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Mouvement circulaire uniforme
Le mouvementcirculaire fait référence à tout type de mouvement qui suit une trajectoire circulaire, mais il existe un type spécifique de mouvement circulaire appelé mouvement circulaire uniforme.
Lemouvement circulaire uniforme est le mouvement d'un objet qui se déplace à vitesse constante dans un cercle de rayon fixe.
Lorsqu'un objet se déplace dans un mouvement circulaire uniforme, comme dans l'image ci-dessous, sa vitesse pointe toujours dans la direction tangente au cercle, comme le montre la flèche rouge. Cela signifie que la direction de la vitesse change constamment lorsque l'objet se déplace autour du cercle. L'accélération de l'objet pointe vers le centre du cercle, indiqué par la flèche jaune, pour tenir compte du changement de direction de la vitesse. Cette accélération est appelée accélération centripète.
L'accélérationcentripète est l'accélération d'un objet qui se déplace de façon circulaire.
Diagramme de corps libre d'un mouvement circulaire uniforme montrant les directions de la vitesse et de l'accélération.
Force centripète
La deuxième loi de Newton nous apprend qu'une force doit agir sur un objet s'il subit une accélération. On parle de force centripète lorsqu'elle provoque une accélération centripète.
La forcecentripète est une force qui fait qu'un objet suit une trajectoire circulaire.
La force centripète a la même direction que l'accélération centripète - vers le centre de la trajectoire circulaire (le nom "centripète" signifie littéralement "qui cherche le centre"). La force centripète n'est pas un type de force spécifique ; nous utilisons le terme force centripète pour décrire toute force qui maintient un objet dans un mouvement circulaire. Dans un mouvement circulaire uniforme, la force centripète ne fait pas bouger l'objet vers le centre du cercle parce que l'objet se déplace si vite qu'il continue à tourner en rond.
Si tu attaches une balle à une ficelle et que tu la balances en cercle au-dessus de ta tête à une vitesse constante, la balle sera dans un mouvement circulaire uniforme. La tension de la ficelle est la force centripète à un moment donné. Par conséquent, la force nette dans le plan du cercle est la suivante
\[F_{\text{net}} = F_c = F_T\]
La force centripète fait en sorte que la balle change de direction pour tourner continuellement en cercle.
Imagine maintenant que tu lâches la ficelle. Au moment où tu lâches la ficelle, la force nette dans le plan du cercle devient nulle,
\[F_{\text{net}} = 0,\]
de sorte que, selon la première loi de Newton, la balle continue de se déplacer à la vitesse qu'elle avait à ce moment-là. Comme dans la figure ci-dessus, il s'agirait d'un vecteur tangent au cercle au point de libération.
Définition de la gravitation et du mouvement circulaire
Le mouvement circulaire est très important pour la gravitation, car de nombreux objets dans l'espace suivent des orbites circulaires en raison de la gravitation.
Lagravitation, ou force gravitationnelle, est la force d'attraction que tous les objets ayant une masse exercent les uns sur les autres.
Comme tous les objets massifs subissent la force de gravitation, nous l'appelons une force fondamentale. Les autres forces fondamentales sont la force électromagnétique et les forces nucléaires forte et faible.
L'image ci-dessous illustre la force gravitationnelle. Deux masses séparées par une distance \(r\) exercent l'une sur l'autre une force gravitationnelle. Cela les rapproche l'une de l'autre. Tout objet doté d'une masse exerce une force gravitationnelle sur d'autres objets, mais la plupart du temps, un objet doit avoir une masse importante pour que nous puissions mesurer sa force gravitationnelle. C'est pourquoi nous discutons principalement de la gravitation à l'échelle des planètes, des étoiles et des galaxies.
Deux masses sont attirées l'une vers l'autre par la force gravitationnelle.
Près de la surface de la Terre, la gravitation fait tomber tous les objets. Comme tous les objets subissent la même force pointant dans la même direction, nous pouvons représenter localement l'effet de la gravité à l'aide d'un champ de vecteurs.
À l'inverse, si nous faisons un zoom arrière au-delà de la surface de la Terre et que nous considérons l'effet de son attraction gravitationnelle sur les satellites artificiels et la Lune, nous constatons que la force de gravité de la Terre fait que ces objets sont en orbite et suivent un mouvement circulaire. Pour un objet en orbite, la force gravitationnelle agit comme une force centripète. La force est dirigée vers l'objet massif situé au centre de la trajectoire circulaire, ce qui fait que la vitesse de l'objet en orbite change de direction pour que l'objet continue à se déplacer en cercle. La vitesse de l'objet en orbite est suffisamment élevée pour que la force gravitationnelle ne l'attire pas directement vers l'objet massif.
La grande découverte de Kepler est que les orbites des planètes autour du Soleil ne sont pas exactement circulaires. Il s'agit plutôt d'ellipses. Un nombre que nous utilisons pour caractériser les ellipses est leur excentricité, qui est une mesure de l'écart de leur forme par rapport à celle d'un cercle. Plus précisément, les ellipses ayant une excentricité \(e = 0\) sont des cercles. En l'occurrence, l'excentricité de l'orbite de la Terre autour du Soleil est la suivante
\[e_{\text{E}} \approx 0.01671 \]
tandis que l'excentricité de l'orbite de la Lune autour de la Terre est de
\[e_{{text{M}} \approx 0.0549. \]
Comme ces valeurs sont presque nulles, nous pouvons traiter la force gravitationnelle dans ces cas comme une force centripète uniforme avec une grande précision.
Exemples de gravitation et de mouvement circulaire
Voici quelques exemples de gravitation et de mouvement circulaire :
- La gravité de la Terre entraîne la Lune dans une orbite avec un mouvement circulaire.
- Les satellites gravitent autour de la Terre à une vitesse constante calculée qui leur permet d'avoir un mouvement circulaire uniforme.
- Toutes les planètes de notre système solaire sont entraînées dans un mouvement circulaire par la gravité du Soleil.
Examinons de plus près l'exemple de la Lune en orbite autour de la Terre, illustré dans l'image ci-dessous :
La Lune en orbite autour de la Terre.
La force gravitationnelle que la Terre exerce sur la Lune agit comme la force centripète, dirigée vers le centre de la Terre (indiqué par la flèche bleue). Cette force crée une accélération centripète, également dirigée vers le centre de la Terre, qui fait que la vitesse de la Lune change constamment de direction selon un schéma circulaire. La vitesse de la Lune est toujours dirigée tangentiellement à l'orbite ou perpendiculairement à la force et à l'accélération centripètes (la vitesse est indiquée par la flèche rouge). Si la gravité de la Terre s'arrêtait soudainement, la Lune s'envolerait dans l'espace en ligne droite à partir du point d'où elle est libérée, comme dans le cas de la balle attachée à la ficelle dont nous avons parlé plus haut.
Formules de gravitation et de mouvement circulaire
Tu trouveras ci-dessous quelques-unes des formules les plus pertinentes pour la gravitation et le mouvement circulaire.
Formule de gravitation
Laloi de Newton sur la gravitation universelledécrit l'équation de la force gravitationnelle entre deux objets :
\[F_{\text{g}} = G \frac{m_1 m_2}{r^2}\]
où \(m_1\) et \(m_2\) sont les masses de deux objets, \(r\) est la distance entre les centres des masses, et \(G\) est la constante gravitationnelle, qui est \(G = 6.67 \times 10^{-11} \, \mathrm{m}^3 / (\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^2)\). Cette formule est particulièrement pertinente à grande distance ; à la surface d'une planète, nous pourrions utiliser l'équation suivante
\[F_{\text{g}} = mg\]
pour décrire la force gravitationnelle, mais cette équation n'est exacte que si le champ gravitationnel est constant. À grande distance, lorsque le champ gravitationnel n'est pas constant, nous devons utiliser l'équation ci-dessus pour trouver la force gravitationnelle.
Mouvement circulaire - Formule de la vitesse
Dans le cas d'un mouvement circulaire, la vitesse est toujours égale à la variation de la distance sur la variation du temps ; la distance est juste sur une trajectoire circulaire au lieu d'une trajectoire droite. La formule de la vitesse, \(v\), d'un objet se déplaçant dans un cercle serait donc la circonférence du cercle, \(2\pi r\), divisée par le temps qu'il faut à l'objet pour effectuer une révolution, \(T\) :
\[v = \frac{2\pi r}{T}.\]
La vitesse est mesurée en mètres par seconde (\(\mathrm{m}/\mathrm{s}\)), le rayon est en mètres (\(\mathrm{m}\)), et le temps nécessaire pour effectuer une révolution est en secondes (\(\mathrm{s}\)).
Mouvement circulaire - Formule de l'accélération centripète
La formule de l'accélération centripète est la suivante :
\[a_c = \frac{v^2}{r}.\]
\(v\) est la vitesse de l'objet en mètres par seconde (\(\mathrm{m}/\mathrm{s}\)) et \(r\) est le rayon de la trajectoire circulaire de l'objet en mètres (\(\mathrm{m}\)).
Mouvement circulaire - Formule de la force centripète
Puisque la force est égale à la masse multipliée par l'accélération, nous pouvons multiplier la formule de l'accélération centripète ci-dessus par la masse pour obtenir l'équation de la force centripète :
\[\N- F_c &= ma_c\N &= \Nfrac{mv^2}{r}.\Nend{align}\N]
\(F\) représente la force centripète en newtons (\(\mathrm{N}\)), \(m\) est la masse de l'objet en orbite en kilogrammes (\(\mathrm{kg}\)), \(v\) est la vitesse de l'objet en mètres par seconde (\(\mathrm{m}/\mathrm{s}\)), et \(r\) est le rayon de l'orbite de l'objet en mètres (\(\mathrm{m}\)).
Questions de physique sur la gravitation et le mouvement circulaire
Tu trouveras ci-dessous un exemple de question sur la gravitation et le mouvement circulaire ainsi que sa solution.
Un satellite de \(200 \, \mathrm{kg}\) se trouve sur une orbite circulaire à \(30\,000\,\mathrm{km}\) de la surface de la Terre. Quelle est la vitesse du satellite ? Utilise \(6371\, \mathrm{km}\) pour le rayon de la Terre et \(5.98\\Nfois 10^{24}\, \mathrm{kg}\) pour sa masse.
La seule force agissant sur le satellite est la force gravitationnelle, qui est donc égale à la masse du satellite, \(m_\text{s}\), multipliée par son accélération centripète :
\[F_{\text{g}} = m_\text{s}a_c.\].
Nous devons utiliser la loi universelle de la gravitation pour la force gravitationnelle puisque le satellite est loin de la surface de la Terre :
\[F_{\text{g}} = G \frac{m_\text{s} M}{r^2}.\]
Ici, \(M\) désigne la masse de la Terre. Nous avons également l'équation de l'accélération centripète :
\[a_c = \frac{v^2}{r}.\]
En substituant ces deux équations à notre première équation, nous obtenons ce qui suit :
\[G \frac{m_\text{s} M}{r^2} = m_\text{s} \frac{v^2}{r}.\]
En simplifiant et en résolvant pour \(v\) :
\[v = \sqrt{\frac{GM}{r}}.\]
Nous pouvons ensuite introduire les nombres que nous avons donnés. Avant de le faire, note que la valeur que nous devons utiliser pour \(r\) n'est pas simplement la distance du satellite par rapport à la Terre. Il s'agit plutôt de la somme du rayon de la Terre et de cette distance. La raison pour laquelle nous devons en tenir compte est que la loi de Newton sur la gravitation universelle exige la distance entre les centres des masses. En tenant compte de cela, nous avons :
\[\N- Début{alignement} v &= \sqrt{\Nfrac{(6.67 \Nfois 10^{-11}) \mathrm{m}^3 / (\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^2))(5.98\times 10^{24} \mathrm{kg})}{(3 \times 10^7 \,\mathrm{m} + 6.371 \times 10^6 \, \mathrm{m})}}. \N- &= 3\N- 275 \N- \Nmathrm{m}/\Nmathrm{s}.\Nend{align}\N]
La vitesse du satellite est \N(3\N,275\N,\Nmathrm{m}/\Nmathrm{s}\N).
Prenons un exemple similaire, à la différence près qu'au lieu d'orbiter autour de la Terre, le satellite orbite autour de la Lune.
Un satellite de \(200 \, \mathrm{kg}\) est sur une orbite circulaire de \(30\,000\,\mathrm{km}\) à partir de la surface de la Lune. Quelle est la vitesse du satellite ? Utilise \(1737\, \mathrm{km}\) pour le rayon de la Lune et \(7.35\\contre 10^{22}\, \mathrm{kg}\) pour sa masse.
Comme la situation est presque identique à celle de l'exemple précédent, nous pouvons procéder immédiatement en utilisant l'équation que nous avons dérivée précédemment pour la vitesse du satellite :
\[v = \sqrt{\frac{GM}{r}}.\]
Ici, nous devons faire attention à utiliser les valeurs correctes pour la Lune au lieu de celles de la Terre. En substituant les valeurs données, on obtient :
\[\N- Début{alignement} v &= \sqrt{\Nfrac{(6,67 \Nfois 10^{-11}). \mathrm{m}^3 / (\mathrm{kg}\,\mathrm{s}^2))(7.35\times 10^{22} \mathrm{kg})}{(3 \times 10^7 \,\mathrm{m} + 1.737 \times 10^6 \, \mathrm{m})}}. \N- &= 393 \N-, \Nmathrm{m}/\Nmathrm{s}.\Nend{align}\N]
Dans ce cas, la vitesse du satellite est \N(393 \N, \Nmathrm{m}/\Nmathrm{s}\N).
Mouvement circulaire et gravitation - Points clés à retenir
- Mouvement circulaire uniforme est le mouvement d'un objet se déplaçant à vitesse constante dans un cercle de rayon fixe.
- L'accélération centripète est l'accélération d'un objet se déplaçant dans un mouvement circulaire, agissant vers le centre du cercle.
- La force centripète est une force qui fait qu'un objet suit une trajectoire circulaire. Elle agit vers le centre du cercle.
- La gravitation, ou force gravitationnelle, est la force d'attraction que tous les objets ayant une masse exercent les uns sur les autres.
- La force gravitationnelle agit comme la force centripète pour les objets en orbite.
- L'équation de la force gravitationnelle entre deux objets est \[F_{\text{g}} = G \frac{m_1 m_2}{r^2}.\N].
- L'équation de la vitesse dans un mouvement circulaire est \[v = \frac{2\pi r}{T}.\N].
- La formule de l'accélération centripète est \[a_c = \frac{v^2}{r}.\] et l'équation de la force centripète est \(F_c = \frac{mv^2}{r}\).
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