Potentiel électrique dû au dipôle

Potentiel dû à un dipôle en tout point

Avant de calculer le potentiel électrique dû à un dipôle électrique en un point, il est essentiel de comprendre ce qu'est un potentiel électrique et un dipôle électrique individuellement. Commençons donc par un dipôle électrique.

La mesure de la force d'un dipôle électrique est donnée par le moment dipolaire \(\vec{p}\). Il s'agit d'une quantité vectorielle dont la direction va de la charge négative à la charge positive le long de la longueur du dipôle.

Considérons deux charges ponctuelles \(+q\) et \(-q\) séparées par une certaine distance, disons \(2a\).

Fig. 2 - Le moment dipolaire électrique d'un dipôle électrique pointe d'une charge négative \(-q\) vers une charge positive \(+q\).

L'amplitude du moment dipolaire électrique d'un dipôle illustré dans le diagramme est de [\left|\vec{p}\right|=2qa,\N] et son unité SI est le coulomb-mètre \N(\left(\mathrm{C\N,m}\Nright)\N).

Maintenant, apprenons ce qu'est un potentiel électrique et pourquoi il est important de connaître le potentiel électrique dû à un dipôle.

Un potentiel électrique détermine la direction du flux de charge. Une charge électrique positive accélère toujours d'un potentiel élevé à un potentiel faible. Le flux de charge s'arrête dès que le gradient de potentiel devient nul.

Imaginons une charge ponctuelle \(+q\) en un point O. Le potentiel électrique au point qui est à une distance de \(r\) du point O est la quantité de travail effectuée en déplaçant par unité de charge positive pour la déplacer de l'infini au point P contre la force électrostatique de répulsion:\[V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r}.\N].

Fig. 3 - Le potentiel électrostatique au point P indique le travail que tu dois fournir pour déplacer une charge positive unitaire de \(+1,\mathrm{C}\) de l'infini vers le point P contre la force électrostatique de répulsion due à la charge ponctuelle \(+q\).

Un point infini est considéré comme un point de référence où la valeur du potentiel électrique est nulle. La charge positive unitaire illustrée dans la figure 3 passe d'un potentiel nul à une valeur positive du potentiel.

Tout ce qui existe dans le monde réel est fait de matière, et la matière contient des atomes ou des molécules qui sont électriquement neutres. Une molécule a un noyau chargé positivement et des électrons chargés négativement. Si le centre des charges positives ne coïncide pas avec le centre des charges négatives, la molécule se comporte comme une molécule polaire, un dipôle électrique. L'espace autour duquel l'effet électrique d'un dipôle peut être ressenti s'appelle le champ dipolaire. Lorsqu'une charge est placée dans cet espace, elle subit une force électrique.

Dans la partie suivante, nous allons calculer la formule du potentiel électrique dû à un dipôle.

Dérivation du potentiel électrique dû à un dipôle

Imagine deux charges égales et différentes \(-q\) et \(+q\) séparées par une distance \(2a\). Le moment dipolaire de ce dipôle électrique est \N(\Ngauche|\vec{p}\Ndroite|=q2a\N). Soit P un point d'observation où nous calculerons le potentiel électrique dû à ce dipôle électrique.

Fig. 4 - La figure montre un point d'observation P à une distance de \(r\) du centre d'un dipôle, c'est-à-dire du point O, de sorte que son vecteur position fait un angle de \(\theta\) avec la longueur du dipôle.

D'après le diagramme ci-dessus,

1. Le vecteur position de P par rapport au centre du dipôle est \(\vec{\text{OP}}=\vec{r}\),

2. \(\angle \text{BOP}=\theta\),

3. La distance entre P et les extrémités du dipôle, c'est-à-dire A et B, est de \(\text{AP}=r_1\) et \(\text{BP}=r_2\).

Le potentiel électrique au point P dû à une charge \(-q\) au point A est \[V_1=-\frac{q}{4\pi\epsilon_0r_1}\tag{1}\] De même, le potentiel électrique au point P dû à une charge \(+q\) au point B est \[V_2=\frac{q}{4\pi\epsilon_0r_2}.\En utilisant le principe de superposition, le potentiel électrique au point P dû aux deux charges aux points A et B est \[V=V_1+V_2.\N- En substituant les valeurs des équations (1) et (2) dans l'équation ci-dessus, \N-[\N-{begin{align*}V&=-\frac{q}{4\pi\epsilon_0r_1}+\frac{q}{4\pi\epsilon_0r_2}\N-{\N-{\N-{\N-{\N-{\N-{\N-{\N-{\N-{\N-{\N-{\N-}V&=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}{\left(-\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_2}\right)}\\ xml-ph-0000@deepl.internal V&=\frac{q}{4\pi\epsilon_0}{\left(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_1}\right)}.\tag{3}\end{align*}\]

Cette équation donne la valeur du potentiel électrique dû à un dipôle. Dans la prochaine partie, nous obtiendrons la formule du potentiel électrique dû à un dipôle qui peut être utilisée dans le cas axial (lorsque le point d'observation se trouve sur la ligne parallèle à la longueur du dipôle) et équatorial (lorsque l'observation se trouve sur la ligne perpendiculaire à la longueur du dipôle).

Formule du potentiel électrique dû à un dipôle

Nous avons maintenant établi notre équation pour le potentiel électrique d'un dipôle comme suit

\[ V = \frac{p}{4 \pi \epsilon_0 r^2}\cos{\left(\theta\right)},\]

où \(p\) est le moment dipolaire électrique mesuré en \(\mathrm{C\, m}\), \(V\) est le potentiel électrique mesuré en unités de volts \(\mathrm{V}\), \(\epsilon_0\) est la permittivité de l'espace libre avec une valeur de \( 8.85 fois 10^{-12} \, \mathrm{\frac{F}{m}}\), et \(\theta\) est l'angle entre le point et le dipôle mesuré en \(\mathrm{rads}\).

Potentiel électrique dû à un dipôle sur une ligne axiale

Imagine un point d'observation P sur la ligne, passant par les deux extrémités du dipôle.

Fig. 5 - Point d'observation P sur la ligne passant par les deux extrémités d'un dipôle tel que l'angle entre le vecteur position de P par rapport au centre du dipôle et la longueur du dipôle est \(0^\circ\).

Comme l'angle entre OP et AB est de \(0^\circ\N), le potentiel électrique dû à un dipôle au point P, dans ce cas, est \[\cbegin{align*}V_{\mathrm{axial}}&].=\frac{p}{4\pi\epsilon_0r^2}\cos{0^\circ}\\ xml-ph-0000@deepl.internal V_{\mathrm{axial}}&=\frac{p}{4\pi\epsilon_0r^2} xml-ph-0001@deepl.internal \end{align*}\] or \[V_{\mathrm{axial}}=\frac{q2a}{4\pi\epsilon_0r^2}.\] Cette équation ci-dessus donne un potentiel électrique dû à un dipôle sur la ligne axiale.

L'équation montre que :

1. le potentiel électrique dû à un dipôle est maximal sur la ligne axiale,

2. le potentiel électrique varie inversement au carré de la distance entre un point d'observation et le centre du dipôle,

3. le potentiel électrique varie directement avec la longueur du dipôle,

4. le potentiel électrique varie directement avec l'intensité de la charge de part et d'autre du dipôle.

Potentiel électrique dû à un dipôle sur une ligne équatoriale

Imagine qu'un point d'observation P se trouve sur la ligne perpendiculaire à la longueur du dipôle.

Fig. 6 - Point d'observation P sur la ligne perpendiculaire à la longueur d'un dipôle électrique tel que l'angle entre son vecteur position à partir du centre du dipôle et la longueur du dipôle est \(90^\circ\)

D'après la figure ci-dessus, l'angle entre OP et AB est \(90^\circ\). Ainsi, le potentiel électrique dû à un dipôle au point P, dans ce cas, est \[\begin{align*}V_{\mathrm{eq}}&=\frac{p}{4\pi\epsilon_0r^2}\cos{90^\circ}\\V_{\mathrm{eq}}&=0\end{align*}\]. L'équation ci-dessus montre que le potentiel électrique dû à un dipôle sur une ligne équatoriale est nul. C'est logique car la distance à l'une ou l'autre charge est la même sur cette ligne, de sorte que le point subit des tensions égales mais opposées dues à ces charges.