Changement de mouvement

Formule de changement de momentum

Pour comprendre ce qu'est un changement d'élan, nous devons d'abord définir l'élan. Rappelle-toi que l'élan est une quantité donnée à un objet en raison de sa vitesse \(\vec{v}\) et de sa masse \(m\), et qu'un \(\vec p\) minuscule la représente :

$$\vec p = m \vec v\mathrm{.}$$$

Plus l'élan est important, plus il est difficile pour un objet de passer de l'état de mouvement à l'état stationnaire. Un objet en mouvement doté d'un élan important a du mal à s'arrêter et, à l'inverse, un objet en mouvement doté de peu d'élan est facile à arrêter.

Par conséquent, en supposant que la masse d'un objet ne change pas, l'impulsion est égale à la masse multipliée par le changement de vitesse. Définissons notre impulsion finale,

$$\vec p_\text{f}=m\vec v_\text{f}\mathrm{,}$$$

et notre impulsion initiale,

$$\vec p_\text{i}=m\vec v_\text{i}\mathrm{,}$$

nous permet d'écrire une équation pour le changement total de la quantité de mouvement d'un système, qui s'écrit comme suit :

$$\vec{J}=\Delta \vec p = \vec p_\text{f}- \vec p_\text{i}=m(\vec v_\text{f}- \vec v_\text{i})=m\Delta \vec v,$$$

où \(\Delta \vec p\) est notre changement de quantité de mouvement, \(m\) est notre masse, \(\vec v\) est notre vitesse, \(\text{i}\) signifie initiale, \(\text{f}\) signifie finale, et \(\Delta \vec v\) est notre changement de vitesse.

Taux de variation de la quantité de mouvement

Prouvons maintenant que le taux de variation de l'élan est équivalent à la force nette agissant sur l'objet ou le système.

Nous avons tous entendu dire que la deuxième loi de Newton est \(F = ma\) ; cependant, lorsque Newton a écrit cette loi pour la première fois, il avait à l'esprit l'idée de l'élan linéaire. Voyons donc si nous pouvons écrire la deuxième loi de Newton un peu différemment. Commençons par

$$\vec F_\text{net}= m \vec a$$$

nous permet de voir une corrélation entre la deuxième loi de Newton et l'élan linéaire. Rappelle-toi que l'accélération est la dérivée de la vitesse . Par conséquent, nous pouvons écrire notre nouvelle formule de force comme suit

$$\vec F_\text{net}= m \frac{\mathrm{d}\vec v}{\mathrm{d}t}\\mathrm{.}$$$

Il est essentiel de noter le changement qui a été effectué. L'accélération n'est que le taux de changement de la vitesse , donc le remplacer par \frac{\mathrm{d} \vec v}{\mathrm{d} t}\) est valide. Comme la masse \(m\) reste constante, nous voyons que la force nette est égale au taux de variation de la quantité de mouvement :

$$\vec F_\text{net} = \frac{\,\mathrm{d}(m\vec v)}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d} \vec p}{\mathrm{d} t} .$$

Nous pouvons réarranger ceci pour obtenir

\[\mathrm{d}\vec{p}=\vec{F}_\text{net}\,\mathrm{d}t.\]

Avec ce nouveau point de vue sur la deuxième loi de Newton, nous voyons que le changement de quantité de mouvement, ou d'impulsion, peut être écrit comme suit :

\[\vec{J}=\Delta\vec{p}=\int\,\mathrm{d}\vec{p}=\int\vec{F}_\text{net}\,\mathrm{d}t.\]

• La variation de la quantité de mouvement, ou impulsion (représentée par la lettre majuscule \(\vec J)\), est la différence entre la quantité de mouvement initiale et la quantité de mouvement finale d'un système. Elle est donc égale à la masse multipliée par le changement de vitesse.
• La deuxième loi de Newton est un résultat direct du théorème impulsion-momentum lorsque la masse est constante ! Le théorème de l'impulsion et du momentum établit un lien entre la variation de l'élan et la force nette exercée :

  $$\vec F_\text{net} = \frac{\mathrm{d} \vec p}{\mathrm{d} t} = m\frac{\mathrm{d}\vec v}{\mathrm{d} t} = m\vec a.$$

• En conséquence, l'impulsion est donnée par\[\vec{J}=\int\vec{F}_\text{net}\\N,\mathrm{d}t.\N].

En physique, nous avons souvent affaire à des collisions : il ne s'agit pas nécessairement de quelque chose d'aussi important qu'un accident de voiture - il peut s'agir de quelque chose d'aussi simple qu'une feuille qui frôle ton épaule.

L'élan d'un système de collision est toujours conservé. L'énergie mécanique, cependant, ne doit pas nécessairement être conservée. Il existe deux types de collisions : les collisions élastiques et les collisions inélastiques.

Collisions élastiques et quantité de mouvement

Nous allons tout d'abord parler des collisions élastiques. En physique, "élastique" signifie que l'énergie et la quantité de mouvement du système sont conservées.

Cela signifie que l'énergie totale et l'élan seront les mêmes avant et après la collision.

La figure 4 est un excellent exemple de collision élastique en action. Remarque que le mouvement se transfère complètement de l'objet de gauche à celui de droite. C'est un signe fantastique de collision élastique.

Collisions inélastiques et quantité de mouvement

Passons maintenant au jumeau maléfique qui est loin d'être parfait.

Un exemple est de jeter un chewing-gum dans une poubelle flottant dans l'espace (nous précisons que c'est dans l'espace parce que nous ne voulons pas tenir compte de la rotation de la Terre dans nos calculs). Une fois que le chewing-gum a pris son envol, il a une masse et une vitesse; on peut donc dire qu'il a aussi un élan. Il finira par heurter la surface de la boîte de conserve et s'y accrochera. L'énergie n'est donc pas conservée parce qu'une partie de l'énergie cinétique de la gomme se dissipe en frottement lorsque la gomme colle à la boîte. Cependant, l'élan total du système est conservé parce qu'aucune autre force extérieure n'a eu l'occasion d'agir sur notre système chewing-gum-poubelle. Cela signifie que la poubelle prendra un peu de vitesse lorsque le chewing-gum entrera en collision avec elle.

La variation variable du moment cinétique d'un système

Tous les exemples de collisions ci-dessus impliquent une impulsion constante. Dans toutes les collisions, l'élan total du système est conservé. L'élan d'un système n'est cependant pas conservé lorsque ce système interagit avec des forces extérieures : il s'agit là d'un concept essentiel à comprendre. Les interactions au sein d'un système conservent la quantité de mouvement, mais lorsqu'un système interagit avec son environnement, la quantité de mouvement totale du système n'est pas nécessairement conservée. En effet, dans ce cas, il peut y avoir une force nette non nulle qui agit sur le système, donnant à l'ensemble du système une impulsion non nulle au fil du temps (par le biais de l'équation intégrale que nous avons écrite plus tôt).

Exemples de variation de la quantité de mouvement

Maintenant que nous savons ce que sont le changement d'élan et les collisions, nous pouvons commencer à les appliquer à des scénarios du monde réel. Ce ne serait pas une leçon sur les collisions sans accidents de voiture, n'est-ce pas ? Voyons comment le changement d'élan joue un rôle dans les collisions - tout d'abord, un exemple.