Potentiel électrique dû à une charge ponctuelle

Définition du potentiel électrique dû à une charge ponctuelle

Nous savons qu'en réalité, les particules chargées comme les protons et les ions ont une taille définie et occupent un certain volume dans l'espace. Il peut s'agir d'une valeur minuscule, mais elle existe bel et bien. Pour faciliter la compréhension de cet article, nous allons supposer que toutes les charges n'occupent qu'un seul point dans l'espace. Nous appellerons ces objets des charges ponctuelles. Nous savons que toute particule chargée possède un champ électrique, ce qui n'est pas différent pour les charges ponctuelles. Les lignes de champ électrique pour les charges ponctuelles sont radiales et pointent vers l'intérieur ou vers l'extérieur de la charge (selon le signe de la charge). Nous devons définir une nouvelle quantité, le potentiel électrique, et nous le ferons pour une charge ponctuelle en particulier.

Nous pouvons simplement l'écrire mathématiquement sous la forme suivante : [V=\frac{W}{q}.\N] Les points adjacents qui ont un potentiel électrique égal forment des lignes d'équipotentialité, également appelées isolignes.

Formule du potentiel électrique dû à une charge ponctuelle

Si deux points se trouvent sur la même isoligne, aucun travail n'est effectué pour déplacer une particule chargée entre ces points. Les isolignes produites par des charges ponctuelles forment des cercles concentriques centrés sur la charge. Il est clair que le potentiel \(V\) est lié à la distance \(r\) de la charge \(q\). En fait, \[V=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q}{r},\] où \(\varepsilon_0\) est une constante connue sous le nom de permittivité de l'espace libre et a la valeur \(\varepsilon_0 = 8.85\times10^{-12}\\Nmathrm{F\Nm^{-1}}.\L'unité SI de mesure du potentiel est le \(\text{volt, V,}\) qui est équivalent au \(\text{joule par coulomb, } \mathrm{J\,C^{-1}}.\N- Un graphique du potentiel dû en fonction de la distance, dû à une charge positive et dû à une charge négative, est représenté sur la figure 1 ci-dessous.

Fig. 1 - Un graphique du potentiel électrique en fonction de la distance montre une relation inverse pour une charge positive et la courbe est inversée autour de l'axe de la distance pour une charge négative.

Le graphique prend une forme hyperbolique représentant la chute du potentiel à mesure que la distance augmente. Il est inversé autour de l'axe des distances pour une charge négative. Cela ressort des expressions mathématiques, tout d'abord pour une charge positive, \[V_{+}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{+q}{r},\] et ensuite pour une charge négative, \[V_{-}=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{-q}{r}.\]

Nous pouvons également relier le potentiel électrique à l'amplitude moyenne du champ électrique \(\left|\vec{E}\right|\) comme suit, \[\left|\vec{E}\right|=\left|\frac{\Delta V}{\Delta r}\right|.\L'amplitude moyenne du champ électrique entre deux points est égale à l'amplitude du changement de potentiel électrique \(\Delta V\) divisée par le changement de position entre ces points \(\Delta r\) dans le champ. Le changement de potentiel \(\Delta V\) entre deux points est également appelé la différence de potentiel entre ces points.

Dérivation de la formule du potentiel électrique dû à une charge ponctuelle

Nous pouvons déduire l'équation ci-dessus en considérant l'exemple de deux charges positives \(q\N) et \N(Q\N) séparées par une distance \N(r.\N) Ceci est représenté dans la Fig. 2 ci-dessous.

Fig. 2 - La force électrique entre deux charges peut être utilisée pour trouver le potentiel électrique dû à l'une des charges.

La force \(F_{qQ}\) que la charge \(q\) exerce sur \(Q\) est égale et opposée à la force \(F_{Qq}\) que la charge \(Q\) exerce sur \(q.\) Nous pouvons appeler la magnitude de cette force \(F.\N- D'après la loi de Coulomb, \N[F=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{qQ}{r^2},\] et l'énergie potentielle électrique \(E_\mathrm{P}\) est la même que le travail effectué \(W\) pour amener deux charges à des points où leur séparation est \(r,\) \[E_\mathrm{P}=W=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{qQ}{r}.\La définition du potentiel électrique nous indique que le travail effectué par unité de charge pour amener la charge \(Q\) de l'infini à une distance \(r\) de la charge \(q\) est donné par \[\big{align}V&=\frac{W}{Q}\&=\frac{1}{\cancel{Q}}]. \cdot \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{q\cancel{Q}}{r}\&=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\frac{q}{r}, \end{align}\] qui est la même que la première équation énoncée ci-dessus.

Diagramme du potentiel électrique dû à une charge ponctuelle

Si nous avons un champ électrique uniforme, nous savons que les lignes de champ électrique seront parallèles entre elles et pointeront dans la même direction. Cette direction est déterminée par le signe de la charge à la surface de l'objet qui génère le potentiel. L'équation du potentiel électrique nous indique qu'à différentes distances \(r\) de la surface, il y aura différents potentiels. Cependant, le long d'une ligne parallèle à la surface, le potentiel sera constant, car tous les points de cette ligne sont équidistants de la surface. Ces lignes de potentiel constant sont appelées isolignes et pour un champ uniforme, elles apparaissent comme sur la Fig. 3 ci-dessous.

Fig. 3 - Les lignes de champ pour un champ électrique uniforme sont parallèles les unes aux autres. Les lignes d'équipotentialité ou isolignes sont également parallèles entre elles mais sont perpendiculaires aux lignes de champ à tout moment.

Note que les isolignes sont toujours perpendiculaires aux lignes de champ. C'est toujours nécessaire car toute composante du champ électrique le long de la direction d'une isoligne provoquera une force électrique sur une charge le long de cette ligne. Un travail serait effectué le long de cette isoligne et le potentiel ne resterait pas constant, ce qui ne peut pas se produire.

Le scénario est différent pour une charge ponctuelle. Les lignes de champ seraient radiales mais nous exigerions que les isolignes leur soient toujours perpendiculaires. Les isolignes formeraient donc des cercles concentriques centrés sur la charge ponctuelle \(q.\) La figure 4 ci-dessous montre les lignes de champ et les isolignes dues à une charge ponctuelle positive.

Fig. 4 - Les lignes du champ électrique d'une charge ponctuelle positive pointent radialement vers l'extérieur. Les isolignes sont toujours perpendiculaires aux lignes de champ et forment donc des cercles concentriques centrés sur la charge.

Les isolignes circulaires signifient que le potentiel est constant le long d'une trajectoire circulaire de rayon \(r\) entourant la charge ponctuelle. Si l'on raisonne de façon tout à fait classique et que l'on suppose que les électrons gravitent autour du noyau d'un atome sur une trajectoire circulaire, cela expliquerait pourquoi le noyau ne travaille pas sur les électrons.

Potentiel électrique dû à une charge ponctuelle : Exemples

Maintenant que nous avons vu comment le potentiel électrique d'une charge ponctuelle varie en fonction de la distance, nous pouvons nous pencher sur quelques exemples relatifs à ce concept.

Nous pouvons maintenant passer à des exemples un peu plus complexes.

Enfin, nous pouvons voir comment une différence de potentiel entre deux points affecte l'ampleur du champ électrique dans cette région.