Une balle est lancée à un angle de \(33^\circ\) au-dessus de l'horizontale, comme le montre la figure 3. Si elle a une vitesse initiale de \(20 \, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\), calcule :
- combien de temps la balle passe-t-elle en l'air,
- la hauteur maximale de la projection, et
- le déplacement horizontal maximal.
Utilise \(9,8 \, \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s^2}}\) pour l'accélération due à la gravité.
Fig. 3 - Mouvement d'un projectile à un angle.
Réponse:
Tout d'abord, nous devons trouver le temps de vol \(t\). Cette quantité ne dépend que de la composante verticale du projectile. Avant le lancement et après que la balle ait atteint le sol, elle aura un \(\Delta y = 0\), nous pouvons donc le mettre à zéro dans l'équation suivante :
\begin{align} \Delta y &= v_{0y}t + \frac{1}{2}a_yt^2 \N0&=v_{0y}t + \frac{1}{2}a_yt^2. \Nend{align}
Nous pouvons maintenant utiliser le fait que l'accélération dans la direction verticale est égale à l'accélération due à la gravité \(g\) et les propriétés trigonométriques du triangle formé par \(v_{0y}\) et \ (v_{0}\) pour obtenir l'expression suivante :
\begin{align} (v_0\sin \theta)t+\frac{1}{2}(-g)t^2 &= 0 \frac{1}{2}gt^2 - (v_0 \sin \theta)t &=0 \ t \left ( \frac{1}{2}gt - v_0 \sin \theta \right )&=0. \end{align}
Avant que le projectile ne soit lancé, \(t=0\), cependant, une fois qu'il aura atterri, il sera non nul, nous pouvons donc simplifier l'expression à
\[\frac{1}{2}gt - v_0 \sin \theta=0 .\]
Enfin, il suffit de brancher les valeurs connues :
\begin{align}t&=\frac{2v_0\sin \theta}{g} \N- t&=\frac{2\Ngauche( 20 \N, \Nmathrm{m}}{\Nmathrm{s} \Ndroite )(\Nsin 33^\circ)}{9.8 \Nmathrm{m}}{\Nmathrm{s^2}}} \N- t&=2.2 \N- \N- \N- \N- \N- \NMathrm{s}. \Nend{align}
Deuxièmement, on nous demande de calculer la hauteur maximale de la projection \(\Delta y\), ce qui peut être fait en utilisant
\[v^2=v^2_0+2a(x-x_0).\]
Dans ce cas, nous nous intéressons à la composante y, nous pouvons donc modifier l'expression en
\[v^2_y=v^2_{0y}+2a(y-y_0).\]
Lorsque la balle atteint le point le plus élevé \(v_y\), sa vitesse sera nulle, ce qui entraîne la simplification suivante :
\0 &= v^2_{0y}+2a(\Delta y) \\N -v^2_{0y}&=2a(\Delta y) \N \N \Delta y&= \frac{-v^2_{0y}}{2a}. \Nend{align}
Une fois de plus, nous pouvons utiliser les propriétés trigonométriques pour exprimer le terme supérieur dans nos variables connues et calculer la hauteur maximale de la balle :
\begin{align} y_\mathrm{max}&= \frac{-v^2_{0y}}{2a} \\N-(v_0 \sin \theta)^2}{2(-g)} \N- &= \N-(v_0 \sin \theta)^2}{2(-g)} \N- &= \N-{\nbsp;gauche( 20 \N, \Nfrac{\mathrm{m}}{\nmathrm{s}} \ndroite )^2 (\sin 33^\circ)^2}{\ncdot( 9.8 \N, \nfrac{\mathrm{m}}{\nmathrm{s^2}})) \N- &= 6.1 \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-{s^2}}. \Nend{align}
Enfin, calculons le déplacement horizontal maximal \(\Delta x \). Nous savons que la vitesse est
\[v_x=\frac{\Delta x}{t},\]
qui peut être réarrangée en
\N- [\NDelta x = v_x t.\N]
Nous pouvons utiliser la valeur calculée précédemment pour le temps, et la composante x du terme de vitesse peut être exprimée à l'aide des propriétés trigonométriques et insérée dans l'équation de déplacement :
\begin{align} \Delta x &= (v_0\cos \theta) t \\N &= \N, \Nà gauche ( 20 \N, \Nfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\Nà droite ) (\Ncos 33^\circ)(2.2 \N, \Nmathrm{s})\Nà 37, \Nmathrm{m}. \Nend{align}
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