Vitesse moyenne et Accélération

Définition de la vitesse moyenne et de l'accélération moyenne

Nous allons définir la vitesse moyenne et l'accélération et discuter des formules mathématiques correspondantes.

Vitesse moyenne

La vitesse moyenne est une quantité vectorielle qui dépend de la position finale et initiale d'un objet.

La formule mathématique correspondant à cette définition est $$v_{\text{avg}}=\frac{\Delta{x}}{\Delta{t}}$$.

où \( \Delta{x} \) représente le changement de position et \ ( \Delta{t} \) représente le changement de temps.

On peut aussi calculer la vitesse moyenne en utilisant les valeurs initiales et finales de la vitesse.

$$v_{\text{avg}}=\frac{v_o + v}{2}$$$

où \( v_o \) est la vitesse initiale et \ ( v \ ) est la vitesse finale.

Cette équation peut être dérivée de l'équation cinématique de la distance moyenne comme suit :

$$\begin{aligned}\Delta{x}=& \frac{v_o+v}{2}(t) \\N- \frac{\Delta{x}}{t}= & \frac{v_o+v}{2} \n- v_{{text{avg}}= & \n-{v_o+v}{2}. \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-$$$$

Puisque nous avons défini la vitesse moyenne et discuté des deux formules correspondantes que nous pouvons utiliser pour déterminer sa valeur, résolvons un exemple simple pour nous aider à comprendre avant de continuer.

Accélération moyenne

L'accélération moyenne est une quantité vectorielle qui dépend des vitesses finale et initiale d'un objet.

La formule mathématique correspondant à cette définition varie en fonction de différentes quantités telles que la vitesse et le temps ou la vitesse et la distance.

Nous présenterons cette formule dans une autre section. Mais d'abord, nous allons discuter de deux façons de calculer la vitesse moyenne à partir de variables cinématiques.

Calcul de la vitesse moyenne à partir des variables d'accélération et de temps

Nous avons vu plus haut que la définition de la vitesse moyenne ne dépend pas des valeurs intermédiaires de la vitesse sur un intervalle de temps. Cela signifie que nous n'avons besoin que des valeurs de la vitesse initiale et de la vitesse finale d'un objet si nous voulons calculer sa vitesse moyenne. Mais que se passe-t-il si, au lieu de connaître la vitesse initiale et la vitesse finale, nous ne connaissons que la vitesse initiale et l'accélération ? Peut-on encore déterminer la vitesse moyenne ? Oui ! Mais pour cela, nous devons utiliser les équations cinématiques.

Qu'est-ce que la cinématique ? La cinématique est un domaine de la physique qui se concentre sur le mouvement d'un objet sans référence aux forces qui le provoquent. L'étude de la cinématique se concentre sur quatre variables : la vitesse, l'accélération, le déplacement et le temps. Notez que la vitesse, l'accélération et le déplacement sont tous des vecteurs, ce qui signifie qu'ils ont une magnitude et une direction. Par conséquent, la relation entre ces variables est décrite par les trois équations cinématiques.

Il s'agit de l'équation cinématique linéaire,

$$v=v_o + at;$$$

l'équation cinématique quadratique,

$$\Delta{x}=v_o{t} + \frac{1}{2}at^2;$$

et l'équation cinématique indépendante du temps,

$$v^2= {v_o}^2 + 2a\Delta{x}.$$

Ici, \( v \N) est la vitesse finale, \N ( v_o \N) est la vitesse initiale, \N ( a \N) est l'accélération, \N ( t \N) est le temps, et \N( \NDelta{x} \N) est le déplacement.

Pour calculer la vitesse moyenne à partir de l'accélération et du temps, nous partons de l'équation cinématique quadratique :

$$\begin{aligned}\Delta{x}&=v_o{t} + \frac{1}{2}at^2 \N- \NDelta{x}&= t(v_o + \frac{1}{2}at)\N- \N- \NDelta{x}}{t}&=v_o + \frac{1}{2}at \Nv_{\text{avg}}&= v_o + \frac{1}{2}at.\N- \Nend{aligned}$$$.

Par conséquent, l'équation \( v_{\text{avg}}= v_o + \frac{1}{2}at \) permet de déterminer la vitesse moyenne. En allant plus loin, nous pouvons ajouter la définition de l'accélération, \( {a=\frac{\Delta{v}}{t}} \), et dériver à nouveau l'équation de la vitesse moyenne, qui ne comprend que ses quantités initiales et finales.

$$\begin{aligned}v_{text{avg}}&= v_o + \frac{1}{2}at \ v_{text{avg}}&= v_o + \frac{1}{2}{\frac{\Delta{v}}{t}}t\ v_{text{avg}}&= v_o + \frac{1}{2}{\frac{\Delta{v}}{t}t\ v_{text{avg}}&.= v_o + \frac{1}{2}\Delta{v} \v_{\text{avg}}&= \frac{2v_o + (v-v_o)}{2}\v_{\text{avg}}&= \frac{v_o + v}{2}\v_{\text{avg}}&= \frac{1}{2}{\left(v_o + v\right)}.\\\N-END{aligned}}$$$

En faisant cela, nous avons vérifié que la vitesse moyenne ne dépend effectivement que de la vitesse initiale et de la vitesse finale. Voyons maintenant comment calculer la vitesse moyenne à partir d'une représentation graphique.

Calcul de la vitesse moyenne à partir d'un graphique accélération-temps

Une autre façon de calculer la vitesse moyenne est d'utiliser un graphique accélération-temps. En regardant un graphique accélération-temps, tu peux déterminer la vitesse de l'objet car l'aire sous la courbe d'accélération correspond à la variation de la vitesse.

$$\text{Area}=\Delta{v}.$$

Par exemple, le graphique d'accélération ci-dessous représente la fonction \N( a(t)=0,5t+5 \N). À l'aide de cette fonction, nous pouvons montrer que le changement de vitesse correspond à l'aire sous la courbe.

Fig. 1 Détermination de la vitesse moyenne à partir d'un graphique accélération-temps.

À l'aide de ce graphique, nous pouvons déterminer la vitesse au bout d'un certain temps en comprenant que la vitesse est l'intégrale de l'accélération.

$$v=\int_{t_1}^{t_2}a(t)$$

où l'intégrale de l'accélération est l'aire sous la courbe et représente le changement de vitesse. Par conséquent ,

$$\begin{aligned}v&=\int_{t_1}^{t_2}a(t) \ v&=\int_{t_1=0}^{t_2=5}(0.5t +5)dt\ v&=\frac{0.5t^2}{2}+5t \\v&=\left(\frac{0.5(5)^2}{2}+5(5))-(\frac{0.5(0)^2}{2}+5(0)\right)\\v&=31.25\,\mathrm{\frac{m}{s}}.\\\end{aligned}$$

Nous pouvons vérifier ce résultat en calculant la surface de deux formes différentes (un triangle et un rectangle) comme le montre la première figure.

Commence par calculer la surface du rectangle bleu :

$$\begin{aligned}\text{Area}&=(\text{height})(\text{width})=hw \\\text{Area}&=(5)(5)\\ \text{Area}&=25.\\\end{aligned}$$

Calcule maintenant l'aire du triangle vert :

$$\begin{aligned}\text{Area}&=\frac{1}{2}\left(\text{base}\right)\left(\text{height}\right)=\frac{1}{2}bh \\\text{Area}&=\frac{1}{2}\left(5\right)\left(2.5\right)\\ \text{Area}&=6.25.\\\end{aligned}$$

Maintenant, en additionnant ces deux résultats, nous obtenons le résultat pour l'aire sous la courbe :

$$\begin{aligned}\text{Area}_{\text{(curve)}}&=\text{Area}_{(\text{rec})}+ \text{Area}_{(\text{tri})} \{Area}_{(\text{curve})}&= 25 + 6.25\\\N- \text{Area}_{(\text{curve})}&=31.25.\Nend{aligned}$$.

Les valeurs correspondent clairement, ce qui montre que dans le graphique accélération-temps, l'aire sous la courbe représente le changement de vitesse.

Calcul de l'accélération moyenne en fonction de la vitesse et du temps

Pour calculer l'accélération moyenne à une vitesse et un temps donnés, la formule mathématique appropriée est la suivante

$$a_{avg}=\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}$$

où \( \Delta{v} \) représente le changement de vitesse et \ ( \Delta{t} \) représente le changement de temps.

Ensuite, nous verrons comment la méthode de calcul de l'accélération change si on nous donne la distance au lieu du temps.

Calcul de l'accélération moyenne à partir de la vitesse et de la distance

Pour calculer l'accélération moyenne à partir de la vitesse et de la distance, nous devons à nouveau utiliser les équations cinématiques. En regardant la liste ci-dessus, tu remarqueras que la première et la deuxième équation dépendent explicitement du temps. Cela signifie que nous devons les exclure et utiliser la troisième équation à la place.

$$\begin{aligned}v^2&={v_o}^2+2a\Delta{x} \\v^2-{v_o}^2&=2a\Delta{x}\\ a&=\frac{v^2-{v_o}^2}{2\Delta{x}}.\\\end{aligned}$$

Rappelle que les équations cinématiques ne sont applicables que dans le cas d'une accélération constante. Puisque l'accélération moyenne sur un intervalle de temps est constante, l'équation \( a=\frac{v^2-{v_o}^2}{2\Delta{x}} \) nous permet de calculer l'accélération moyenne à partir de la vitesse et de la distance.

Nous pouvons vérifier que l'équation dérivée est également réductible à la définition de l'accélération moyenne.

$$\begin{aligned}a&=\frac{v^2-{v_o}^2}{2\Delta{x}} \\a&=\frac{v^2-{v_o}^2}{2\Delta{t}(v_{\text{avg}})}\\ a&=\frac{(v+v_o)-(v-v_o)}{2\Delta{t}(\frac{v_o +v}{2})}\\a&=\frac{(v-v_o)}{\Delta{t}}\\a&=\frac{\Delta{v}}{\Delta{t}}.\\\Nend{aligned}}$$

Maintenant, dans la dérivation ci-dessus, nous avons trouvé une expression pour l'accélération étant donné la vitesse et la distance. Nous avons pris la troisième équation cinématique comme point de départ et nous avons isolé sur le côté gauche la quantité que nous voulions. Nous aurions tout aussi bien pu manipuler la même équation pour résoudre une autre quantité.

L'exemple ci-dessous illustre ce point. On te donne l'accélération et la distance et on te demande de résoudre la vitesse finale.

Vitesse nulle et accélération moyenne non nulle

Est-il possible d'avoir une vitesse nulle et une accélération moyenne non nulle ? La réponse à cette question est oui. Imagine que tu lances une balle tout droit en l'air. En raison de la gravité, la balle aura une accélération constante non nulle tout au long de son vol. Cependant, lorsque la balle atteint le point vertical le plus élevé de sa trajectoire, sa vitesse sera momentanément nulle. La figure ci-dessous illustre ce phénomène.

Un diagramme démontrant une vitesse nulle et une accélération non nulle.CC-Mathsgee