Chute libre

Le saut en parachute est l'un des sports les plus extrêmes au monde. Tomber dans les airs à des hauteurs de plusieurs milliers de mètres est une expérience palpitante et à couper le souffle. Les parachutistes talentueux peuvent même contrôler leur mouvement dans le ciel, accélérant et ralentissant leur vitesse de chute et changeant de direction d'un simple mouvement.

Cependant, même les meilleurs parachutistes ne pourront pas accélérer indéfiniment. Cela est dû à la résistance de l'air, c'est-à-dire au fait que lorsqu'un objet se déplace dans l'air, il doit repousser des molécules d'air sur son chemin. Ces molécules résistent le fait d'être écartées facilement, elles s'opposent donc au mouvement en freinant les objets. Cette force de frottement donne lieu à ce que l'on appelle la vitesse limite.

Vitesse limite de chute dans un fluide

Elle dépend de plusieurs facteurs, dont la masse de l'objet, la section transversale de l'objet et le coefficient de frottement de l'objet.

Elle est décrite par l'équation suivante :

\[V_{\infty} = \sqrt{\frac{2mg}{\rho A C_f}} \]\(V_\infty\) est la vitesse limite.

\(m\) est la masse de l'objet.

\(g\) est l'accélération due à la gravité.

\(\rho\) est la densité du fluide.

\(A\) est l'aire de la section transversale de l'objet.\(C_f\) est le coefficient de frottement.

Vitesse limite chute libre avec frottement

Nous avons mentionné que plusieurs facteurs peuvent modifier la vitesse limite d'un objet. Ces facteurs peuvent donner lieu à des résultats intéressants !

Masse

Plus la masse d'un objet augmente, plus sa vitesse limite augmente. Une masse plus importante signifie une plus grande force due à la gravité. En fait, les animaux en dessous d'une certaine taille sont capables de survivre à n'importe quelle chute, car leur vitesse limite est suffisamment faible pour ne pas provoquer d'impact mortel ! La plupart des insectes peuvent survivre à n'importe quelle chute, et les souris, les rats et les écureuils font également partie de ce groupe de chanceux.

Coefficient de frottement

Un autre facteur dont les écureuils tirent parti pour réduire leur vitesse limite est leur coefficient de frottement. Il s'agit d'un nombre sans unité utilisé pour déterminer la douceur avec laquelle un objet peut traverser un fluide. Il est obtenu par l'étude du frottement entre l'air qui passe et la surface de l'objet. Les écureuils et d'autres animaux similaires ressentent des frottements élevés qui s'exercent lorsque l'air entre au contact de leur pelage et ralentit leur chute. L'expression de ce coefficient dépasse le cadre de ce résumé de cours, mais pour le parachutiste humain moyen, il se situe entre \(0{,}7\) et \(1\).

Section transversale

Les parachutistes sont également capables de modifier leur vitesse limite en jouant sur la section transversale. Celle-ci peut être considérée comme l'ombre qu'un objet projette s'il est éclairé par le haut. Un être humain tombant les bras écartés, la poitrine vers le sol et les membres écartés, projette une ombre très importante. Cela signifie que son corps entre en contact avec une grande quantité de particules d'air, et que sa vitesse sera diminuée par cette résistance élevée.

Figure 1. Chute libre et vitesse limite. Comparaison entre deux parachutistes. L'un tombe parallèlement au sol et a une grande section transversale. L'autre plonge perpendiculairement au sol et a une petite section transversale.

Lorsque le parachutiste incline son corps pour effectuer un plongeon étroit, son ombre se rétrécit et la surface en contact direct avec l'air se réduit également. Moins l'objet doit repousser l'air, plus il est capable de se déplacer rapidement.

Calcul de la vitesse limite d'une chute libre

Maintenant que nous avons passé en revue les différents paramètres qui entrent en jeu dans la vitesse limite d'un objet, examinons quelques exercices pratiques pour tester notre compréhension.

Tout ce qu'il y a à faire c'est d'entrer toutes les variables qui nous sont données dans l'expression de la vitesse limite.

\[\begin{align} V_\infty &= \quad\sqrt{\frac{2mg}{\rho A C_f}} \\\\& = \sqrt{\frac{2\times 80 \times 9{,}8}{1{,}2 \times 0{,}5 \times 0{,}5}} \\\\ &=72\, m/s \end{align} \]

Donc le parachutiste tombe à environ \(72\) mètres par seconde ou \(260\) kilomètres par heure. Puisqu'il a atteint sa vitesse limite, celle-ci sera sa vitesse constante jusqu'à ce qu'une autre force agisse sur lui pour modifier sa vitesse. On peut ainsi déterminer le temps dont il dispose pour tirer son parachute avant qu'il n'atteigne le sol. Pour cela, rappelle toi que :

\[\textrm{Vitesse} = \frac{ \textrm{Distance} }{ \textrm{Temps} }\]On peut inverser la relation pour obtenir :

\[\textrm{Temps} = \frac{ \textrm{Distance} }{ \textrm{Vitesse} }\]\[t=\frac{4000}{72}=56 \,s\]

S'il veut prendre \(90\) secondes pour parcourir \(4000\) mètres de distance, il doit tomber plus lentement. Sa nouvelle vitesse doit être de :

\[V_\infty=\frac{4000}{90}=44\,m/s\]s'il veut bénéficier de 90 secondes de vol. Quelle surface de section transversale lui garantira cette vitesse, toutes les autres variables restant identiques ?

On sait que

\[V_{\infty} = \sqrt{\frac{2mg}{\rho A C_f}} \]Alors, on peut inverser la relation pour obtenir :

\[\begin{align}A&=\frac{2mg}{\rho C_f V_\infty^2} \\ \\ &=\frac{2\times 80 \times 9{,}8}{1{,}2 \times 0{,}5 \times 44^2} \\ \\ &=1{,}35\, m^2 \end{align}\]

Pour prolonger son vol jusqu'à \(90\) secondes, le parachutiste doit augmenter la surface de section transversale de \(0{,}5\,m^2\) à \(1{,}18\,m^2\). S'il tend ses bras et ses jambes au maximum, c'est peut-être possible !

Vitesse limite et chute libre sans frottement

La vitesse limite est atteinte lorsque la force de frottement d'un fluide équivaut à la force de gravité qui tire l'objet vers le bas. Lorsque ces deux forces se compensent, il n'y a plus d'accélération et la vitesse est constante, égale à la vitesse limite.

Il arrive qu'on parle dans ce cas de chute libre avec frottement mais c'est un abus de langage. La chute libre à proprement parlé signifie toute situation où la seule force qui agit de façon significative sur l'objet est la gravité, c'est-à-dire qu'on peut en fait négliger l'effet des frottements.

Chute libre avec vitesse initiale

Étant donné que la gravité est la seule force agissant sur un objet en chute libre lorsqu'on peut négliger les frottements, l'équation du mouvement de la chute libre est plus simple que celle de la vitesse limite.\[V(t)=V_0+gt\]

\(V(t)\) est la vitesse à l'instant \(t\) lors de la chute libre.

\(g\) est l'accélération due à la gravité.

\(t\) est le temps écoulé depuis le début de la chute.\(V_0\) est la vitesse initiale.

Voyons la différence entre la chute libre avec et sans frottement en comparant le schéma des forces.

Schéma vitesse limite

Les forces qui s'exercent sur le parachutiste sont égales, l'air créant des frottements suffisants pour compenser parfaitement la force de la gravité. La vitesse du parachutiste se stabilise donc, du moins jusqu'à ce que les conditions changent.

Fig.2- Un parachutiste qui tombe à vitesse limite ressent une force de gravité vers le bas et une force de frottements vers le haut qui sont égales. Il ne subit aucune accélération en conséquence.

Schéma chute libre

Pour un objet en chute libre, il n'y a pas de force significative pour compenser la gravité. L'accélération due à la gravité n'est pas freinée, et la vitesse de l'objet continue donc à augmenter sans cesse.

Fig.3- Un parachutiste au-dessus de l'atmosphère est en chute libre et ne subit aucune force sur son corps en dehors de la gravité. Par conséquent, sa vitesse continue sans cesse d'augmenter.