Loi de la force de Lorentz

Définition de la loi de la force de Lorentz

La force de Lorentz peut être définie comme suit.

En particulier, la force de Lorentz prend en compte l'action des champs électriques et magnétiques sur les particules chargées.

Équation de la loi de la force de Lorentz

La force de Lorentz prend l'équation mathématique suivante

\[ \vec{F} = q\vec{E} + (q \vec{v} \times \vec{B} ),\]

où \(\vec{F}\) est le vecteur force exercé sur les particules chargées mesuré en Newtons \(\mathrm{N}\), \(q\) est la charge des particules mesurée en coulombs \(\mathrm{C}\), \(\vec{v}\) est le vecteur vitesse de la particule chargée mesuré en \(\mathrm{\frac{m}{s}}\), \(\vec{B}\) est le vecteur champ magnétique mesuré en teslas \(\mathrm{T}\), et \(\vec{E}\) est le vecteur champ électrique mesuré en \(\mathrm{\frac{V}{m}}\).

Nous pouvons voir que cette équation est composée de deux éléments ; le premier terme du côté droit est la force électrique, tandis que le second terme est la force magnétique.

Pour trouver l'ampleur de la force de Lorentz, nous prenons l'ampleur des quantités vectorielles apparaissant dans l'équation ci-dessus. Pour le terme de la force électrique, c'est relativement simple puisqu'il suffit de prendre la magnitude du champ électrique \(|\vec{E}|\) multipliée par la magnitude de la charge \(q\).

En revanche, la magnitude du produit en croix est un peu plus délicate. Rappelle-toi que lorsque l'on prend la magnitude d'un produit en croix, il faut multiplier les magnitudes des deux vecteurs par le sinus de l'angle entre les vecteurs. Cela garantit que nous prenons les composantes perpendiculaires des deux vecteurs. On obtient l'équation suivante

\[ | \vec{a} \times \vec{b}| = |vec{a}||\vec{b}| \sin(\theta),\]

où \(|vec{a}|\) et \(|vec{b}|\) sont les amplitudes des vecteurs \(\vec{a}\) et \(\vec{b}\) respectivement, et \(\theta\) est l'angle entre les deux vecteurs.

Nous pouvons maintenant appliquer ceci à notre équation pour la force de Lorentz pour trouver que la magnitude de la force de Lorentz est donnée par

\[ |vec{F}| = q |\vec{E}|+ q|\vec{v}||\vec{B}|\sin(\theta),\]

où \(\theta\) est l'angle entre le champ magnétique et la vitesse de la particule chargée, mesuré en radians \(\mathrm{rad}\). Comme \(q\) est une quantité scalaire, nous n'avons rien à y faire.

Dérivation de la loi de la force de Lorentz

L'une des dérivations possibles de la définition de la force de Lorentz est la vitesse d'une particule chargée lorsqu'elle se déplace dans un champ magnétique. Si nous supposons qu'il n'y a pas de champ électrique présent, mais seulement un champ magnétique, nous pouvons voir à partir du produit en croix que la force de Lorentz résultante sur la particule chargée est toujours perpendiculaire à la direction du mouvement de la particule. Cela a pour conséquence que la trajectoire de la particule chargée prend une certaine courbure . Quelle force avons-nous déjà rencontrée qui agit également dans le sens perpendiculaire au mouvement de l'objet ?

Oui, il s'agit bien de la force centripète. Une particule chargée se déplaçant dans un champ magnétique subira un mouvement circulaire. Rappelle-toi que l'équation de la force centripète est la suivante

\[ F_{\mathrm{cent}}} = \frac{mv^2}{r},\]

où \(F_{\mathrm{cent}}\) est la force centripète mesurée en newtons \(\mathrm{N}\), \(m\) est la masse de l'objet mesurée en \(\mathrm{kg}\), \(v\) est la vitesse de l'objet mesurée en \(\mathrm{\frac{m}{s}}\), et \(r\) est le rayon de rotation mesuré en \(\mathrm{m}\).

Maintenant que nous savons que la particule chargée est en mouvement de rotation, nous pouvons mettre en équation la magnitude de la force de Lorentz et de la force centripète pour trouver la magnitude de la vitesse résultante due à l'interaction de la particule chargée avec le champ magnétique. En posant l'équation et en la réarrangeant, on obtient

\[ \begin{align} Bqv\sin(\theta) &= \frac{mv^2}{r} \\ \frac{Bqr \bcancel{v} \sin(\theta)}{m} & = v^{\bcancel{2}} \v &= \frac{Bqr\sin(\theta)}{m}. \[fin{align}\]

Pour résoudre les problèmes impliquant l'une de ces quantités, nous pouvons réarranger cette équation afin d'isoler la quantité pour laquelle nous souhaitons trouver une solution. La nature de cette quantité varie d'un problème à l'autre.

Fig. 2 - Un électron qui se déplace dans un champ magnétique subit une force de Lorentz qui provoque un mouvement circulaire.

Applications de la loi de la force de Lorentz

Au cours des expériences de physique à l'école, nous rencontrons souvent un équipement appelé tube cathodique ou canon à électrons. Ces appareils nous permettent de voir la trajectoire d'un faisceau d'électrons dévié en raison de l'application d'un champ électrique externe. Un filament métallique est chauffé à une extrémité de façon à ce que les électrons du métal acquièrent suffisamment d'énergie cinétique pour se libérer. Comme les électrons sont chargés négativement, ils sont attirés par l'anode chargée positivement à l'autre extrémité du tube à vide. En outre, la chambre à vide dans laquelle passent les électrons est tapissée d'un matériau fluorescent, de sorte que lorsque les électrons entrent en collision avec les parois, ils apparaissent sous la forme d'une lumière visible par l'œil humain. Enfin, la courbure du faisceau d'électrons est due à l'interaction de la force de Lorentz entre les électrons chargés et le champ électrique environnant.

Fig. 3 - Un canon à électrons où la lumière verte représente le trajet des électrons.

Exemple de loi de la force de Lorentz

Enfin, considérons un exemple dans lequel nous utilisons l'équation de la force de Lorentz.