Lignes équipotentielles

Règles des lignes équipotentielles

Étant donné un ensemble de lignes équipotentielles pour un champ, il existe un certain nombre de propriétés de ce champ qui peuvent être déterminées en analysant les lignes équipotentielles. Par exemple, considérons la définition du champ électrique comme le gradient négatif du potentiel.

\[E(x)=-\frac{\mathrm{d}V(x)}{\mathrm{d}x}.\]

Comme le potentiel est constant partout le long d'une ligne équipotentielle, \(\frac{\mathrm{d}V(x)}{\mathrm{d}x}=0\) partout le long de la ligne, ce qui implique qu'il n'y a pas de composante du champ électrique le long d'une ligne équipotentielle. Cela ne peut être le cas que si les lignes équipotentielles sont perpendiculaires aux lignes de champ électrique en tout point. Sachant cela, nous pouvons construire les lignes de champ à partir des lignes équipotentielles et vice versa, comme nous le verrons plus tard en examinant de plus près certains exemples.

Cette relation entre les lignes de champ et les lignes équipotentielles nous donne une définition des lignes de champ électrique en termes de potentiel. Les lignes de champ électrique sont toujours dirigées de façon à être perpendiculaires aux lignes équipotentielles et à pointer dans la direction de la réduction du potentiel. Nous pouvons également dire quelque chose sur l'ampleur d'un champ électrique en nous basant uniquement sur ses lignes équipotentielles. Chaque équipotentielle indique une valeur du potentiel dans une région, de sorte que la séparation des lignes équipotentielles est une représentation visuelle du gradient du potentiel. Plus les lignes équipotentielles sont proches les unes des autres, plus le gradient sera élevé. Comme la magnitude du champ électrique est équivalente au gradient du potentiel, nous voyons que la séparation des lignes équipotentielles indique l'intensité du champ électrique dans une région.

Utilisons ces règles que nous avons énoncées, pour analyser la ligne équipotentielle de quelques champs électriques clés.

Lignes équipotentielles pour une charge positive unique

L'exemple fondamental d'un champ électrique est celui d'une charge unique, dans ce cas, nous considérerons une charge positive. L'intensité du champ électrique émanant d'une seule charge \N(q\N) suit la loi de Coulomb\N[E(r)=\frac{kQ}{r^2},\N].

où \(k=9 fois10^9\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^2\,\mathrm{C}^{-1}\) est une constante fondamentale connue sous le nom de constante de Coulomb. La loi de Coulomb nous dit que le champ électrique autour d'une charge ponctuelle varie en fonction de la distance radiale par rapport à la charge. Les lignes de champ électrique d'un champ radial, comme le montre la figure 2, s'étendent à partir d'un seul point et sont beaucoup plus proches les unes des autres à faible distance de la charge et beaucoup moins denses plus loin. Cela montre comment l'intensité du champ diminue en s'éloignant de la charge.

Fig. 2 - Une charge positive unique produit des lignes de champ qui s'étendent radialement vers l'extérieur à partir de la charge source. Note que les lignes de champ sont plus proches les unes des autres à proximité de la charge, car le champ est le plus fort et le plus proche de la source.

Nous pouvons construire les lignes équipotentielles de ce champ en utilisant les règles que nous avons énoncées dans la section précédente. Comme les lignes équipotentielles doivent être partout perpendiculaires aux lignes de champ, elles doivent être des cercles de rayon fixe, ce rayon augmentant au fur et à mesure que l'on s'éloigne de la charge. Ceci peut être considéré comme une conséquence de la symétrie radiale du champ, les points situés à une distance radiale égale de la charge ont le même champ et le même potentiel.

Ces lignes équipotentielles sont représentées sur la figure 3.

Fig. 3 - Les lignes équipotentielles, ou isolignes, d'un champ électrique radial sont des cercles concentriques de rayons croissants. Ces cercles sont partout perpendiculaires aux lignes de champ.

On peut le voir mathématiquement en intégrant le champ électrique pour trouver\[\begin{align}V&=-\int \frac{kQ}{r^2}\mathrm{d}r\\N-&=\frac{kQ}{r}+C.\Nend{align}\N].

où \(C\) est juste le choix du potentiel de référence et peut être pris pour zéro. Le potentiel varie donc aussi radialement, et les lignes équipotentielles sont donc des trajectoires de rayon fixe à partir de la charge, comme nous l'avons vu sur la figure 3.

Lignes équipotentielles d'un dipôle

Un dipôle électrique désigne un système de deux charges opposées séparées par une certaine distance. Par exemple, un simple atome d'hydrogène est un dipôle électrique composé d'un électron chargé négativement en orbite autour d'un proton chargé positivement. La force entre un dipôle est à nouveau définie par la loi de Coulomb comme\[F=\frac{kq_1q_2}{r^2}.\N].

Cependant, nous pouvons également considérer l'effet de ce dipôle sur une troisième charge d'essai en établissant les lignes de champ autour d'un dipôle. Note que le champ électrique est une quantité additive. Cela signifie que le champ électrique total d'un dipôle est donné par la somme des champs électriques de chaque charge. En utilisant ce que nous savons sur les charges simples dans la section précédente, le champ électrique autour d'un dipôle est le suivant

Fig. 4 - Deux charges \(q_1,q_2\) se combinent pour former un dipôle électrique. La force entre elles est déterminée par la distance \(r\) tandis que le champ électrique autour d'elles est déterminé par les deux \(r_1,r_2\).

\[E(r_1,r_2)=\frac{kq_1}{r_1^2}+\frac{kq_2}{r_2^2}.\]

Où \(r_1\) est la distance de \(q_1\) et \(r_2\) est la distance de \(q_2\). Si nous considérons l'exemple simple de deux charges d'égale magnitude \N(q\N) mais de signes opposés, comme l'atome d'hydrogène, alors cela se simplifie à\N[E(r_1,r_2)=kq\left(\frac{1}{r_1^2}-\frac{1}{r_2^2}\Nright). \N]Ce champ électrique produit les lignes de champ illustrées dans le tableau ci-dessous.

Ce champ électrique produit les lignes de champ illustrées sur la figure 5.

Fig. 5 - Les lignes de champ électrique autour d'un dipôle sont représentées en noir, tandis que les lignes équipotentielles sont représentées en vert.

Remarque que les lignes de champ électrique ne sont plus radialement symétriques mais forment une boucle fermée, de sorte que chaque ligne de champ commence à la charge positive et se termine à la charge négative. Ainsi, la charge positive est une source de lignes de champ et la charge négative est un puits .

Les lignes équipotentielles du dipôle sont également visibles sur la figure 5, en vert. Cette fois, il s'agit de trajectoires elliptiques autour de chaque charge, qui ne sont plus circulaires en raison de l'influence de l'autre charge. Il existe également une ligne équipotentielle de charges nulles le long de la ligne \N(r_1=r_2\N), comme on peut le voir du fait que le potentiel suit l'équation\N[V(r_1,r_2)=kq\Nà gauche(\Nfrac{1}{r_1}-\Nfrac{1}{r_2}\Nà droite).\N].

Lignes équipotentielles pour les plaques parallèles

Pour le dernier exemple de champ électrique, nous allons examiner les lignes équipotentielles entre des plaques parallèles. Le champ entre des plaques parallèles est très différent de celui d'une charge unique ou d'un dipôle, car il s'agit d'un champ électrique uniforme.

Le fait que l'intensité du champ électrique soit constante partout est représenté par des lignes de champ parallèles les unes aux autres et régulièrement espacées. La raison de cette uniformité est illustrée par la figure 6. Si l'on considère que les plaques parallèles sont formées d'une rangée de charges ponctuelles individuelles, il s'ensuit que toute composante verticale des lignes de champ, c'est-à-dire pointant parallèlement à la surface de la plaque, sera annulée par les lignes de champ des charges ponctuelles voisines. Il ne reste donc qu'un ensemble de lignes de champ parallèles et régulièrement espacées allant de la plaque positive à l'autre.

Fig. 6 - Le champ électrique entre des plaques parallèles est constitué de lignes de champ parallèles régulièrement espacées, comme on peut le voir en considérant les plaques comme une colonne de charges ponctuelles.

Les lignes équipotentielles dans un champ uniforme sont particulièrement simples à trouver, car étant donné qu'elles doivent être perpendiculaires aux lignes de champ, il s'ensuit qu'elles sont également un ensemble de lignes mutuellement parallèles équivalentes aux lignes de champ mais tournées de \(90^{\circ}\). Comme l'intensité du champ électrique est constante, le gradient du potentiel l'est aussi, et la séparation des lignes équipotentielles est donc constante. En utilisant ces propriétés, nous pouvons facilement construire les lignes équipotentielles, comme le montre la figure 7.

Fig. 7 - Les lignes équipotentielles dans un champ uniforme sont des lignes parallèles régulièrement espacées, comme les lignes de champ, mais simplement tournées de \(90^{\circ}\rm{deg}\r}).