'Ampère

Formule de la loi d'Ampère

Dans cette section, nous expliquerons la forme originale de la loi d'Ampère, ainsi que l'ajout de Maxwell, en comprenant les motivations derrière les deux versions.

La loi d'Ampère

L'équation de la loi d'Ampère est donnée par la formule suivante

\[ \oint \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} = \mu_0 I_{text{enclosed}} ,\]

où \(\vec{B}\) est le champ vectoriel magnétique autour du courant électrique mesuré en \(\mathrm{\frac{A}{m}}\), \(\mathrm{d} \vec{l}\) est le vecteur élément de ligne infinitésimal mesuré en \(\mathrm{m}\), \(\mu_0\) est la perméabilité du vide donnée par une valeur de \(4\pi \times 10^{-7} \, \mathrm{\frac{H}{m}} \), et \( I_{text{enclosed}}\) est le courant enfermé par la boucle ampérienne mesuré en ampères \(\mathrm{A}\). Tu devrais être familiarisé avec ce principe grâce aux cours de calcul précédents, mais pour rappel, \(\oint\) représente l'intégrale de ligne unidimensionnelle en boucle fermée.

Loi d'Ampère-Maxwell

Passons maintenant à la correction que Maxwell a apportée à la loi d'Ampère. L'une des règles fondamentales de la physique à laquelle toutes les équations doivent obéir est la conservation . Dans les systèmes impliquant des pièces en mouvement, tous les objets doivent obéir à la conservation de l'énergie et de la quantité de mouvement. De même, dans les systèmes électriques et magnétiques, le système doit obéir à la conservation de la charge. Maxwell a découvert que la loi d'Ampère n'obéit pas à la conservation de la charge, et qu'il doit donc y avoir un terme manquant dans cette équation.

La nouvelle loi que Maxwell a modifiée est donc la suivante

\[ \oint \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} = \mu_0 I_{\text{enclosed}} + \mu_0 \epsilon_0 \frac{\mathrm{d} \Phi_{\text{E}}{\mathrm{d} t} ,\]

où le nouveau terme supplémentaire inclut la permittivité du vide \( \epsilon_0\) donnée par une valeur de \( 8.85 \ctimes 10^{-12} \cathrm{\frac{F}{m}} \c), \c(\cPhi_{\text{E}}\c) est le flux du champ électrique mesuré en \c(\cathrm{V \c, m} \c), et \c(t\c) est la variable temporelle mesurée en \c(\cathrm{s}\c).

Loi de Biot-Savart et loi d'Ampère

La loi de Biot Savart est une autre équation qui nous permet de calculer le champ magnétique généré par un courant électrique. Elle permet de calculer le champ magnétique dans une situation plus complexe et moins symétrique. L'équation est donnée par

\[ \vec{B}(r) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int_C \frac{I \, \mathrm{d} \vec{l} \times \vec{r} }{| \vec{r} |^3} ,\]

où notre intégrale contient maintenant l'élément de ligne infinitésimal \(\mathrm{d} \vec{l}\) le long du chemin intégral \(C\) et \(\vec{r}\) est la distance vectorielle entre le point sur le fil et le point où le champ magnétique est calculé.

Un point important à noter à propos de cette équation est le produit en croix entre \(\mathrm{d} \vec{l}\) et \(\vec{r}\), cela souligne pour nous que la direction du champ magnétique résultant est orthogonale à celle de l'élément de courant.

La loi de Biot-Savart nous offre plus de souplesse dans le calcul du champ magnétique dû à un fil conducteur. Lorsque nous utilisons la loi d'Ampère, nous sommes limités aux situations où nous pouvons exploiter la symétrie du champ magnétique, par exemple, les fils droits porteurs de courant, les solénoïdes ou les dalles conductrices. En théorie, la loi de Biot Savart pourrait s'appliquer à un courant de n'importe quelle forme, à condition que l'intégrale puisse être résolue.

Exemples de la loi d'Ampère

Examinons maintenant quelques questions auxquelles nous pouvons appliquer la loi d'Ampère.

Nous pouvons également considérer un deuxième exemple dans lequel nous trouvons le champ magnétique à l'intérieur d'un fil conducteur de courant.

Application de la loi d'Ampère

Jusqu'à présent dans l'article, nous n'avons abordé que les applications de la loi d'Ampère dans les fils droits, porteurs de courant, mais la loi d'Ampère peut également s'appliquer à d'autres formes porteuses de courant, comme un solénoïde. Dans les discussions précédentes sur l'électromagnétisme, nous avons déjà rencontré l'équation du champ magnétique à l'intérieur d'un solénoïde, qui est la suivante

\[ B = \mu_0 \frac{N I}{L} ,\]

où \(N\) est le nombre de tours dans la bobine du solénoïde, \(L\) est la longueur de la bobine mesurée en \(\mathrm{m}\), et tous les autres symboles sont les mêmes que dans les équations précédentes. Pour dériver cette équation à l'aide de la loi d'Ampère, considérons une boucle ampérienne carrée contenant un côté de la bobine du solénoïde.

Pour résoudre le champ magnétique à l'intérieur du solénoïde, nous devons calculer l'intégrale de ligne. En nous référant à la figure, nous pouvons décomposer l'intégrale de ligne en quatre composantes représentant les quatre bords de la boucle rectangulaire. Il en résulte

\[ \N- \Noint \N- \Nvec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} = \int_A^B \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} + \int_B^C \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} + \int_C^D \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} + \int_D^A \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} ,\]

où \(A, B, C\) et \(D\) représentent les bords étiquetés de la boucle rectangulaire. Nous pouvons maintenant simplifier et annuler certaines composantes en analysant le produit de points. En considérant d'abord l'intégrale entre les bords \N(B\N) et \N(C\N) et \N(D\N) et \N(A\N), nous pouvons voir que le champ magnétique est perpendiculaire à la boucle, ce qui rend le produit de point nul. D'autre part, l'intégrale entre le point \(C\) et \(D\) est également nulle en raison du fait que le champ magnétique juste à l'extérieur du solénoïde est nul.

Cela nous laisse avec l'intégrale finale entre le point \N(A\N) et \N(B\N) ; en supposant que la section de la courbe est de longueur \N(L\N), nous pouvons la simplifier comme suit

\[ \oint \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} = BL .\]

Enfin, pour combiner ce résultat avec la loi d'Ampère, nous devons encore calculer la quantité de courant contenue dans la boucle. Le courant contenu dans \(N\) tours du solénoïde est donné par

\[ I_{\text{enclosed}} = NI,\]

où \(I\) est le courant dans la bobine et \(N\) est le nombre de tours enfermés par la boucle ampérienne.

Nous pouvons donc introduire tous ces résultats dans la loi d'Ampère pour trouver que

\[ \begin{align} \oint \vec{B} \cdot \mathrm{d} \vec{l} &= \mu_0 I_{text{enclosed}} \N- BL &= \Nmu_0 NI \N- B &= \Nfrac{\Nmu_0 NI}{L} . \n-{align} \]