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Le moment angulaire est une quantité conservée. Le moment angulaire d'un système ne change pas avec le temps si le couple externe net exercé sur le système est nul.
Loi de conservation du moment angulaire
Pour comprendre la loi de conservation du moment angulaire, nous devons comprendre :
- vitesse angulaire
- l'inertie de rotation
- le moment angulaire
- le couple.
Vitesse angulaire
La vitesse angulaire est la vitesse de rotation d'un objet. Elle est mesurée en radians par seconde, \( \mathrm{\frac{rad}{s}} \). On peut trouver la vitesse angulaire en utilisant :
- la vitesse d'un mouvement linéaire, dont l'unité est le mètre par seconde, \( \mathrm{\frac{m}{s}} \)
- le rayon de l'objet tournant autour d'un axe, dont les unités sont les secondes, \( \mathrm{s} \)
Ce qui nous donne
$$\oméga= \frac{v}{r}$$$
Les radians sont sans dimension ; ils représentent le rapport entre la longueur d'un arc de cercle et le rayon de ce cercle. Ainsi, les unités de vitesse angulaire s'annulent pour donner \( \frac{1}{s} \).
Inertie de rotation
L'inertie de rotation est la résistance d'un objet aux changements de vitesse angulaire. Un objet ayant une forte inertie de rotation est plus difficile à faire tourner qu'un objet ayant une faible inertie de rotation. L'inertie de rotation dépend de la façon dont nous répartissons la masse d'un objet ou d'un système. Si nous avons un objet avec une masse ponctuelle, \(m\), à une distance, \(r\), du centre de rotation, l'inertie de rotation est \( I=mr^2 \). L'inertie de rotation d'un objet augmente lorsqu'il s'éloigne du centre de rotation. L'inertie de rotation a une unité de \( \mathrm{kg\,m^2} \).
- Une masse ponctuelle est un objet dont la masse n'est pas nulle et qui est concentré en un point. On l'utilise dans les situations où la forme de l'objet n'a pas d'importance.
- Le moment d'inertie est analogue à la masse dans un mouvement linéaire.
Moment angulaire
Lemoment ang ulaire est le produit de la vitesse angulaire, \( \oméga \), et de l'inertie de rotation, \( I \). Nous écrivons le moment angulaire comme \N( L=I\omega \N).
Le moment angulaire a une unité de \( \mathrm{\frac{kg\,m^2}{s}} \).Avant d'attribuer un moment angulaire à une particule, nous devons définir une origine ou un point de référence.
Cette formule ne peut être utilisée que lorsque le moment d'inertie est constant. Si le moment d'inertie n'est pas constant, il faut chercher ce qui cause le mouvement angulaire, le couple, qui est l'équivalent angulaire de la force.
Le couple
Nous représentons le couple par la lettre grecque \( \tau \).
Lecouple est l'effet de rotation d'une force.
If we have a distance, \( r \), from a pivot point to where force, \( F \) is applied, the magnitude of torque is \( \tau= rF\sin\theta. \N- Une autre façon d'exprimer le couple est en termes de bras de levier perpendiculaire, \N- r_{\perp} \N- où \N- r_{\perp} = r\sin\theta. \N- Cela donne le couple comme \N- \N- \Ntau=r_{\perp}F \N- \N-. Le couple a une unité de \( \mathrm{N\N,m} \N) où \( 1\N,\mathrm{N\N,m}=1\N,\mathrm{\Nfrac{kg\N,m}{s^2}}. \N)
Couple externe net et conservation du moment angulaire
Le couple externe net s'exprime comme la variation du moment angulaire sur la variation du temps. Nous l'écrivons sous la forme $$\tau_{\mathrm{net}}=\frac{\Delta{L}}{\Delta{t}}.$$ Si le couple externe net agissant sur un système est nul, le moment angulaire reste constant dans le temps pour un système fermé/isolé. Cela signifie que la variation du moment angulaire est nulle, soit
$$\Delta{L}=\frac{\tau_{\mathrm{net}}}{\Delta{t}}=\frac{0}{\Delta{t}}=0$$
Une autre façon d'exprimer cela serait de considérer deux événements dans un système. Appelons le moment angulaire du premier événement, \N( L_1 \N), et le moment angulaire du second événement, \N( L_2 \N). Si le couple externe net agissant sur ce système est nul, alors
$$L_1=L_2$$
Note que nous définissons le moment angulaire en termes de moment d'inertie avec la formule suivante :
$$L = I\oméga.$$
En utilisant cette définition, nous pouvons maintenant écrire
$$I_1{\omega_{1}}= I_2{\omega_{2}}.$$
Dans certains cas, la conservation du moment angulaire se fait sur un axe et pas sur un autre. Disons que le couple externe net sur un axe est nul. La composante du moment angulaire du système le long de cet axe particulier ne changera pas. Cela s'applique même si d'autres changements ont lieu dans le système.
Il y a d'autres choses à noter :
Le moment angulaire est analogue au moment linéaire. La quantité de mouvement linéaire a une équation de \( p=mv \).
La conservation du moment angulaire est également analogue à la conservation de la quantité de mouvement. La conservation de la quantité de mouvement linéaire est l'équation \N( p_1=p_2 \N) ou \N( m_1v_1=m_2v_2. \N)
L'équation \( \tau_{\mathrm{net}}=\frac{\Delta{L}}{\Delta{t}} \) est la forme rotationnelle de la deuxième loi de Newton.
En physique, un système est un objet ou un ensemble d'objets que nous voulons analyser. Les systèmes peuvent être ouverts ou fermés/isolés. Les systèmes ouverts échangent des quantités conservées avec leur environnement. Dans les systèmes fermés/isolés, les quantités conservées sont constantes.
Définir la conservation du moment angulaire
En termes simples, la conservation de la quantité de mouvement signifie que la quantité de mouvement avant est égale à la quantité de mouvement après. Plus formellement ,
La loi de conservation du moment angulaire stipule que le moment angulaire est conservé à l'intérieur d'un système tant que le couple externe net sur le système est nul.
Formule de conservation du moment angulaire
La formule \( {I_1}\oméga_1={I_2}\oméga_2 \) correspond à la définition de la conservation du moment angulaire.
Conservation du moment angulaire dans les collisions inélastiques
Une collision inélastique est une collision caractérisée par la perte d'une partie de l'énergie cinétique. Cette perte est due à la conversion d'une partie de l'énergie cinétique en d'autres formes d'énergie. Si la plus grande quantité d'énergie cinétique est perdue, c'est-à-dire que les objets entrent en collision et se collent l'un à l'autre, on parle de collision parfaitement inélastique. Malgré la perte d'énergie, la quantité de mouvement est conservée dans ces systèmes. Cependant, les équations que nous utilisons tout au long de l'article sont légèrement modifiées lorsque nous discutons de la conservation du moment angulaire pour les collisions parfaitement inélastiques. La formule devient
$$ {I_1}\oméga_1 + {I_2}\oméga_2= (I_1 +I_2)\oméga$$$
en raison des objets qui se heurtent et se collent l'un à l'autre. Par conséquent, nous considérons maintenant les deux objets individuels comme un seul objet.
Exemples de conservation du moment angulaire
On peut utiliser les équations correspondantes pour résoudre des problèmes impliquant la conservation du moment angulaire. Comme nous avons défini le moment angulaire et discuté de la conservation du moment angulaire, travaillons sur quelques exemples pour mieux comprendre le moment angulaire. Note qu'avant de résoudre un problème, nous ne devons jamais oublier ces étapes simples :
- Lis le problème et identifie toutes les variables données dans le problème.
- Détermine ce que le problème demande et quelles formules sont nécessaires.
- Fais un dessin si nécessaire pour fournir une aide visuelle.
- Applique les formules nécessaires et résous le problème.
Exemples
Appliquons les équations de conservation du moment angulaire à quelques exemples.
Fig. 2 - Un patineur sur glace peut augmenter sa vitesse de rotation en tirant sur ses bras.
Dans l'exemple omniprésent du patineur sur glace, il tourne avec les bras tendus à \( 2,0\\N,\Nmathrm{\Nfrac{rev}{s}} \N). Son moment d'inertie est de 1,5 (\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N{kg}, m^2}). Ils tirent sur leurs bras, ce qui augmente leur vitesse de rotation. Si leur moment d'inertie est de \N( 0,5\N,\Nmathrm{kg\N,m^2}) après qu'ils aient rentré leurs bras, quelle est leur vitesse angulaire en termes de tours par seconde ?
La conservation du moment angulaire stipule que
$$I_1{\omega_{1}}= I_2{\omega_{2}},$$
Il suffit donc de réécrire ceci pour trouver \(\omega_2.\)
$$\begin{aligned}{\omega_{2}} &= \frac{I_1{\omega_{1}}{I_2} \\ xml-ph-0000@deepl.internal {\omega_{2}} &= \frac{\left(1.5\,\mathrm{kg\,m^2}\right)\left(2.0\,\mathrm{\frac{rev}{s}}\right)}{0.5\,\mathrm{kg\,m^2}} \\N-\N-omega_2 &= 6.0\N- \Nmathrm{\Nfrac{rev}{s}}\N- end{aligned}$$
Supposons que nous voulions placer une fusée sur une orbite elliptique autour de Mars. Le point le plus proche de Mars pour la fusée est \N5 fois 10^6, \Nmathrm{m} \Net elle se déplace à \N10 fois 10^3, \Nmathrm{\Nfrac{m}{s}} \Nmathrm{m{s} \N.) Le point le plus éloigné de la fusée par rapport à Mars se trouve à 2,5 fois 10^7 \Nmathrm{m} \Ns}). Quelle est la vitesse de la fusée au point le plus éloigné ? Le moment d'inertie d'une masse ponctuelle est \N( I=mr^2 \N).
La conservation du moment angulaire stipule que :
$$I_1{\omega_{1}}= I_2{\omega_{2}}$$
En supposant que notre satellite est minuscule par rapport au rayon de son orbite en tout point, nous le traitons comme une masse ponctuelle, donc \( I=mr^2 \). Rappelons que \( \omega=\frac{v}{r} \) aussi bien, donc notre équation devient :
$$\begin{aligned}I_1{\omega_{1}} &= I_2{\omega_{2}} \\N-mr_{1}v_{1} &= mr_{2}v_{2}\Nend{aligned}$$Les masses des deux côtés s'annulent, donc
$$\begin{aligned}v_2 &= \frac{r_1v_1}{r_2} \\ xml-ph-0000@deepl.internal v_2 &= \frac{\left(5.0\times\,10^6\,\mathrm{m}\right)\left(10\times10^3\,\mathrm{m}\right) }{2.5\times10^7\,\mathrm{\frac{m}{s}}} \\N-v_2 &= 2000\N- \Nmathrm{\Nfrac{m}{s}}\Nend{aligned}$$
Conservation du moment angulaire - Principaux points à retenir
- Le moment angulaire est le produit de l'inertie de rotation et de la vitesse angulaire. Nous exprimons le moment angulaire par \( L=I{\omega} \).
- Le couple est l'effet de rotation d'une force. Si nous avons une distance entre un point de pivot et l'endroit où la force est appliquée, l'ampleur du couple est : \N( \Ntau=rF\sin\Ntheta \N)
- Le moment angulaire est une quantité conservée. Le moment angulaire d'un système est constant dans le temps si le couple externe net exercé sur le système est nul. Nous l'exprimons comme suit : $$\Delta{L}=\frac{\tau_{\mathrm{net}}}{\Delta{t}}=\frac{0}{\Delta{t}}=0.$$
Références
- Fig. 2- Patineur sur glace (https://pixabay.com/photos/sarah-hecken-skater-rink-figure-84391/) par Pixabay ( www.pixabay.com) est sous licence CC0 1.0 Universal.
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