Lorsque l'on mesure une grandeur telle qu'une longueur, un poids ou le temps, on introduit en général une marge d'erreur, ou incertitude, dans le résultat. L'erreur correspond à la différence entre la valeur réelle et la valeur mesurée. Elle est liée à la mesure, par exemple à cause d'une imperfection de l'instrument de mesure, de la lecture des valeurs par l'expérimentateur, ou encore du système utilisé pour effectuer la mesure.
Si, par exemple, un thermomètre avec une échelle incorrecte mesure un degré supplémentaire à chaque fois qu'on l'utilise pour mesurer la température, on obtient systématiquement une mesure décalée de un degré.
Étant donnée cette différence entre la valeur réelle et la valeur mesurée, les mesures sont accompagnées d'une incertitude. Ainsi, lorsque l'on effectue une mesure avec un instrument de mesure imparfait, la valeur véritable se trouve dans un « intervalle de confiance ».
Unité de base de mesure en physique
Chaque mesure physique est accompagnée d'une unité. Car en effet, cela n'a pas de sens de parler d'une longueur de 3, il faut préciser s'il s'agit de mètres ou de centimètres par exemple. Il faut savoir faire la distinction entre grandeur et unité. Comme on vient de le voir, la longueur est une grandeur qui peut être exprimée avec différentes unités. Il en est de même pour la masse et le temps. Les physiciens ont développé un système international des unités noté en abrégé SI. Il s'agit des unités standard pour chaque grandeur. Par exemple, pour la masse, l'unité SI est le kilogramme et non pas le gramme comme on aurait pu penser. De même, l'unité SI du volume est le mètre cube et non pas le litre. Il est important de connaître les unités du SI car si l'on utilise la mauvaise unité en appliquant une formule de physique, on risque d'obtenir un résultat erroné. Voici donc un tableau résumant les unités de base de mesure en physique dans le système international :
Tableau 1. Grandeurs et unités de base de mesure en physique.
Grandeur | Unité SI |
Longueur | Mètre (m) |
Masse | Kilogramme (kg) |
Temps | Seconde (s) |
Volume | Mètre cube (m³) |
Énergie | Joule (J) |
Puissance | Watt (W) |
| Newton (N) |
Température | Kelvin (K) |
Pression | Pascal (Pa) |
| |
La différence entre l'incertitude et l'erreur
Entre l'erreur et l'incertitude, l'erreur correspond à l'écart entre la valeur réelle et la valeur mesurée alors que l'incertitude est une estimation de l'intervalle dans lequel se trouve cet écart. L'incertitude indique ainsi la fiabilité de la mesure, c'est-à-dire si la mesure donne ou non une approximation raisonnable de la valeur. L'incertitude absolue peut être estimée par la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale mesurée, c'est-à-dire par l'étendue des valeurs mesurées. On peut également prendre la moitié de l'étendue.
Un exemple simple est celui de la mesure d'une constante. Disons que l'on cherche à mesurer la résistance électrique d'un matériau. Les valeurs mesurées peuvent toutes être différentes les unes des autres car chaque nouvelle mesure est inédite. Supposons que la valeur admise de la résistance est de 3,4 \( \Omega \) et qu'en effectuant deux mesures, on obtient 3,35 \( \Omega \) et 3,41 \( \Omega \).
Les erreurs sont les écarts |3,35 - 3,4| = 0,05 \( \Omega \) et |3,41 - 3,4| = 0,01 \( \Omega \) tandis que l'incertitude peut être estimée par la différence 3,41 - 3,35 = 0,06 \( \Omega \).
Prenons un autre exemple où l'on cherche à mesurer l'intensité de la pesanteur.
L'intensité de la pesanteur vaut communément \(g \) = 9,81 m.s\( ^{-2}\! \). Dans un laboratoire, on fait des expériences avec un pendule et on obtient les mesures suivantes pour \(g \) : 9,76 m.s\( ^{-2}\! \), 9,6 m.s\( ^{-2}\! \), 9,89 m.s\( ^{-2}\! \) et 9,9 m.s\( ^{-2}\! \). Les variations entre les différentes valeurs proviennent de l'erreur. La valeur moyenne des mesures vaut alors \( \frac{9,76+9,6+9,89+9,9}{4} = \) 9,78 m.s\( ^{-2}\! \)
Les valeurs mesurées varient entre 9,6 m.s\( ^{-2}\! \) et 9,9 m.s\( ^{-2}\! \) et l'incertitude absolue vaut environ la moitié de cette étendue, c'est-à-dire la différence entre les valeurs maximale et minimale divisé par deux.
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L'incertitude absolue est notée de la façon suivante :
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Dans cet exemple, on a :
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Qu'est-ce que l'écart-type ?
L'écart-type est une valeur qui donne une estimation de l'écart entre les valeurs mesurées et la valeur moyenne. Pour l'obtenir, il faut faire ce qui suit :
- Calculer la moyenne de toutes les valeurs mesurées ;
- Calculer l'écart entre la moyenne et chacune des valeurs puis prendre le carré du résultat ;
- Faire la somme et diviser par le nombre de mesures ;
- Prendre la racine carrée du résultat ;
Prenons un exemple.
On a mesuré quatre fois le poids d'un objet qui est supposé peser 3,0 kg à moins d'un gramme près. Les mesures donnent comme valeurs 3,001 kg, 3,2997 kg, 3,003 kg et 3,002 kg. On cherche à calculer l'écart-type.
Tout d'abord, calculons la moyenne :
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Étant donné que les mesures ont quatre chiffres significatifs, arrondissons la moyenne à 3,001 kg. Il faut maintenant soustraire la moyenne à chaque valeur et élevé la différence au carré :
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L'écart-type de notre série de valeurs vaut donc :
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Qu'est-ce que l'étalonnage ?
L'étalonnage est une opération qui consiste à régler ou ajuster un appareil de mesure physique de façon à obtenir des mesures fiables et donc limiter l'incertitude. Pour étalonner un appareil de mesure physique, on compare les valeurs obtenues par cet instrument avec celles obtenues par un équipement étalon, c'est-à-dire un appareil plus précis, ou alors effectue une mesure sur un objet dont une caractéristique est connue avec une grande précision.
Prenons l'exemple de l’étalonnage d'une balance.
Pour étalonner une balance, on peut mesurer la masse d'un objet dont la masse est déjà connue. Disons que l'objet a une masse de 1 kilogramme connue à gramme près. Si la balance donne une valeur de 1,01 kg, alors elle n'est pas encore étalonnée et doit être ajustée de façon à donner une valeur entre 9,999 kg et 1,001 kg.
Comment l'incertitude est-elle notée ?
Lorsque l'on effectue des mesures, l'incertitude doit être indiquée. Cela sert à communiquer la fiabilité des résultats. Pour cela, on ajoute l'incertitude après le symbole \( \pm \).
Disons que l'on mesure une résistance électrique de 4,5 \( \Omega \) avec une incertitude de 0,1 \( \Omega \). La valeur de la mesure avec son incertitude est notée 4,5 \( \pm \) 0,1 \( \Omega \).
Les incertitudes se retrouvent dans de nombreux contextes, comme pour la fabrication et la conception d'objet, l'architecture, la mécanique et la médecine. À chaque fois que l'on utilise des valeurs avec des erreurs et des incertitudes, il faut l'indiquer dans les résultats.
Que sont les erreurs absolues et relatives ?
Les erreurs de mesure sont soit absolues, soit relatives. L'erreur absolue indique simplement la différence entre la valeur mesurée expérimentalement et la valeur de référence tandis que l'erreur relative est l'erreur absolue divisée par la valeur de référence. Prenons l'exemple de la mesure de la vitesse d'un objet.
Disons qu'une balle se déplace au sol avec une vitesse de 14 m/s. On calcule la vitesse en mesurant avec un chronomètre le temps que la balle prend pour aller d'un point à un autre, et on obtient 1,42 m/s.
L'erreur absolue de la mesure vaut alors :
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On voit que l'erreur relative est assez faible, car la différence est petite devant la vitesse elle-même.
Pour mieux comprendre l'importance de l'erreur relative, prenons le cas d'une image satellite. Si l'erreur de l'image vaut 10 mètres, ce serait énorme à l'échelle des photos humaines que nous prenons au quotidien. Mais si l'image mesure 10 kilomètres par 10 kilomètres, alors une erreur de 10 mètres est assez faible.
Remarquons que l'erreur relative est couramment indiqué comme un pourcentage que l'on obtient après multiplication de la valeur par un facteur 100 et qui se note avec le symbole %.
Représentation de l'incertitude et des erreurs
L'incertitude se note à l'aide de barres dans les graphiques et les diagrammes. Les barres indiquent l'intervalle dans lequel les mesures peuvent se trouver. On appelle cela l'intervalle de confiance. Voir le graphique suivant :
Fig.1- Graphique montrant la moyenne de chaque mesure. Les barres verticales indiquent de combien peuvent varier les données.
Voyons un exemple :
On mesure quatre fois la vitesse d'une balle qui se déplace sur 10 mètres avec une vitesse qui diminue au fur et à mesure qu'elle avance. Pour cela, on mesure le temps que la balle met pour parcourir chaque mètre, et en divisant cette distance par le temps de parcours, on obtient des valeurs de 1,4 m/s, 1,22 m/s, 1,15 m/s et 1,01 m/s.
À cause du temps de réaction pour enclencher le chronomètre, on obtient une incertitude sur la vitesse de 0,2 m/s. Ainsi, les résultats sont 1,4 \( \pm \) 0,2 m/s, 1,22 \( \pm \) 0,2 m/s, 1,15 \( \pm \) 0,2 m/s et 1,01 \( \pm \) 0,2 m/s.
La figure suivante montre les résultats :
Fig.2- Le graphique montre une représentation des données mesurées. Les points correspondent aux valeurs 1,4 m/s, 1,22 m/s, 1,15 m/s et 1,01 m/s. Les barres indiquent l'incertitude de ± 0,2 m/s.
Comment les incertitudes se combinent-elles entre elles ?
Chaque mesure comporte des erreurs et incertitudes. Lorsque l'on effectue des opérations sur des grandeurs mesurées, on doit considérer l'incertitude cumulée des mesures de chaque grandeur. On appelle cela parfois la propagation de l'incertitude. Voyons comment calculer l'incertitude dans différents cas de figure.
L'addition et la soustraction de grandeurs
Si l'on fait la somme ou la différence de grandeurs, l'incertitude totale est la somme des incertitudes. Si l'on a deux grandeurs dont les valeurs mesurées sont (A \( \pm \) a) et (B \( \pm \) b), la somme des deux grandeurs est donnée par (A + B) \( \pm \) (a + b).
Disons que l'on ajoute deux morceaux de métal de longueurs 1,3 m et 1,2 m. Les incertitudes sont \( \pm \) 0,05 m et \( \pm \) 0,01 m. La valeur totale est 2,5 m avec une incertitude de \( \pm \) (0,05 m + 0,01 m) = \( \pm \) 0,06 m.
Multiplication et division d'une grandeur par une constante
Lorsque l'on multiplie ou divise une grandeur par une constante, l'incertitude totale est obtenue en multipliant ou divisant l'incertitude de la grandeur par la constante.
Disons que l'on souhaite calculer le périmètre d'un cercle étant donnée que celle-ci est donnée par la formule \( A = 2 \pi \times r \). On sait que le rayon vaut \( r = 1 \pm 0,\!1\) m. Le périmètre vaut donc \( 2 \times 3,\!1415\times (1 \pm 0,\!1 \)) m ce qui donne une incertitude de 0,6283 m.
Si l'on connaît une longueur de 1,2 m avec une incertitude de \( \pm \) 0,03 m, et que l'on divise cette longueur par 5, l'incertitude devient \( \pm \,0,\!03 \div 5 \) c'est-à-dire \( \pm \) 0,0006.
Multiplication de deux grandeurs
Prenons le cas où l'on calcule le produit de deux grandeurs. Il y a deux approches :
- Si l'on cherche l'erreur relative, on peut dans ce cas simplement additionner le pourcentage d'erreur de chaque grandeur.
- Si l'on cherche l'erreur absolue, on peut calculer la valeur maximale de l'intervalle de confiance, et y soustraire la valeur moyenne.
Voyons un exemple :
Disons que l'on cherche à calculer la force du poids d'un objet en chute libre. Pour cela, on obtient pour la mesure de l'accélération de la pesanteur une valeur de 9,91 m/s² avec une incertitude de \( \pm \) 0,1 m/s². La masse de l'objet, quant à elle, est donnée par 2 kg avec une incertitude de 1 gramme, c'est-à-dire 2 \( \pm \) 0,001 kg.
Afin de calculer la propagation de l'incertitude à l'aide du pourcentage d'erreur, on calcule d'abord l'erreur relative de chaque mesure.
Pour l'accélération de la pesanteur, l'erreur relative vaut
\[ \frac{0,1}{9,81}=0,01 = 1 \%\]
Pour la masse, l'erreur relative vaut \[ \frac{0,001}{2}=0,05 \%\]
On obtient ainsi une erreur de : \[ \textrm{Erreur relative} = 0,05\%+1\%=1,05\%\]
Pour calculer l'erreur absolue, on calcule d'abord la valeur attendue sans l'incertitude à l'aide de la formule \( F = m \cdot g \) :
Force = 2 kg x 9,81 m/s² = 19,62 Newtons
Maintenant, calculons la valeur extrême de l'intervalle de confiance :
\( \textrm{Force maximale} \) = (2 kg + 1 g) \( \cdot \) (9,81 m/s² + 0,1 m/s² ) = 19,8299 N
que l'on peut arrondir à 19,83 Newtons. À présent, prenons la différence des deux valeurs :
\( \textrm{Incertitude} = | \textrm{Force} - \textrm{Force maximale} | = \) 0,21 N
Le résultat s'écrit donc
\( \textrm{Force} = \) 19,62 \( \pm\, \)0,21 N
Comment arrondir les valeurs ?
Lorsque les erreurs et les incertitudes contiennent une partie très faibles, dans ce cas on peut l'enlever du résultat car celle-ci a une influence négligeable. On fait cela en arrondissant à la valeur supérieure ou inférieure.
On mesure l'accélération de la pesanteur avec une valeur de 9,81 m/s² et une incertitude de \( \pm \) 0,10003 m/s². La valeur mesurée varie de 0,1 m/s² mais la composante 0,00003 est si faible que son influence est négligeable. On peut donc la retirer en arrondissant l'incertitude à 0,1.
Pour arrondir un nombre, il faut d'abord décider combien de chiffres après la virgule on souhaite garder. Ensuite, il y a deux possibilités : Si le chiffre suivant le dernier chiffre qu'on souhaite garder est supérieur ou égal à cinq, on arrondit au-dessus, par exemple 3,25 peut être arrondi à 3,3. Si le chiffre suivant est inférieur ou égal à 4, on enlève les chiffres suivants. par exemple 76,24 peut être arrondi à 76,2.
Pour savoir combien de chiffres conserver après la virgule, on veille en règle générale à garder la même précision que dans les données de l'énoncé. Si certaines valeurs sont connues avec moins de précision ou plus d'incertitude que d'autres, on garde la plus faible précision et la plus grande incertitude.
Disons que l'on a deux valeurs (9,3 \( \pm \) 0,4) et (10,2 \( \pm \) 0,14). Si l'on ajoute les deux valeurs, on doit ajouter leur incertitude également. La somme des deux incertitudes donne | 0,4 | + | 0,14 | c'est-à-dire 0,54.
Si l'on arrondit cette incertitude, on trouve 0,5 car 0,54 est plus proche 0,5 que de 0,6. Ainsi, la somme des deux valeurs donne 19,5 \( \pm \) 0,5.
Disons que l'on a deux valeurs à multiplier A = 3,4 \( \pm \) 0,01 et B = 5,6 \( \pm \) 0,1. L'énoncé précise de chercher l'incertitude à une décimale. Tout d'abord, on calcule le pourcentage d'erreur :
Incertitude relative de A = \( \frac{|3,4-3,41|}{3,!4} \times 100 = 0,\!29 \% \)
Incertitude relative de B = \( \frac{|5,6-5,7|}{5,6} \times 100 = 1,\! 78 \% \)
Le pourcentage total vaut 0,29% + 1,78% = 2,07%. On cherche l'incertitude relative à une décimale près donc 2,1%.
Mesures et Incertitudes - Points clés
- Les appareils de mesure introduisent des erreurs et une incertitude concernant le résultat de la mesure.
- L'incertitude est indiquée pour que l'on sache dans quel intervalle les mesures se trouvent.
- Il y a deux types d'erreurs, l'erreur absolue et l'erreur relative. L'erreur absolue est l'ordre de grandeur de la différence entre la valeur mesurée et la valeur attendue. L'erreur relative est le rapport entre l'erreur absolue et la valeur attendue.
- Les erreurs et incertitudes se propagent lorsque l'on effectue des opérations avec des grandeurs entachées d'incertitude. Il est utile de savoir les calculer afin de connaître la fiabilité des résultats.
- Si une grandeur a une forte incertitude ou une faible précision par rapport aux autres, elle dicte la précision ou l'incertitude de l'ensemble des grandeurs.
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