Circuits Inducteurs-Condensateurs (LC)

Equations du circuit LC

Avant d'entrer dans les détails des équations et de la fréquence dans les circuits LC, examinons plus en détail la configuration du circuit. En nous référant à la figure ci-dessous, nous avons un condensateur chargé de capacité \(C\) connecté à un solénoïde avec une inductance \(L\).

Fig. 2 - Structure d'un circuit LC avec un condensateur chargé connecté à un solénoïde.

Si tu connais les condensateurs, tu sais que ces composants électriques stockent l'énergie électrique grâce à la séparation des charges entre leurs plaques parallèles. Tu peux consulter nos autres articles sur les condensateurs pour en savoir plus ! Ces condensateurs à plaques parallèles sont chargés en les connectant à une source d'énergie dans un circuit, ce qui permet aux électrons de s'accumuler d'un côté de la plaque. Cette séparation des charges génère un champ électrique entre les plaques, qui stocke l'énergie.

Maintenant que nous avons un condensateur chargé, nous le connectons à un inducteur, qui dans ce cas est un solénoïde. Comme il n'y a plus de source d'énergie connectée au condensateur, il n'y a plus de potentiel électrique qui maintient les électrons sur l'une des plaques parallèles. Ainsi, le condensateur se décharge et génère un courant qui circule dans le circuit, ainsi que dans le solénoïde. En faisant passer un courant dans le solénoïde, nous avons maintenant un champ magnétique qui entoure la bobine. Cependant, à mesure que le condensateur n'a plus d'énergie électrique pour se décharger, le champ magnétique devient de plus en plus faible. D'autre part, cet affaiblissement du champ magnétique se traduit par une variation du flux magnétique, qui induit alors un courant dans le solénoïde par le phénomène de l'induction électromagnétique. Ce courant charge ensuite le condensateur jusqu'à ce que le champ magnétique atteigne zéro, et nous revenons au début !

Nous pouvons voir maintenant que l'inducteur et le condensateur fonctionnent ensemble en parfait équilibre l'un avec l'autre. L'énergie électrique stockée dans chaque composant oscille entre eux, comme les oscillations d'une onde sinusoïdale. Maintenant que nous avons compris les circuits LC d'un point de vue qualitatif. Exprimons-le quantitativement à l'aide d'une expression mathématique.

Tout d'abord, nous devons établir la tension totale à l'intérieur du circuit. Comme les composants sont connectés en série, nous pouvons additionner leurs tensions individuelles pour obtenir

\[ V_{\text{T}} = V_{\text{L}} + V_{\text{C}} ,\]

où \(V_{{text{T}}\) est la tension totale, \(V_{text{L}}\) est la tension de l'inducteur, et \(V_{text{C}}\) est la tension du condensateur. Elles sont toutes mesurées en unités de volts \(\mathrm{V}\). Reprenons maintenant nos connaissances sur les condensateurs et les inducteurs et rappelons les équations qui les relient à la tension. Pour un inducteur, elle est donnée par

\[ V_{\text{L}} = L \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t},\]

où \(L\) est l'inductance mesurée en unités de henrys \(\mathrm{H}\), \(I\) est le courant mesuré en ampères \(\mathrm{A}\), et \(t\) est le temps mesuré en secondes \(\mathrm{s}\). De même, pour un condensateur, l'équation est donnée par

\[ V_{\text{C}} = \frac{Q}{C} ,\]

où \(Q\) est la charge sur les plaques parallèles du condensateur mesurée en coulombs \(\mathrm{C}\) et \(C\) est la capacité du condensateur mesurée en farads \(\mathrm{F}\). Nous pouvons maintenant substituer ces valeurs à notre expression de la tension totale dans le circuit,

\[ V_{{text{T}} = L \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t} + \frac{Q}{C} .\]

Fréquence de résonance du circuit LC

Maintenant que nous avons l'équation d'un circuit LC, nous pouvons l'utiliser pour calculer la fréquence de résonance du système. Nous pouvons définir la fréquence de résonance comme suit.

Comme notre circuit LC n'est pas connecté à une source d'énergie externe, nous pouvons dire que les oscillations qu'il présente sont à sa fréquence naturelle ou de résonance. En utilisant maintenant l'équation du circuit LC, nous pouvons prendre sa dérivée temporelle comme suit

\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d} V_{\text{T}}{\mathrm{d}t} &= L \frac{\mathrm{d^2} I }{\mathrm{d} t^2} + \frac{1}{C} \frac{\mathrm{d} Q}{ \mathrm{d} t } \frac{\mathrm{d} V_{\text{T}}{\mathrm{d}t} &= L \frac{\mathrm{d^2} I }{\mathrm{d} t^2} + \frac{1}{C} I \\N- 0 &= L \frac{\mathrm{d^2} I }{\mathrm{d} t^2} + \frac{1}{C} I. \Nend{align} \]

Décortiquons maintenant ce que nous avons dérivé ci-dessus. Dans la première ligne, nous avons pris la dérivée temporelle des deux composantes du côté droit. Cela ne concerne que le courant \(I\) et la charge \(Q\) car ce sont les seules composantes dépendant du temps, tandis que l'inductance \(L\) et la capacité \(C\) sont des constantes.

Ensuite, nous pouvons réécrire la dérivée temporelle de la charge \( \frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} t} \) en tant que courant \(I\), en raison du fait que le courant est le taux d'écoulement de la charge. Enfin, dans la dernière ligne, nous remplaçons la dérivée temporelle de la tension totale par zéro. En effet, nous savons que la tension totale \(V_{text{T}}\) dans le circuit reste constante, puisqu'il n'y a pas de source d'énergie externe.

Tu peux maintenant reconnaître cette équation comme une équation différentielle homogène du deuxième ordre, que nous pouvons résoudre pour déterminer la fréquence du système. Nous allons passer à la dérivation complète de la fréquence, mais nous pouvons d'abord la définir comme suit

\[ \noméga_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}},\]

où \(\omega_0\) est la fréquence de résonance mesurée en unités de \(\mathrm{\frac{rad}{s}}\).

Fréquence du circuit LC

Lorsque l'on résout des équations différentielles du second ordre, on utilise d'abord une solution générale que l'on peut substituer à l'équation. Cette solution est donnée par

\[ I(t) = A e ^{Bt} ,\]

où \(A\) et \(B\) sont des constantes à déterminer. Nous pouvons prendre la dérivée de ceci pour obtenir

\[ \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t} = AB e^{Bt} ,\]

et reprendre la dérivée seconde comme suit

\[ \frac{\mathrm{d^2}I}{\mathrm{d} t^2} = AB^2 e^{Bt} .\]

En substituant ceci à notre équation différentielle du second ordre, nous obtenons

\[ AB^2 e^{Bt} + \frac{1}{LC} A e^{Bt} = 0 .\]

Maintenant, pour utiliser ceci afin de résoudre notre équation, nous devons trouver les racines de l'équation caractéristique, que nous pouvons trouver par

\[ Ae^{Bt} \left( B^2 + \frac{1}{LC} \right) = 0 .\]

Pour résoudre ce problème, nous disposons d'une solution triviale donnée par \N(A = 0) et nous savons que la fonction exponentielle n'atteint jamais zéro, ce qui nous laisse avec

\N[ \N- \N- \N- \N{align}} B^2 + \frac{1}{LC} &= 0 \N- B^2 &= -\frac{1}{LC} \NB &= \pm i \sqrt{\frac{1}{LC}} \NB &= \Npm i \Nomega_0 . \Nend{align} \]

Nous nous retrouvons donc avec une équation caractéristique à racines complexes, donnant une solution générale en termes d'exponentielles

\N- I(t) = c_1 e^{i\omega_0 t} + c_2 e^{-i \omega_0 t} ,\N]

où \(c_1\) et \(c_2\) sont des constantes à déterminer. Cependant, nous savons que le courant \(I\) est une quantité réelle, observable, et nous pouvons donc écarter la partie imaginaire de la fonction si nous pouvons la séparer de la partie réelle. Pour ce faire, on substitue l'équation d'Euler, ce qui donne

\[ \begin{align} I(t) &= c_1 \left( \cos(\omega_0 t) + i \sin(\omega_0 t) \right) + c_2 \left( \cos(\omega_0 t) - i \sin(\omega_0 t) \right) \ I(t) &= (c_1 + c_2) \cos(\omega_0 t) + i(c_1 - c_2) \sin(\omega_0 t) . \Nend{align} \]

En écartant la partie imaginaire, il nous reste

\[ I(t) = A\cos(\omega_0 t ) .\]

Nous avons remplacé \N(c_1 + c_2\N) par \N(A\N) car il s'agit dans les deux cas de constantes qui peuvent être réécrites sous la forme d'une autre constante. Maintenant, pour résoudre \N(A\N), nous devons considérer une condition initiale, à l'instant \N(t = 0\N, \Nmathrm{s}\N), lorsque l'inducteur est connecté pour la première fois au condensateur, nous savons que le courant dans le circuit est \N( I_0\N), le courant initial. Ainsi

\N- I( t = 0\N, \Nmathrm{s} ) = I_0 .\N]

Enfin, l'expression du courant dans un circuit LC est la suivante

\[ I(t) = I_0 \cos(\omega_0 t ) .\]

Par conséquent, nous voyons que \(\omega_0\) est en effet la fréquence de résonance d'un circuit LC. Nous pouvons convertir cette fréquence angulaire en fréquence en hertz à l'aide de l'équation suivante

\[ \begin{align} \omega_0 &= 2 \pi f \\frac{1}{\sqrt{LC}} &= 2 \pi f \ f &= \frac{1}{\sqrt{LC} \, 2 \pi } , \end{align} \]

où \(f\) est la fréquence du courant dans un circuit LC mesurée en hertz \(\mathrm{Hz}. \)

Constante de temps du circuit LC

Tout d'abord, définissons ce qu'est une constante de temps.

Quels types de systèmes ont des constantes de temps ? Il s'agit de systèmes qui évoluent dans le temps et finissent par atteindre un état stable, ce qui se traduit par l'absence de variation du système dans le temps. Un exemple de ce type de système dans les circuits serait un circuit résistance-condensateur, également appelé circuit RC. Lorsque le condensateur chargé est connecté à la résistance, il se décharge au fil du temps, ce qui permet à un courant de circuler dans la résistance. Cependant, une fois que la charge du condensateur est épuisée, il n'y a plus de courant dans le circuit pour charger à nouveau le condensateur, contrairement à un circuit LC, ce qui permet d'atteindre un état stable.

Fig. 3 - Un circuit RC atteint un état stable lorsque le condensateur a été complètement déchargé.

Si nous comparons ce circuit au circuit LC que nous avons examiné précédemment, il devrait être clair qu'un circuit LC n'atteint pas un état stable, car le courant évolue constamment en raison de l'échange d'énergie électrique entre l'inducteur et le condensateur. Par conséquent, un circuit LC n'a pas de constante de temps.

Courant maximal du circuit LC

Enfin, nous voulons déterminer la valeur du courant maximal qui traverse le circuit, et à quelles valeurs de temps il se produit. Puisque nous avons l'équation du courant, nous pouvons la différencier par rapport au temps pour trouver le courant maximum. Cependant, grâce à notre connaissance des fonctions sinusoïdales, nous pouvons également lire l'amplitude de la fonction sous la forme \(I_0\). Cela nous indique que le courant maximum dans un circuit LC est le courant initial au moment \N(t = 0 \N, \Nmathrm{s} \N).

Différencions maintenant la fonction pour trouver les valeurs de temps auxquelles le courant maximal se produit. Cela nous donne

\[ \frac{\mathrm{d} I}{\mathrm{d} t} = -I_0 \omega_0 \sin(\omega_0 t) .\]

En ramenant cette fonction à zéro, on trouve

\[ \begin{align} -I_0 \omega_0 \sin(\omega_0 t) &= 0 \\ \sin(\omega_0 t) &= 0 \\ \omega_0 t &= 0, \pi, 2\pi \\ t &= 0, \frac{\pi}{\omega_0} \frac{2\pi}{\omega_0} . \Nend{align} \]

Nous avons donc notre courant maximum et le moment où il se produit.