Circuit RL

Inducteur et inductance

Les inducteurs sont généralement des bobines de fil étroitement enroulées qui induisent un flux magnétique changeant lorsqu'un courant changeant les traverse. En fait, tout fil induit un champ magnétique en raison d'un changement de courant, mais le fait d'enrouler un fil en une bobine amplifie considérablement la force de ce champ. L'importance du flux magnétique \(\NPhi_B(t)\Nproduit par un fil pour un certain courant \N(I\N) dépend de sa géométrie et cet effet est quantifié par l'inductance du fil \N(L\N)\N[L=\Nfrac{\NPhi_B}{I}.\N].

Lorsqu'un courant commence à circuler dans un inducteur, l'augmentation du courant entraîne un flux magnétique. Cette variation du flux magnétique induit une force électromotrice (FEM) à travers l'inducteur, grâce à la loi de Faraday sur l'induction. Cette force électromotrice, \(\mathcal{E}\), est égale à l'ampleur du taux de variation du flux \(\Phi_B(t)\) :\[\mathcal{E}=-\frac{\mathrm{d}\Phi_B(t)}{\mathrm{d}t}\].

La combinaison de la loi de Faraday et de la définition de l'inductance nous montre que la taille de la FEM induite à travers l'inducteur dépend de son inductance :\[\mathcal{E}=-L\frac{\mathrm{d}I(t)}{\mathrm{d}t}\].

Selon la loi de Lenz, la FEM induite est dirigée de telle sorte qu'elle s'oppose à la variation du flux magnétique qui l'a créée. Cela signifie que la force électromagnétique induite dans l'inducteur s'oppose à la force électromagnétique de la pile, et résiste donc à la variation du courant.

Équation différentielle pour le circuit LR

En utilisant ce que nous savons sur les inducteurs, appliquons la règle de la boucle de Kirchoff pour la différence de potentiel à la figure 1. En partant de la batterie et en additionnant les potentiels dans le sens des aiguilles d'une montre, nous trouvons\[V+I(t)R-L\frac{\mathrm{d}I(t)}{\mathrm{d}t}=0.\N].

Ainsi, l'inducteur aura clairement un effet sur la façon dont le courant atteint sa valeur maximale lorsque l'interrupteur est allumé pour la première fois. La résolution de cette équation nous indiquera comment le courant augmente juste après la mise en marche de l'interrupteur.

Courant dans les circuits RL

Comme nous l'avons constaté, le courant est défini par l'équation différentielle suivante.\[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N-[\N]]]]]

Il est clair que cette équation différentielle peut être résolue par une fonction de la forme :\[I(t)=\frac{V}{R}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{Rt}{L}}\right).\N- \N].

Qu'est-ce que cette équation nous apprend sur le courant dans un circuit LR ?

Fig. 2 - Le courant dans un circuit LR augmente comme une exponentielle inverse jusqu'à ce qu'il atteigne sa valeur maximale définie par la tension et la résistance du circuit. La vitesse à laquelle il le fait est définie par l'inductance de l'inducteur.

La figure 2 montre un tracé du courant dans un circuit LR juste après que le circuit a été mis sous tension. Elle montre que le courant augmente rapidement, mais que le rythme de cette augmentation ralentit avec le temps, car le courant tend vers sa valeur maximale de \(I=\frac{V}{R}\) de façon asymptotique.

Essayons de comprendre cela physiquement. Lorsque l'interrupteur est allumé pour la première fois, le courant commence à circuler dans le circuit, augmentant à un rythme auquel on s'attendrait s'il n'y avait pas d'inducteur dans le circuit. Cependant, ce changement de courant induit un changement de flux magnétique dans l'inducteur, qui induit à son tour une FEM qui s'oppose au courant. Cette FEM ralentit l'augmentation du courant au fil du temps, mais l'augmentation plus faible du courant réduit la taille de la FEM induite et le courant tend donc vers une valeur maximale stable alors que la FEM induite tend vers zéro.

Constante de temps d'un circuit RL

Comme le montre la figure 2, la vitesse à laquelle un circuit RL atteint son courant maximum est définie par l'inductance de l'inducteur. Plus l'inductance est grande, plus la FEM opposée sera importante, et plus il faudra de temps pour que le courant atteigne sa valeur maximale.

La résistance du circuit apparaît également dans le terme exponentiel du courant, mais au numérateur de la fraction. On voit donc que plus la résistance du circuit est grande, plus le courant atteindra rapidement sa valeur maximale. Cependant, ce courant maximal, défini comme \(I=\frac{V}{R}\), sera plus faible. Cette vitesse d'augmentation du courant est quantifiée à l'aide de la constante de temps du circuit :\[\big{align}\tau&=\frac{L}{R}\\\N-\implies\N,I(t)&=\frac{V}{R}\Nà gauche(1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{\tau}}\Nà droite).\n- end{align}\N]

Nous pouvons voir qu'à \(t=\tau\) le courant sera\[\begin{align}I(\tau)&=\frac{V}{R}\left(1-e^{-1}\right)\\N-&\approx0.63\frac{V}{R}.\Nend{align}\N].

La constante de temps définit donc le temps qu'il faudra à un circuit RL pour atteindre \(0,63\) fois sa valeur maximale. Remarque que cette constante de temps ne dépend que de la résistance et de l'inductance du circuit, quelle que soit la tension de la batterie, la vitesse à laquelle les circuits RL avec des valeurs égales de \(L\) et \(R\) atteignent leur courant maximum est la même.

Décharge du circuit RL

Après avoir examiné le comportement d'un circuit RL juste après que l'interrupteur a été allumé, il est également intéressant de regarder ce qui se passe juste après que l'interrupteur a été éteint. Lorsque nous commutons le circuit, il y a à nouveau un changement de flux magnétique dans l'inducteur, ce qui fait que le circuit se comporte très différemment d'un circuit ohmique habituel. Un circuit RL qui se décharge est essentiellement le même que celui qui se charge, mais en sens inverse. Lorsque l'interrupteur est ouvert pour la première fois, la réduction de la charge induit à nouveau un flux magnétique changeant dans l'inducteur, mais cette fois-ci parce que le flux magnétique changeant agit dans la direction opposée, comme c'est le cas lorsqu'il est causé par un courant décroissant. Ainsi, cette fois-ci, la force électromotrice induite agit pour maintenir le courant, en le faisant circuler plus longtemps que ce que l'on verrait dans un circuit ohmique.

Fig. 3 - Graphique montrant comment le courant change dans un circuit RL après l'ouverture de l'interrupteur.

Application des circuits RL

Après avoir pris connaissance des caractéristiques d'un circuit RL et de son fonctionnement, voyons comment ils sont utilisés dans la technologie moderne. Les circuits RL sont très courants dans les applications utilisant le courant alternatif (AC). Dans les circuits à courant alternatif, le courant change constamment, il y a donc toujours une force électromotrice induite à travers l'inducteur. L'une des utilisations d'un circuit RL dans les circuits CA est de servir de filtre de fréquence, en configurant le circuit de telle sorte que les signaux (ou les courants alternatifs) à une certaine fréquence ne puissent pas circuler en raison de la forte CEM qui les contrebalance. Cette fonction est essentielle pour les communications radio, car le fait de pouvoir choisir la fréquence des signaux permet de communiquer clairement sur un certain canal.