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Sauter à un chapitre clé
Cependant, même les meilleurs parachutistes ne pourront pas accélérer indéfiniment. Cela est dû à la résistance de l'air, c'est-à-dire au fait que lorsqu'un objet se déplace dans l'air, il doit repousser des molécules d'air sur son chemin. Ces molécules résistent le fait d'être écartées facilement, elles s'opposent donc au mouvement en freinant les objets. Cette force de frottement donne lieu à ce que l'on appelle la vitesse limite.
Vitesse limite de chute dans un fluide
Vitesse limite : vitesse maximale qu'atteint un objet lorsqu'il tombe dans un fluide sous l'effet de la gravité dans un fluide, généralement l'atmosphère.
Elle dépend de plusieurs facteurs, dont la masse de l'objet, la section transversale de l'objet et le coefficient de frottement de l'objet.
Elle est décrite par l'équation suivante :
\[V_{\infty} = \sqrt{\frac{2mg}{\rho A C_f}} \]\(V_\infty\) est la vitesse limite.
\(m\) est la masse de l'objet.
\(g\) est l'accélération due à la gravité.
\(\rho\) est la densité du fluide.
\(A\) est l'aire de la section transversale de l'objet.\(C_f\) est le coefficient de frottement.
Vitesse limite chute libre avec frottement
Nous avons mentionné que plusieurs facteurs peuvent modifier la vitesse limite d'un objet. Ces facteurs peuvent donner lieu à des résultats intéressants !
Masse
Plus la masse d'un objet augmente, plus sa vitesse limite augmente. Une masse plus importante signifie une plus grande force due à la gravité. En fait, les animaux en dessous d'une certaine taille sont capables de survivre à n'importe quelle chute, car leur vitesse limite est suffisamment faible pour ne pas provoquer d'impact mortel ! La plupart des insectes peuvent survivre à n'importe quelle chute, et les souris, les rats et les écureuils font également partie de ce groupe de chanceux.
Coefficient de frottement
Un autre facteur dont les écureuils tirent parti pour réduire leur vitesse limite est leur coefficient de frottement. Il s'agit d'un nombre sans unité utilisé pour déterminer la douceur avec laquelle un objet peut traverser un fluide. Il est obtenu par l'étude du frottement entre l'air qui passe et la surface de l'objet. Les écureuils et d'autres animaux similaires ressentent des frottements élevés qui s'exercent lorsque l'air entre au contact de leur pelage et ralentit leur chute. L'expression de ce coefficient dépasse le cadre de ce résumé de cours, mais pour le parachutiste humain moyen, il se situe entre \(0{,}7\) et \(1\).
Section transversale
Les parachutistes sont également capables de modifier leur vitesse limite en jouant sur la section transversale. Celle-ci peut être considérée comme l'ombre qu'un objet projette s'il est éclairé par le haut. Un être humain tombant les bras écartés, la poitrine vers le sol et les membres écartés, projette une ombre très importante. Cela signifie que son corps entre en contact avec une grande quantité de particules d'air, et que sa vitesse sera diminuée par cette résistance élevée.
Lorsque le parachutiste incline son corps pour effectuer un plongeon étroit, son ombre se rétrécit et la surface en contact direct avec l'air se réduit également. Moins l'objet doit repousser l'air, plus il est capable de se déplacer rapidement.
Calcul de la vitesse limite d'une chute libre
Maintenant que nous avons passé en revue les différents paramètres qui entrent en jeu dans la vitesse limite d'un objet, examinons quelques exercices pratiques pour tester notre compréhension.
Un parachutiste plonge dans l'air à une hauteur de \(4000\) mètres et se demande paisiblement à quelle vitesse il se déplace. Il sait que sa masse est de \(80\) kilogrammes et son coefficient de frottement, grâce à sa nouvelle combinaison de parachutisme, ne vaut que \(0{,}5\). À cette altitude et cette température, la densité de l'air est de \(1{,}2\) kilogrammes par mètre cube. Enfin, il sait que le plongeon avec une position orientée vers le sol présente la plus petite surface de section transversale, d'environ \(0{,}5\) mètres carrés.
À quelle vitesse tombe-t-il dans l'air et combien de temps lui faudra-t-il pour toucher le sol ? Es-tu capable de résoudre l'équation avant qu'il n'atteigne la surface de la Terre ?
Tout ce qu'il y a à faire c'est d'entrer toutes les variables qui nous sont données dans l'expression de la vitesse limite.
\[\begin{align} V_\infty &= \quad\sqrt{\frac{2mg}{\rho A C_f}} \\\\& = \sqrt{\frac{2\times 80 \times 9{,}8}{1{,}2 \times 0{,}5 \times 0{,}5}} \\\\ &=72\, m/s \end{align} \]
Donc le parachutiste tombe à environ \(72\) mètres par seconde ou \(260\) kilomètres par heure. Puisqu'il a atteint sa vitesse limite, celle-ci sera sa vitesse constante jusqu'à ce qu'une autre force agisse sur lui pour modifier sa vitesse. On peut ainsi déterminer le temps dont il dispose pour tirer son parachute avant qu'il n'atteigne le sol. Pour cela, rappelle toi que :
\[\textrm{Vitesse} = \frac{ \textrm{Distance} }{ \textrm{Temps} }\]On peut inverser la relation pour obtenir :
\[\textrm{Temps} = \frac{ \textrm{Distance} }{ \textrm{Vitesse} }\]\[t=\frac{4000}{72}=56 \,s\]
Le parachutiste a un peu moins d'une minute de chute avant que son vol ne se termine brusquement !
Cependant, il pense que c'est trop court pour profiter de la sensation de tomber à travers les nuages, il décide donc de changer sa position de plongeur à écarté. Il veut tomber pendant \(90\)secondes. Est-ce qu'il est capable d'augmenter suffisamment la surface de section transversale pour obtenir ces \(30 \) secondes de vol supplémentaires ?
S'il veut prendre \(90\) secondes pour parcourir \(4000\) mètres de distance, il doit tomber plus lentement. Sa nouvelle vitesse doit être de :
\[V_\infty=\frac{4000}{90}=44\,m/s\]s'il veut bénéficier de 90 secondes de vol. Quelle surface de section transversale lui garantira cette vitesse, toutes les autres variables restant identiques ?
On sait que
\[V_{\infty} = \sqrt{\frac{2mg}{\rho A C_f}} \]Alors, on peut inverser la relation pour obtenir :
\[\begin{align}A&=\frac{2mg}{\rho C_f V_\infty^2} \\ \\ &=\frac{2\times 80 \times 9{,}8}{1{,}2 \times 0{,}5 \times 44^2} \\ \\ &=1{,}35\, m^2 \end{align}\]
Pour prolonger son vol jusqu'à \(90\) secondes, le parachutiste doit augmenter la surface de section transversale de \(0{,}5\,m^2\) à \(1{,}18\,m^2\). S'il tend ses bras et ses jambes au maximum, c'est peut-être possible !
Vitesse limite et chute libre sans frottement
La vitesse limite est atteinte lorsque la force de frottement d'un fluide équivaut à la force de gravité qui tire l'objet vers le bas. Lorsque ces deux forces se compensent, il n'y a plus d'accélération et la vitesse est constante, égale à la vitesse limite.
Il arrive qu'on parle dans ce cas de chute libre avec frottement mais c'est un abus de langage. La chute libre à proprement parlé signifie toute situation où la seule force qui agit de façon significative sur l'objet est la gravité, c'est-à-dire qu'on peut en fait négliger l'effet des frottements.
Chute libre : Toute situation où la seule force qui agit de façon significative sur un objet est la gravité.
Chute libre avec vitesse initiale
Étant donné que la gravité est la seule force agissant sur un objet en chute libre lorsqu'on peut négliger les frottements, l'équation du mouvement de la chute libre est plus simple que celle de la vitesse limite.\[V(t)=V_0+gt\]
\(V(t)\) est la vitesse à l'instant \(t\) lors de la chute libre.
\(g\) est l'accélération due à la gravité.
\(t\) est le temps écoulé depuis le début de la chute.\(V_0\) est la vitesse initiale.
Voyons la différence entre la chute libre avec et sans frottement en comparant le schéma des forces.
Schéma vitesse limite
Les forces qui s'exercent sur le parachutiste sont égales, l'air créant des frottements suffisants pour compenser parfaitement la force de la gravité. La vitesse du parachutiste se stabilise donc, du moins jusqu'à ce que les conditions changent.
Schéma chute libre
Pour un objet en chute libre, il n'y a pas de force significative pour compenser la gravité. L'accélération due à la gravité n'est pas freinée, et la vitesse de l'objet continue donc à augmenter sans cesse.
Records de vitesse pour la vitesse limite et la chute libre
La vitesse limite maximale atteignable par un objet dépend des facteurs décrits plus haut, mais pour un parachutiste humain moyen, sa vitesse limite peut aller jusqu'à \(320\, km/h\). La vitesse maximale réalisable en chute libre, quant à elle, est illimitée. En l'absence de toute force de frottement résistant à la gravité, la vitesse d'un objet en chute libre ne cesse d'augmenter. Felix Baumgartner a sauté depuis le bord de l'espace en 2012 et a pu atteindre une vitesse estimée à \(1 357{,}6\, km/h\), avant d'atteindre une atmosphère suffisante pour ressentir une force de frottement !
Situations de chute libre
La condition de chute libre, où la gravité est la seule force significative agissant sur un objet, réduit le nombre de situations possibles.
Pour les vitesses lentes de déplacement dans l'air, la résistance de l'air est négligeable. Cela signifie que des situations comme le lancer d'une balle en l'air ou le saut du sol sont des cas de chute libre. La résistance de l'air peut être ignorée, et la seule force significative agissant sur ces objets est l'accélération due à la gravité.
Les objets dans l'espace sont également souvent en chute libre. Si aucun système de propulsion externe n'est activé, la seule force agissant sur les vaisseaux spatiaux et les astronautes est celle de la gravité.
Chute Libre - Points clés
La vitesse limite est la vitesse maximale qu'un objet atteint lorsqu'il tombe dans un fluide sous l'effet de la gravité.
La chute libre correspond au cas particulier de chute où la seule force significative sur un objet est la gravité.
La vitesse limite dépend de la masse de l'objet, de sa section transversale, de son coefficient de frottement et de la densité du fluide traversé.
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Questions fréquemment posées en Chute libre
Comment calculer la vitesse limite ?
Il existe une formule pour calculer la vitesse limite à partir de la masse, de la pesanteur, du coefficient de frottement, de la section transversale et de la densité du fluide.
Quelle est la vitesse d'un corps en chute libre ?
La vitesse d'un corps en chute libre augmente sans cesse et sans limite.
Pourquoi les objets tombent à la même vitesse dans le vide ?
D'après la seconde loi de Newton, deux objets en chute libre ont la même accélération, même si leur masse diffère.
Comment calculer une vitesse avec frottement ?
Il faut faire intervenir la force de frottement dans l'équation différentielle. Le plus simple est de calculer la vitesse limite.
Pourquoi la masse n'influence pas la vitesse?
La masse gravitationnelle dans la force du poids se compense avec la masse inertielle du principe fondamental de la dynamique. En l'absence d'autres forces, la masse disparaît de l'équation et n'influe donc pas la vitesse.
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