Couple et Accélération Angulaire

Dans la dynamique de translation, le couple ou le moment est une quantité vectorielle nécessaire pour faire tourner un objet autour d'un point d'inflexion. Mathématiquement, c'est le produit d'une force agissant sur un point et de la distance perpendiculaire de la force au point de rotation. Le couple est mesuré en Newton-mètres, comme le montre l'équation ci-dessous, où F est la force et d la distance perpendiculaire.

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    \[T = F[N] \cdot d[m]\N]

    Le principe des moments dans la dynamique de translation stipule que lorsqu'un objet est en équilibre, la somme des moments dans le sens des aiguilles d'une montre autour d'un point de rotation est égale à la somme des moments dans le sens inverse des aiguilles d'une montre autour d'un point de rotation. Alors, où se situe l'accélération angulaire ? Découvrons-le !

    Couple et accélération angulaire : Signification

    Le couple peut également être exprimé en termes de dynamique de rotation, lorsqu'il est nécessaire pour produire une accélération angulaire sur un objet provoquant la rotation de l'objet. Le couple de translation est le produit de la distance perpendiculaire et de la force tangentielle agissant sur un point. Le couple de l'objet en rotation illustré dans la figure 1 peut être trouvé en utilisantladeuxième loi de Newton et le couple linéaire.

    Couple et accélération angulaire, Couple et accélération angulaire dans la dynamique de rotation, StudySmarter

    Figure 1. Couple et accélération angulaire dans la dynamique de rotation. Source : Georgia Panagi, StudySmarter.

    Nous exprimons le couple T en fonction de la force de translationFt en Newtons et du rayon r en mètres. Nous appliquons ensuiteladeuxième loi de Newton. Dans l'objet illustré ci-dessus, nous obtenons une expression de la force de translation en termes de masse et d'accélération, où m est la masse et a l'accélération en m/s2.

    \[T = F_t \cdot r \cdot \sin{\theta}\]

    Où \(\sin{\theta} = 1 \text{ as }) \theta = 90^\circ \space F = ma \flèche droite F_t = ma_t\)

    Nous utilisons l'accélération de translationen relation avec l'équation dérivée, qui exprime l'accélération de translation en termes de rayon, et nous la substituons à l'équation de la force de translation.

    \[a_t = a \cdot r \qquad F_t = m \cdot (a \cdot r)\]

    Nous utilisons ensuite la formule du couple mentionnée ci-dessus mais nous y substituons l'expression de la force de translation dérivée. Pour un angle de 90 degrés, sinθ est égal à un. Le couple est donc égal au produit de la masse, de l'accélération et du rayon au carré, comme indiqué ci-dessous :

    \[T = (mar) \cdot r \cdot \sin{\theta} = m \cdot r^2 \cdot a\].

    L'expression obtenue peut être écrite en termes de moment d'inertie I mesuré en kgm2 multiplié par l'accélération mesurée en m/s2, car le moment d'inertie est la masse d'un objet multipliée par le carré de la distance à l'axe de rotation.

    \[T = (m \cdot r^2) \cdot a \qquad T = I \cdot a\]

    Quelle est la formule du couple pour la dynamique de rotation ?

    Comme il a été dérivé ci-dessus, le couple pour un mouvement de rotation est défini comme le produit du moment d'inertie et de l'accélération angulaire, comme indiqué ci-dessous, où T est le couple mesuré en Newton-mètres. I est le moment d'inertie, c'est-à-direlatendance de l'objet en rotation à résister à l'accélération angulaire. L'accélération angulaire α est le taux de variation de la vitesse angulaire.

    \N- [T[Nm] = I[kg \space m^2] \Ncdot a [rad/s^2]\N]

    où \(I[kg \space m^2] = m \cdot r^2\)

    On peut déduire de cette formule que le couple dépend du moment d'inertie et donc de la répartition de la masse de l'objet et de sa distance au centre de rotation. L'accélération angulaire est proportionnelle à l'ampleur du couple.

    Le moment d'inertie est l'équivalent en rotation de la force autour d'un axe dans la dynamique de translation, et le déplacement angulaire est l'équivalent du déplacement linéaire dans la dynamique de rotation.

    Le couple est également égal au taux de variation du moment angulaire si la masse est conservée. On le déduit ci-dessous, où ω est la vitesse angulaire en rad/s et L le moment angulaire. Nous utilisons la formule précédente du couple en termes de moment d'inertie et remplaçons l'accélération par le taux de variation de la vitesse angulaire. Cela nous donne le taux de variation du moment angulaire, qui est égal au couple, comme indiqué ci-dessous.

    \[T [Nm] = I \cdot a \qquad T = I \cdot \frac{d\omega}{dt} \qquad L = I \cdot \omega \qquad T = \frac{dL}{dt}\]

    Si deux ou plusieurs forces agissent sur un objet, le couple total (\(\tau\)) est la somme vectorielle des couples, comme indiqué ci-dessous, lorsque n nombres de couples sont présents.

    \[\tau = \sum T = T_1 + T_2 + ... + T_n\]

    Direction du couple

    Comme le couple est une quantité vectorielle, il faut à la fois une grandeur et une direction pour le définir. La direction du couple peut être trouvée en utilisant la règle de la main droite, où quatre doigts de la main droite sont pointés dans la direction de la force F qui est appliquée. La direction du couple est la même que celle du pouce.

    Couple et accélération angulaire, Direction du couple lorsque la force est ascendante, StudySmarter

    Figure 2. Direction du couple lorsque la force est dirigée vers le haut. Source : Georgia Panagi, StudySmarter.

    Un exemple est donné dans la figure 2, où la force appliquée est vers le haut, et le couple qui en résulte est indiqué ci-dessous. Si la force appliquée est vers le bas, le couple résultant est dans la direction opposée, comme le montre la figure 3.

    Couple et accélération angulaire, Direction du couple lorsque la force est dirigée vers le bas, StudySmarter

    Figure 3. La direction du couple lorsque la force est dirigée vers le bas. Source : Georgia Panagi, StudySmarter.

    Si la direction du couple par rapport au point de rotation est dans le sens des aiguilles d'une montre, on peut supposer que le couple est négatif et vice versa car les angles dans et dans le sens inverse des aiguilles d'une montre sont considérés comme positifs.

    Une roue tourne autour de l'axe A. Une force tangentielle de 30 N est appliquée au bord de la roue, qui a un rayon de 40 cm. La roue accélère linéairement à partir du repos, atteignant une vitesse de rotation de 10 rad/sec en 8 sec. Détermine le moment d'inertie de la roue.

    Nous commençons par utiliser l'équation du couple.

    \(T = F \cdot r = 30 N \cdot 0.4 m = 12 Nm \cquad T = I \cdot a \cflèche droite I = \frac{12}{a}\)

    Pour déterminer l'accélération angulaire en rad/s2, nous devons trouver le taux de variation de la vitesse angulaire.

    \(a = \frac{d \omega}{dt} = \frac{10 - 0}{8s - 0s} = 1,25 rad/s^2\)

    Nous le substituons ensuite à l'équation précédente pour trouver le moment d'inertie :

    \(I = \frac{12 Nm}{1,25 rad/s^2} = 9,6 kg \space m^2\)

    Une roue est représentée ci-dessous sur la figure 4. Détermine le couple net de la roue autour de son centre et l'accélération angulaire de la roue si le moment d'inertie est de 20 kgm2.R1 mesure 5 cm,R2 mesure 12 cm,F1 mesure 15 N (en jaune sur la figure ci-dessous), etF2 mesure 18 N (en bleu sur la figure).

    Nous créons un diagramme pour visualiser le problème.

    Couple et accélération angulaire, Exemple d'accélération angulaire, StudySmarter

    Figure 4. Exemple de couple net. Source : Georgia Panagi, StudySmarter.

    Le couple total est la somme vectorielle des couples individuels agissant sur l'objet. Nous analysons chaque couple individuellement.

    \(T_1 = F_1 \cdot d \cdot \sin \theta = 15 N \cdot 0 m \cdot \sin(20) = 0 Nm \qquad T_2 = F_2 \cdot R_2 = 18 N \cdot 0.12 m = 2.16 Nm \text{ (clockwise)}\)

    Nous pouvons voir que le couple total créé par les forces est égal au couple créé parF1 puisque le couple créé parF2 est nul. Nous continuons en utilisant la relation entre le couple et l'accélération angulaire. Note que le résultat sera négatif puisque le moment est dans le sens des aiguilles d'une montre.

    \(T = I \cdot a \Rightarrow a = \frac{T}{I} = \frac{2.16 Nm}{20 kg \space m^2} = -0.108 rad/s^2\)

    Couple et accélération angulaire - Principaux enseignements

    • Le couple pour la dynamique de rotation est le produit du moment d'inertie et de l'accélération angulaire.

    • Le moment d'inertie estlatendance du corps à résister à la rotation angulaire.

    • L'ampleur du moment d'inertie est calculée par la somme des produits des masses qui composent un corps avec le carré de leur distance par rapport à l'axe de rotation.

    • Le déplacement angulaire est l'équivalent du déplacement linéaire dans la dynamique de rotation.

    • La magnitude du couple net est trouvée par la somme algébrique des couples agissant sur l'objet.

    Questions fréquemment posées en Couple et Accélération Angulaire
    Qu'est-ce que le couple en physique?
    Le couple est une force qui provoque la rotation d'un objet autour d'un axe.
    Comment calculer le couple?
    Le couple se calcule en multipliant la force par la distance perpendiculaire à l'axe de rotation (T = F x d).
    Qu'est-ce que l'accélération angulaire?
    L'accélération angulaire est le taux de changement de la vitesse angulaire d'un objet.
    Quel est le lien entre couple et accélération angulaire?
    Le couple est directement proportionnel à l'accélération angulaire; une plus grande force de couple entraîne une plus grande accélération angulaire.

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