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Figure 1 : Les méduses utilisent l'élan pour se déplacer.
Définition de l'élan linéaire
Le momentum est une quantité vectorielle liée au mouvement des objets. Il peut être linéaire ou angulaire selon le mouvement d'un système. Le mouvement linéaire, mouvement unidimensionnel le long d'une trajectoire rectiligne, correspond à la quantité de mouvement linéaire qui est le sujet de cet article.
Laquantité de mouvement linéaire est le produit de la masse et de la vitesse d'un objet.
La quantité de mouvement linéaire est un vecteur ; elle a une magnitude et une direction.
Équation de la quantité de mouvement linéaire
La formule mathématique correspondant à la définition de la quantité de mouvement linéaire est $$p=mv$$ où \( m \N) est la masse mesurée en \N( \Nmathrm{kg} \N) , et \N( v \N) est la vitesse mesurée en \N( \Nmathrm{\Nfrac{m}{s}} \N). La quantité de mouvement linéaire a pour unité SI \( \mathrm{kg\,\frac{m}{s}} \rmathrm{kg\,\rm{frac{m}{s}}). Vérifions notre compréhension à l'aide d'un exemple rapide.
Un ballon de football de 3,5 kg est frappé à une vitesse de 5,5 mètres. Quel est l'élan linéaire du ballon ?
Figure 2 : Coup de pied dans un ballon de football pour démontrer l'élan linéaire.
En utilisant l'équation de la quantité de mouvement linéaire, nos calculs sont les suivants : $$begin{align}p&=mv\p&= (3,5\Nmathrm{kg})\Nà gauche(5,5\Nmathrm{\Nfrac{m}{s}}\Nà droite)\Np&=19,25\Nmathrm{\Nkg,\Nfrac{m}{s}}\Nend{align}.$$
Momentum linéaire et impulsion
Lorsque l'on parle d'élan, le terme d'impulsion apparaît. L'impulsion linéaire est un terme utilisé pour décrire comment la force affecte un système en fonction du temps.
L'impulsion linéaire est définie comme l'intégrale d'une force exercée sur un objet pendant un intervalle de temps.
La formule mathématique correspondant à cette définition est
$$\Delta \vec{J}= \int_{t_o}^{t}\vec{F}(t)dt,$$
ce qui peut être simplifié en
$$J=F\Delta{t}$$, lorsque \( F \) ne varie pas avec le temps, c'est-à-dire une force constante.
Note : \( F \N) est la force, \N( t \N) est le temps, et l'unité SI correspondante est \N( \Nmathrm{Ns}. \N).
L'impulsion est une quantité vectorielle, et sa direction est la même que celle de la force nette agissant sur un objet.
Momentum, impulsion et deuxième loi du mouvement de Newton
L'impulsion et le momentum sont liés par le théorème impulsion-momentum. Ce théorème stipule que l'impulsion appliquée à un objet est égale à la variation de l'élan de l'objet. Pour un mouvement linéaire, cette relation est décrite par l'équation \( J=\Delta{p}. \N) La deuxième loi de Newton sur le mouvement peut être dérivée de cette relation. Pour compléter cette dérivation, nous devons utiliser les équations correspondant au théorème de l'impulsion-momentum en conjonction avec les formules individuelles de la quantité de mouvement linéaire et de l'impulsion linéaire. Maintenant, dérivons la deuxième loi de Newton pour le mouvement linéaire en commençant par l'équation \( J=\Delta{p} \N) et en la réécrivant sous la forme \( F\Delta{t}=m\Delta{v}. \N)
$$\begin{align}J&=\Delta{p}\\F\Delta{t}&=\Delta{p}\\F\Delta{t}&=m\Delta{v}\\F&=\frac{m\Delta{v}}{\Delta{t}}\\\end{align}$$
N'oublie pas que \( \frac{\Delta_v}{\Delta_t} \) est la définition de l'accélération et que l'équation peut donc être écrite sous la forme $$\begin{align}F&= ma\\{end{align},$$ qui est la deuxième loi de Newton pour les mouvements linéaires. Grâce à cette relation, nous pouvons définir la force en fonction de l'élan. La force est la vitesse à laquelle l'élan d'un objet change par rapport au temps.
Distinction entre le moment linéaire et le moment angulaire
Pour distinguer le moment linéaire du moment angulaire, définissons d'abord le moment angulaire. Le moment angulaire correspond au mouvement de rotation, au mouvement circulaire autour d'un axe.
Lemoment ang ulaire est le produit de la vitesse angulaire et de l'inertie de rotation.
La formule mathématique correspondant à cette définition est $$L=I\omega$$ où \( \omega \) est la vitesse angulaire mesurée en \( \mathrm{\frac{rad}{s}} \) et \( I \) est l'inertie mesurée en \( \mathrm{kg\N,m^2}. \N Le moment cinétique a une unité SI de \( \mathrm{kg\N,\frac{m^2}{s}} \N).
Cette formule ne peut être utilisée que lorsque le moment d'inertie est constant.
Encore une fois, vérifions notre compréhension à l'aide d'un exemple rapide.
Un élève balance verticalement un conker, attaché à une ficelle, au-dessus de sa tête. Si son moment d'inertie,qui est défini en fonction de la distance par rapport au centre de rotation, est de \( 6\,\mathrm{kg,m^2} \), calcule le moment angulaire de l'anneau,
En utilisant l'équation du moment angulaire, nos calculs sont $$begin{align}L&=I\omega\L&=(5,\mathrm{kg\N,m^2})\Nà gauche(6,\mathrm{\Nfrac{rad}{s}}\Nà droite)\L&= 30,\mathrm{kg\N,\Nfrac{m^2}{s}}\Nend{align}$$$$$.
Distinguer le moment linéaire du moment angulaire
Le moment linéaire et le moment angulaire sont liés parce que leurs formules mathématiques sont de la même forme, le moment angulaire étant l'équivalent rotatif du moment linéaire. Cependant, la principale différence entre les deux est le type de mouvement auquel ils sont associés. La quantité de mouvement linéaire est une propriété associée aux objets qui se déplacent en ligne droite. L'élan angulaire est une propriété associée aux objets qui se déplacent de façon circulaire.
Momentum linéaire et collisions
Les collisions sont divisées en deux catégories, inélastique et élastique, dans lesquelles chaque type produit des résultats différents.
Collisions inélastiques et élastiques
Les collisions inélastiques sont caractérisées par deux facteurs :
- La conservation de la quantité de mouvement-La formule correspondante est \( m_1v_{1i} + m_2v_{2i}=(m_1 + m_2)v_{f}. \)
- Perte d'énergie cinétique - La perte d'énergie est due à la conversion d'une partie de l'énergie cinétique en une autre forme et lorsque la quantité maximale d'énergie cinétique est perdue, on parle de collision parfaitement inélastique.
Les collisions élastiques sont caractérisées par deux facteurs :
- Conservation de la quantité de mouvement - La formule correspondante est \N( m_1v_{1i} + m_2v_{2i}= m_1v_{1f}+m_2v_{2f}. \N).
- Conservation de l'énergie cinétique - La formule correspondante est \( \frac{1}{2}m_1{v_{1i}}^2 + \frac{1}{2}m_2{v_{2i}}^2 =\frac{1}{2}m_1{v_{1f}}^2+ \frac{1}{2}m_1{v_{2f}}^2. \)
Note que les équations associées aux collisions élastiques peuvent être utilisées conjointement pour calculer une variable inconnue si nécessaire, comme la vitesse finale ou la vitesse angulaire finale.
Deux principes importants liés à ces collisions sont la conservation de la quantité de mouvement et la conservation de l'énergie.
Conservation de l'élan
La conservation de la quantité de mouvement est une loi physique qui stipule que la quantité de mouvement est conservée car elle n'est nicréée ni détruite, comme le stipule la troisième loi du mouvement de Newton. En termes simples, l'élan avant la collision sera égal à l'élan après la collision. Ce concept s'applique aux collisions élastiques et inélastiques. Cependant, il est important de noter que la conservation de l'élan ne s'applique que lorsqu'aucune force extérieure n'est présente. Lorsqu'aucune force extérieure n'est présente, on parle de système fermé. Les systèmes fermés sont caractérisés par des quantités conservées, ce qui signifie qu'aucune masse ou énergie n'est perdue. Si un système est ouvert, des forces extérieures sont présentes et les quantités ne sont plus conservées. Pour vérifier notre compréhension, prenons un exemple.
Une boule de billard se déplaçant à une vitesse de \( 4,\mathrm{\r}{s}}) entre en collision avec une boule de billard stationnaire de \( 4,\mathrm{kg}), ce qui fait que la boule stationnaire se déplace maintenant à une vitesse de \( -6,\mathrm{\rfrac{m}{s}). \Quelle est la vitesse finale de la boule de billard après la collision ?
Figure 4 : Un jeu de billard illustre le concept des collisions.
En utilisant l'équation de conservation de la quantité de mouvement correspondant à une collision élastique et à un mouvement linéaire, nos calculs sont $$\begin{align}m_1v_{1i} + m_2v_{2i}&= m_1v_{1f}+m_2v_{2f}\(2\Nmathrm{kg})\Nà gauche(4\Nmathrm{\Nfrac{m}{s}}\Nà droite) + 0 &= ( 2\Nmathrm{kg})(v_{1f}) + (4\Nmathrm{kg})\Nà gauche(-6\Nmathrm{\Nfrac{m}{s}}\Nà droite)\N8\Nmathrm{kg,\Nfrac{m}{s}}+ 0&=(2\,\mathrm{kg})(v_{1f}) - 24\,\mathrm{kg\,\frac{m}{s}}\\8 +24 &=(2\,\mathrm{kg})(v_{1f})\\\frac{32}{2}&=(v_{1f})=16\,\mathrm{\frac{m}{s}}\\\end{align}.$$
Changements de quantité de mouvement
Pour mieux comprendre le fonctionnement de la conservation de la quantité de mouvement, réalisons une rapide expérience de pensée impliquant la collision de deux objets. Lorsque deux objets entrent en collision, nous savons que selon la troisième loi de Newton, les forces agissant sur chaque objet seront égales en magnitude mais opposées en direction, \N( F_1 = -F_2 \N), et logiquement, nous savons que le temps nécessaire pour que \N( F_1 \N) et \N( F_2 \N) agissent sur les objets sera le même, \N( t_1 = t_2 \N). Par conséquent, nous pouvons conclure que l'impulsion subie par chaque objet sera également égale en magnitude et opposée en direction, \N( F_1{t_1}= -F_2{t_2} \N). Maintenant, si nous appliquons le théorème impulsion-momentum, nous pouvons logiquement conclure que les changements d'élan sont également égaux et opposés en direction. \N( m_1v_1=-m_2v_2 \N). Cependant, bien que la quantité de mouvement soit conservée dans toutes les interactions, la quantité de mouvement des objets individuels qui composent un système peut changer lorsqu'une impulsion leur est donnée, ou en d'autres termes, la quantité de mouvement d'un objet peut changer lorsqu'une impulsion est donnée .
autrement dit, l'élan d'un objet peut changer lorsqu'il subit une force non nulle. Par conséquent, l'élan peut changer ou être constant.
Momentum constant
- La masse d'un système doit être constante tout au long d'une interaction.
- Les forces nettes exercées sur le système doivent être égales à zéro.
Momentum changeant
- Une force nette exercée sur le système entraîne un transfert de quantité de mouvement entre le système et l'environnement.
Note que l'impulsion exercée par un objet sur un deuxième objet est égale et opposée à l'impulsion exercée par le deuxième objet sur le premier. C'est un résultat direct de la troisième loi de Newton.
Par conséquent, si on nous demande de calculer l'élan total d'un système, nous devons tenir compte de ces facteurs. Par conséquent, il est important de comprendre ce qui suit :
- L'élan est toujours conservé.
- Un changement d'élan dans un objet est égal et opposé en direction au changement d'élan d'un autre objet.
- Lorsqu'un objet perd de l'élan, l'autre objet en gagne.
- La quantité de mouvement peut changer ou être constante.
Application de la loi de conservation de la quantité de mouvement
La propulsion des fusées est un exemple d'application qui utilise la loi de la conservation de la quantité de mouvement. Avant d'être lancée, une fusée est au repos, ce qui signifie que son élan total par rapport au sol est égal à zéro. Cependant, une fois la fusée mise à feu, les produits chimiques qu'elle contient sont brûlés dans la chambre de combustion, ce qui produit des gaz chauds. Ces gaz sont ensuite expulsés par le système d'échappement de la fusée à des vitesses extrêmement élevées. Cela produit un élan vers l'arrière qui, à son tour, produit un élan égal et opposé vers l'avant qui pousse la fusée vers le haut. Dans ce cas, le changement d'élan de la fusée est en partie dû à un changement de masse en plus d'un changement de vitesse. Rappelle-toi que c'est la variation de l'élan qui est associée à une force, et que l'élan est le produit de la masse et de la vitesse ; une variation de l'une ou l'autre de ces quantités apportera des termes à la deuxième loi de Newton : $$\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(mv)}{\mathrm{d}t}=m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}t}v.$$
Importance de la quantité de mouvement et conservation de la quantité de mouvement
Le momentum est important parce qu'il peut être utilisé pour analyser les collisions et les explosions ainsi que pour décrire la relation entre la vitesse, la masse et la direction. Comme la plupart des objets que nous traitons ont une masse et qu'ils se déplacent souvent à une certaine vitesse par rapport à nous, la quantité de mouvement est une grandeur physique omniprésente. Le fait que la quantité de mouvement soit conservée est un fait pratique qui nous permet de déduire les vitesses et les masses des particules dans les collisions et les interactions, compte tenu de la quantité de mouvement totale. Nous pouvons toujours comparer des systèmes avant et après une collision ou une interaction impliquant des forces, car l'élan total du système avant sera toujours égal à l'élan du système après.
La conservation de l'énergie
La conservation de l'énergie est un principe de physique qui stipule que l'énergie ne peut être ni créée ni détruite.
Conservation de l'énergie : L'énergie mécanique totale, qui est la somme de toutes les énergies potentielles et cinétiques, d'un système reste constante si l'on exclut les forces dissipatives.
Les forces dissipatives sont des forces non conservatives, telles que les forces de frottement ou de traînée, dans lesquelles le travail dépend de la trajectoire d'un objet.
La formule mathématique correspondant à cette définition est la suivante
$$K_i + U_i = K_f + U_f$$$
où \( K \) est l'énergie cinétique et \( U \) l'énergie potentielle.
Cependant, lorsque nous discutons des collisions, nous nous concentrons uniquement sur la conservation de l'énergie cinétique. La formule correspondante est donc
$$\begin{align}\frac{1}{2}m_1{v_{1i}}^2 + \frac{1}{2}m_2{v_{2i}}^2 =\frac{1}{2}m_1{v_{1f}}^2+ \frac{1}{2}m_1{v_{2f}}^2\\\end{align}$$
Cette formule ne s'applique pas aux collisions inélastiques.
Changements d'énergie
L'énergie totale d'un système est toujours conservée, cependant, l'énergie peut être transformée lors des collisions. Par conséquent, ces transformations affectent le comportement et le mouvement des objets. Par exemple, examinons les collisions où l'un des objets est au repos. L'objet au repos possède initialement une énergie potentielle parce qu'il est immobile, ce qui signifie que sa vitesse est nulle et qu'il n'a pas d'énergie cinétique. Cependant, lorsqu'une collision se produit, l'énergie potentielle se transforme en énergie cinétique car l'objet est maintenant en mouvement. Dans les collisions élastiques, l'énergie est conservée, mais dans les collisions inélastiques, l'énergie est perdue dans l'environnement, une partie étant transformée en chaleur ou en énergie sonore.
Momentum linéaire - Points clés à retenir
- Lemomentum est un vecteur et possède donc à la fois une magnitude et une direction.
- La quantité de mouvement est conservée dans toutes les interactions.
- L'impulsion est définie comme l'intégrale d'une force exercée sur un objet pendant un intervalle de temps.
- L'impulsion et la quantité de mouvement sont liées par le théorème de l'impulsion et de la quantité de mouvement.
- L'élan linéaire est une propriété associée aux objets qui se déplacent en ligne droite.
- L'élan angulaire est une propriété associée aux objets qui se déplacent de façon circulaire autour d'un axe.
- Les collisions sont divisées en deux catégories : inélastique et élastique.
- La conservation de la quantité de mouvement est une loi de la physique qui stipule que la quantité de mouvement est conservée car elle n'est ni créée ni détruite, comme l'indique la troisième loi du mouvement de Newton.
- Conservation de l'énergie : L'énergie mécanique totale d'un système reste constante si l'on exclut les forces dissipatives.
Références
- Figure 1 : Méduse (https://www.pexels.com/photo/jellfish-swimming-on-water-1000653/) par Tim Mossholder ( https://www.pexels.com/@timmossholder/) sous licence CC0 1.0 Universal (CC0 1.0).
- Figure 2 : Ballon de football (https://www.pexels.com/photo/field-grass-sport-foot-50713/)m par Pixabay (https://www.pexels.com/@pixabay/) sous licence CC0 1.0 Universal (CC0 1.0).
- Figure 3 : Conker rotatif-StudySmarter Originals
- Figure 4 : Billard (https://www.pexels.com/photo/photograph-of-colorful-balls-on-a-pool-table-6253911/) par Tima Miroshnichenko ( https://www.pexels.com/@tima-miroshnichenko/) est sous licence CC0 1.0 Universal (CC0 1.0).
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