Collisions élastiques

Définition de la collision élastique

Les collisions élastiques sont des collisions dans lesquelles l'énergie cinétique totale reste la même avant et après la collision. Cependant, les énergies cinétiques des objets individuels peuvent changer.

Types de collisions élastiques

Cible stationnaire

Comme dans l'exemple du billard, une boule en mouvement peut frapper une boule stationnaire et la faire bouger également. Une balle en mouvement a une certaine vitesse et possède donc de l'énergie cinétique. Lorsqu'elle frappe une boule immobile, elle transfère une partie de son énergie à l'autre boule. Cela signifie que l'énergie cinétique de la balle en mouvement diminue et que l'énergie cinétique de la balle immobile augmente.

Cible mobile

Lorsque les deux objets sont en mouvement et se heurtent l'un l'autre, une collision élastique peut encore se produire. L'énergie cinétique totale et l'élan seront toujours conservés, mais les formules pour les vitesses finales seront différentes du cas de la cible stationnaire.

Formule des collisions élastiques

Cas d'une cible immobile

Après qu'une balle en mouvement ait heurté une balle immobile, elle transfère une partie de son énergie cinétique à l'autre. Elles peuvent toutes deux avoir une vitesse finale après la collision. StudySmarter Originals

Lorsqu'un objet de masse \(m_1\) et de vitesse initiale \(V_{1i}\) heurte une boule stationnaire de masse \(m_2\), l'objet de masse \(m_1\) a une vitesse finale \(V_{1f}\) et l'objet de masse \(m_2\) a une vitesse finale \(V_{2f}\). La quantité de mouvement linéaire nette est conservée, c'est pourquoi la quantité de mouvement totale reste la même avant et après la collision.

L'équation de la conservation de la quantité de mouvement linéaire peut être écrite comme suit :

Équation 1 : \(m_1V_{1i}=m_1V_{1f}+m_2V_{2f}\)

L'équation de la conservation de l'énergie cinétique peut être écrite comme suit :

Equation 2 : \(\frac 1 2 m_1(V_{1i})^2=\frac 1 2 m_1(V_{1f})^2+\frac 1 2m_2(V_{2f})^2\)

Pour trouver les vitesses finales, nous pouvons faire un peu d'algèbre. Nous pouvons convertir l'équation de la quantité de mouvement en :

Equation 3 : \(m_1V_{1i}-m_1V_{1f}=m_2V_{2f}\)

Puisque \(m_1\) est commun du côté gauche, nous pouvons réarranger l'équation :

Équation 4 : \(m_1(V_{1i}-V_{1f})=m_2V_{2f}\)

Nous pouvons également réarranger l'équation de l'énergie. Tout d'abord, nous pouvons multiplier l'équation par 2.

Équation 5 : \(m_1(V_{1i})^2=m_1(V_{1f})^2+m_2(V_{2f})^2\)

Nous pouvons déplacer \(m_1(V_{1f})^2\) vers le côté gauche.

Equation 6 : \(m_1(V_{1i})^2-m_1(V_{1f})^2=m_2(V_{2f})^2\)

Puisque \(m_1\) est commun au côté gauche, nous pouvons maintenant réarranger l'équation :

Equation 7 : \(m_1((V_{1i})^2-(V_{1f})^2)=m_2(V_{2f})^2\)

Comme nous soustrayons deux éléments qui sont sous forme de carré, nous pouvons la réécrire comme suit :

Equation 8 : \(m_1(V_{1i}+V_{1f})(V_{1i}-V_{1f})=m_2(V_{2f})^2\)

Après avoir divisé l'équation 8 par l'équation 4, puis réarrangé, nous pouvons trouver les formules de collision élastique pour le cas de la cible stationnaire.

$$V_{1f}=\frac {m_1-m_2}{m_1+m_2}V_{1i}$$

$$V_{2f}=\frac {2m_1}{m_1+m_2}V_{1i}$$

Cas de la cible mobile

Les deux boules mobiles avec des vitesses peuvent avoir des vitesses finales différentes après une collision élastique. L'énergie cinétique totale est toujours conservée. StudySmarter Originals

Lorsqu'un objet de masse \(m_1\) et de vitesse initiale \(V_{1i}\) heurte une balle de masse \(m_2\) et de vitesse initiale \(V_{2i}\), l'objet de masse \(m_1\) a une vitesse finale \(V_{1f}\) et l'objet de masse \(m_2\) a une vitesse finale \(V_{2f}\).

Nous pouvons écrire l'équation de conservation de la quantité de mouvement comme suit :

Équation 10 : \(m_1V_{1i}+m_2V_{2i}=m_1V_{1f}+m_2V_{2f}\)

Nous pouvons écrire la conservation de l'énergie cinétique comme suit :

Equation 11 : \(\frac 12m_1(V_{1i})^2+\frac 12m_2(V_{2i})^2=\frac 12m_1(V_{1f})^2+\frac 12m_2(V_{2f})^2\)

Nous pouvons réarranger l'équation 10 :

Equation 12 : \(m_1V_{1i}-m_1V_{1f}=m_2V_{2f}-m_2V_{2i}\)

Equation 13 : \(m_1(V_{1i}-V_{1f})=-m_2(V_{2i}-V_{2f})\)

Nous pouvons également réarranger l'équation 11 :

Equation 14 : \(m_1(V_{1i}-V_{1f})(V_{1i}+V_{1f})=-m_2(V_{2i}-V_{2f})(V_{2i}+V_{2f})\)

Nous pouvons diviser l'équation 14 par l'équation 13 et la réarranger pour obtenir les formules des vitesses finales des objets :

$$V_{1f}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}V_{1i}+\frac{2m_2}{m_1+m_2}V_{2i}$$

$$V_{2f}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}V_{1i}+\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}V_{2i}$$

Équation de collision élastique

Pour le cas de la cible stationnaire, nos équations de vitesse sont :

$$V_{1f}=\frac {m_1-m_2}{m_1+m_2}V_{1i}$$

$$V_{2f}=\frac {2m_1}{m_1+m_2}V_{1i}$$

Pour le cas de la cible mobile, nos équations de vitesse finale sont différentes :

$$V_{1f}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}V_{1i}+\frac{2m_2}{m_1+m_2}V_{2i}$$

$$V_{2f}=\frac{2m_1}{m_1+m_2}V_{1i}+\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}V_{2i}$$

Exemples de collisions élastiques