Constante de temps du circuit RC

Trouver la constante de temps d'un circuit RC

Pour trouver la constante de temps d'un circuit RC spécifique, nous devons trouver la résistance et la capacité totales équivalentes du circuit. Récapitulons comment nous les trouvons.

Pour trouver la résistance totale équivalente \(R\) des résistances \(n\) \(R_1,\dots,R_n\) qui sont connectées en série, il suffit d'additionner leurs résistances individuelles :

\[R=\sum_{i=1}^n R_i.\]

Pour trouver la résistance totale équivalente \(R\) de \(n\) résistances \(R_1,\dots,R_n\) qui sont connectées en parallèle, nous prenons l'inverse de la somme des inverses :

\[R=\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{R_i}\right)^{-1}.\]

Pour trouver la capacité totale équivalente \(C\N) de \N(n\N) condensateurs \N(C_1,\Npoints,C_n\N) qui sont connectés en série, nous prenons l'inverse de la somme des inverses :

\[C=\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{C_i}\right)^{-1}.\]

Pour trouver la capacité totale équivalente \(C\N) des \N(n\N) condensateurs \N(C_1,\Npoints,C_n\N) qui sont connectés en parallèle, il suffit d'additionner leurs capacités individuelles :

\[C=\sum_{i=1}^n C_i.\]

Lorsque tu peux simplifier les circuits à l'aide de ces règles, en remplaçant plusieurs résistances et condensateurs par une seule résistance et un seul condensateur, tu as la clé pour trouver la constante de temps ! En effet, après la simplification, tu as les deux valeurs magiques pour \(R\) et \(C\), la résistance et la capacité totales équivalentes, et il te suffit donc de multiplier ces valeurs pour obtenir la constante de temps selon la formule suivante

\N- [\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]

Calcul de la constante de temps d'un circuit RC

Pour voir d'où vient cette constante de temps, nous examinons le circuit le plus simple possible contenant des résistances et des condensateurs, à savoir un circuit ne contenant qu'une seule résistance et qu'un seul condensateur (donc pas de pile !), vu dans la figure ci-dessous.

Fig. 1 - Un circuit simple contenant seulement un condensateur et une résistance.

Disons que nous commençons avec une tension non nulle \(V_0\) sur le condensateur de capacité \(C\). Cela signifie qu'il y a une certaine charge \(Q_0\) de chaque côté du condensateur, et que ces deux côtés sont reliés l'un à l'autre par le circuit contenant la résistance \(R\). Il y aura donc un courant d'un côté à l'autre du condensateur, causé par la tension sur celui-ci. Ce courant modifiera les charges \(Q\) de chaque côté du condensateur, il modifiera donc aussi la tension ! Cela signifie que nous voulons examiner la tension \(V\) sur le condensateur et la charge \(Q\) de chaque côté du condensateur en fonction du temps. La tension sur un condensateur est donnée par

\[V=\frac{Q}{C},\]

le courant \(I\) à travers le circuit est donc donné par

\[I=\frac{V}{R}=\frac{Q}{RC}.\]

Mais le courant est la variation de la charge dans le temps, il est donc en fait égal à la dérivée temporelle de la charge \(Q\) de part et d'autre du condensateur ! Il est important de noter que la charge nette de chaque côté du condensateur diminue avec le courant (positif), c'est pourquoi il y a un signe moins dans notre équation :

\[\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}=-I=-\frac{Q}{RC}.\]

Il s'agit d'une équation différentielle pour \(Q\) en fonction du temps que tu n'as pas besoin de savoir résoudre, nous nous contentons donc d'énoncer la solution ici :

\[Q(t)=Q_0\mathrm{e}^{-\tfrac{t}{RC}}.\]

Et voilà ! Le facteur \(RC\) nous indique simplement à quelle vitesse se déroule ce processus d'équilibrage de la charge du condensateur. Après un temps de \(t=\tau=RC\), la charge de chaque côté du condensateur est de

\[Q(\tau)=\frac{1}{\mathrm{e}}Q_0,\]

et d'après l'équation, nous voyons qu'en général, après chaque durée \(\tau\), la charge a diminué d'un facteur \(\mathrm{e}\).

Avec cette diminution de charge, selon \(V=\tfrac{Q}{C}\), la tension sur le condensateur diminue également avec un facteur de \(\mathrm{e}\) à chaque durée \(\tau\). Alors que la résistance reste constante, le courant \(I=\tfrac{V}{C}\) subit également la même diminution. Ainsi, les propriétés de l'ensemble du circuit (charge de chaque côté du condensateur, courant à travers le circuit et tension sur le condensateur) changent avec un facteur de \(\mathrm{e}\) chaque fois que la durée \(\tau\) !

Constante de temps d'un circuit RC avec batterie

Fig. 2 - Le même circuit, mais il contient maintenant une pile qui fournit une tension.

Mais qu'en est-il s'il y a une pile dans le circuit, comme dans la plupart des circuits ? Eh bien, nous pouvons commencer avec un condensateur dont la charge est nulle de chaque côté : c'est un condensateur sur lequel il n'y a pas de tension. Si nous le connectons à une batterie, la tension transportera des charges vers le condensateur, de sorte qu'une tension sur le condensateur sera créée au fil du temps. Cette tension \(V\) se présentera comme suit au fil du temps :

\[V(t)=V_0\left(1-\mathrm{e}^{-\tfrac{t}{RC}}\right).\]

Nous voyons la même dépendance exponentielle dans cette formule, mais elle va maintenant dans l'autre sens : la tension sur le condensateur augmente.

À \(t=0\,\mathrm{s}\), nous avons \(V(0\,\mathrm{s})=0\,\mathrm{V}\) comme prévu. Il n'y a pas de résistance due aux charges sur le condensateur, donc au début, le condensateur se comporte comme un "fil nu" avec une résistance nulle. Ce n'est qu'après le démarrage, lorsque la charge s'accumule sur le condensateur, que le circuit se rend compte qu'il s'agit en fait d'un condensateur ! Il devient de plus en plus difficile d'ajouter de la charge au condensateur à mesure que la charge qui s'y trouve, et donc la force électrique qui s'oppose au courant, augmente.

Au bout d'un long moment (un grand multiple de la constante de temps \(\tau\)), l'exponentielle se rapproche de zéro et la tension sur le condensateur se rapproche de \(V(\infty)=V_0\). La tension constante sur le condensateur signifie également que la charge sur la plaque est constante, et qu'il n'y a donc pas de courant entrant ou sortant du condensateur. Cela signifie que le condensateur se comporte comme une résistance à l'infini.

• Après avoir allumé la batterie, le condensateur se comporte comme un fil dénudé avec une résistance nulle.
• Après un long moment, le condensateur se comporte comme une résistance avec une résistance infinie.

Constante de temps d'un circuit RC à partir d'un graphique

Cela signifie que nous devrions être en mesure de déterminer la constante de temps d'un circuit RC si nous disposons d'un graphique de la tension sur le condensateur, de la charge de part et d'autre du condensateur ou du courant total à travers le circuit en fonction du temps.

Importance de la constante de temps dans un circuit RC

Le fait qu'il existe une constante de temps caractéristique dans un circuit RC est très utile. Comme tu peux le voir dans les formules et les graphiques, il y a essentiellement un délai dans la tension sur le condensateur. Ce délai peut être utilisé pour obtenir un délai de tension sur n'importe quelle connexion parallèle. De cette façon, tu peux créer un délai entre le moment où tu actionnes un interrupteur et celui où tu mets une machine en marche. Ceci est particulièrement utile dans les industries à haut risque où les délais peuvent éviter les blessures.