Fonction d'onde

Fonction d'onde de l'électron

L'une des premières grandes avancées de la physique quantique a eu lieu lorsque Erwin Schrödinger a appliqué le concept de fonction d'onde quantique aux électrons d'un atome. Une fonction d'onde quantique décrit la position d'un électron autour du noyau d'un atome. La fonction d'onde n'est pas une orbite précise, mais plutôt un "nuage de probabilité" avec des régions où il est plus ou moins probable de trouver l'électron.

Fig. 1. Image montrant les densités de probabilité d'un électron autour d'un noyau dans un atome d'hydrogène. Plus la couleur est claire, plus l'électron a de chances de se trouver à cet endroit. Cette densité de probabilité est définie par la fonction d'onde \(\Psi\).

Le niveau d'énergie ou l'orbite de l'électron dans l'atome détermine la forme du nuage de probabilité. La figure 1 montre les orbitales d'un électron dans un atome d'hydrogène. L'électron a toutes les chances de se trouver dans les régions claires alors qu'il ne se trouvera jamais dans les régions noires. En outre, les nombres quantiques caractérisent la forme de l'orbite en définissant le moment angulaire et le spin de l'électron. À faible énergie, l'orbite a une forme d'anneau similaire au modèle de Bohr des orbites circulaires. Cependant, à des énergies plus élevées, la forme de ces orbitales devient plus complexe. Ce modèle de fonction d'onde pour les électrons atomiques est l'image la plus précise de l'atome dont nous disposons et a joué un rôle clé dans l'élaboration de notre théorie de la liaison chimique. Par conséquent, l'une des applications les plus importantes de la mécanique quantique est la prédiction des propriétés du tableau périodique.

Graphique de la fonction d'onde

Nous pouvons visualiser le comportement d'une particule quantique à l'aide du graphique de sa fonction d'onde. En examinant l'amplitude du graphique, nous pouvons voir quelles régions sont les plus susceptibles de contenir la particule. L'évolution du graphique au fil du temps indique également comment la particule quantique évolue. Par exemple, regarde le graphique ci-dessous représentant la fonction d'onde d'une particule dans une boîte. La fonction d'onde est une onde stationnaire avec quatre nœuds et trois anti-nœuds. Les nœuds de la fonction d'onde de la particule sont les régions où la probabilité de trouver la particule est la plus faible, tandis que les anti-nœuds sont les régions où la probabilité de trouver la particule est la plus élevée.

Fig.2- Graphique de la fonction d'onde d'une particule piégée dans une boîte. L'onde stationnaire formée montre qu'il existe des zones de forte probabilité et des zones de probabilité nulle, un peu comme les orbitales des électrons dans un atome.

Nous pouvons voir cette distribution de probabilité plus directement en traçant le graphique de la valeur absolue au carré de la fonction d'onde

\N- [|\NPsi(x)|^2\N]

La figure ci-dessous montre le résultat. Sur cette figure, les trois pics clairs correspondent aux anti-nœuds de l'onde stationnaire.

Fig. 3. Le tracé de \(|\Psi(x)|^2\) donne la distribution de la densité de probabilité de la position des particules.

Le graphique de \(|\Psi(x)|^2\) est une distribution de probabilité continue qui donne la densité de probabilité de la particule en chaque point. L'aire sous le graphique dans une certaine région \({a<x<b}\) donne la probabilité de trouver la particule. Cela équivaut à la procédure habituelle de sommation des probabilités dans une distribution de probabilités discrète. Une zone plus grande signifie que la probabilité d'y trouver la particule est plus élevée. Comme on peut s'y attendre, l'augmentation de la taille de la région dans laquelle nous cherchons la particule signifie une plus grande surface sous le graphique et une plus grande chance de trouver la particule.

Normalisation de la fonction d'onde

Nous pouvons imposer certaines contraintes clés à une fonction d'onde pour nous assurer qu'elle décrit les particules physiques en accord avec les expériences. Considérons la recherche d'une particule dans une boîte. Il est évident que la particule doit se trouver quelque part si nous examinons toute la région de la boîte. Mathématiquement, nous disons que la somme des probabilités pour chaque position doit toujours être égale à \(1\). Comme nous l'avons vu dans la section précédente, l'aire sous le graphique de \(|\Psi(x)|^2\) dans une certaine région est équivalente à cette somme de probabilités. Il s'ensuit donc que l'aire totale sous le graphique de \(|Psi(x)|^2\) doit toujours être égale à un. Remarque que cela s'applique à n'importe quelle fonction d'onde. Même si \(\Psi(x)\) s'étend sur un espace infini (comme c'est le cas pour les particules libres), l'aire sous le graphique \(|\Psi(x)|^2\) doit toujours être égale à un.

Cela peut sembler une contrainte énorme sur le nombre de fonctions d'onde physiquement admissibles. Cependant, il est possible de trouver une fonction d'onde physiquement admissible à partir de presque n'importe quelle fonction d'onde en la multipliant par un facteur approprié, connu sous le nom de facteur de normalisation. Considérons un graphique de \(|\Psi(x)|^2\) noté \(A\) pour une fonction d'onde quelconque \(\Psi(x)\). Si l'aire sous la courbe n'est pas égale à un, nous pouvons multiplier \(\Psi(x)\N) par \(\frac{1}{A}\N) pour nous assurer que la nouvelle fonction d'onde est physique.\N[\Psi_N(x)=\frac{1}{A}\Psi(x).\N]

Un tel processus s'appelle la normalisation de la fonction d'onde \(\Psi(x)\N). Incroyablement, il s'avère que la physique décrite par la fonction d'onde normalisée \(\Psi_N(x)\N) est entièrement équivalente à la fonction d'onde originale non normalisée. Cependant, cette procédure de normalisation ne fonctionne que pour les fonctions d'onde où \(0<A<\infty\).

Effondrement de la fonction d'onde

Il est important de garder à l'esprit que la fonction d'onde d'un système détermine la probabilité de trouver le système dans un certain état ou une certaine position lors de la mesure. Cependant, quelque chose d'étrange se produit une fois que nous avons effectué cette mesure. Supposons que nous voulions vérifier les résultats de notre première mesure en effectuant une deuxième mesure peu de temps après. Pour que le résultat de notre première mesure soit valide, cette deuxième mesure doit donner le même résultat. Sinon, il n'y a rien pour confirmer notre mesure initiale. Cela signifie qu'une fois mesuré, un système quantique doit rester dans le même état. Cela a une incidence profonde sur notre compréhension de la fonction d'onde.

Considérons la mesure de la position d'une particule, encore une fois décrite par une fonction d'onde. Au départ, la fonction d'onde est un ensemble de probabilités et d'amplitudes dans l'espace. Cependant, une fois que nous avons effectué une mesure, nous connaissons avec certitude la position de la particule. Appelons cette position \(C\). Toute autre mesure doit toujours retourner \(C\), ce qui fait que la probabilité à \(C\) est de un et de zéro partout ailleurs. Cela signifie que la fonction d'onde devient un pic aigu centré sur \(C\) avec une amplitude nulle partout ailleurs.

Fig. 5. Après avoir mesuré la particule à l'intérieur de la boîte, sa fonction d'onde s'effondre en un seul point illustré ci-dessus comme un pic aigu autour de \(x=1\). La probabilité de trouver la particule à \(x=1\) est maintenant de \(1\).

Nous disons que la mesure a "effondré" la fonction d'onde en un seul point. Cet effondrement de la fonction d'onde démontre la nature mystérieuse des mesures en mécanique quantique. C'est l'un des aspects les plus étranges et les plus controversés de la physique quantique. La physique qui se cache derrière un tel effondrement, et la question de savoir si une telle interprétation physique est même possible, font toujours l'objet d'un débat acharné.