Énergie des oscillateurs harmoniques simples

Définition de l'énergie dans le mouvement harmonique simple

Tout comme l'énergie cinétique et l'énergie potentielle, il existe aussi une énergie qui provient du mouvement harmonique simple. En outre, je dois expliquer d'emblée une distinction essentielle. Tout au long de cet article, j'utiliserai indifféremment les mots "mouvement harmonique simple" et "oscillateur harmonique simple". Cependant, ils ne sont pas interchangeables. Un oscillateur harmonique simple est un objet qui subit un mouvement harmonique simple. L'oscillateur est l'objet, et le mouvement fait référence au mouvement oscillatoire réel. Mais pour comprendre ces deux concepts, nous devons d'abord définir les forces de rappel.

Les forces de rappel

L'univers aime être en équilibre ; il veut être équilibré. L'univers a des lois pour corriger le déséquilibre chaque fois que quelque chose perturbe cet équilibre. L'une de ces lois consiste à rétablir les forces. Lorsqu'un objet est en équilibre, tout va bien. Pour citer le film Lego, "Tout est génial !" Mais une fois que cet objet s'éloigne de l'équilibre, celui-ci a été détruit et l'univers se met en colère.

Une force de rappel est une force qui agit sur cet objet pour le remettre dans sa position d'équilibre : le remettre en équilibre. C'est la raison pour laquelle la force de rappel agit toujours à l'opposé du déplacement d'un objet ; elle essaie de remettre l'objet à sa juste place. Cette "bonne place" est la position d'équilibre.

Pour l'énergie dans un mouvement harmonique simple, la position d'équilibre est l'endroit où il n'y a pas d'énergie lorsque l'objet est immobile parce qu'il n'y a pas de forces nettes sur l'objet ou le système.

Fig. 2 - Le point B est l'équilibre : l'endroit où le déplacement \(x=0\) et les forces nettes agissant sur l'objet \(F_\text{net} = 0\).

L'énergie dans le mouvement harmonique simple et sa dérivation

Avant d'aborder l'énergie des oscillateurs harmoniques simples, nous devons parler du mouvement harmonique simple, un type de mouvement périodique.

Le mouvement harmonique simple se produit lorsque l'ampleur d'une force de rappel exercée sur un objet est proportionnelle au déplacement de cet objet par rapport à sa position d'équilibre.

L'équation dérivée du mouvement harmonique simple est donnée par :

$$ma_x = -k\Delta x$$$

où \(m\) est la masse, \(a_x\) est l'accélération dans la direction horizontale, \(k\) est la constante de l'oscillateur harmonique, et \(\Delta x\) est le déplacement.

Formule de l'énergie du mouvement harmonique simple

L'énergie mécanique d'un mouvement harmonique simple est la somme de ses énergies potentielle et cinétique :

$$E_\text{tot} = U + K$$

où \(E_\text{tot}\) est l'énergie mécanique totale, \(U\) est l'énergie potentielle, et \(K\) est l'énergie cinétique.

Fig. 3 - Cette image montre que l'énergie potentielle et l'énergie cinétique ont une relation inverse, c'est-à-dire que lorsque l'une diminue, l'autre augmente. Mais, en raison de la conservation de l'énergie, leur combinaison ne peut pas dépasser l'énergie totale du système.

Comme tu peux le voir dans l'équation et le graphique ci-dessus, l'énergie potentielle et l'énergie cinétique ont une relation assez difficile. Plus il y a d'énergie potentielle, moins il doit y avoir d'énergie cinétique pour que l'énergie totale reste équilibrée. Le mouvement harmonique simple n'est rien d'autre qu'un exercice d'équilibre.

La conservation de l'énergie régit cet équilibre. Pour que l'énergie soit conservée, l'énergie totale d'un système isolé avec un mouvement harmonique simple doit être constante. Par conséquent, pour maintenir l'équilibre, l'énergie potentielle est maximale lorsque l'énergie cinétique est minimale. De plus, l'énergie cinétique est maximale lorsque l'énergie potentielle est minimale. Si l'une augmente, l'autre doit diminuer, sinon l'énergie ne restera pas constante : c'est une relation très conflictuelle.

Nous pouvons considérer le mouvement harmonique en termes d'énergie potentielle. L'énergie potentielle est l'énergie inhérente à un objet en fonction de sa position par rapport à un autre objet. Par conséquent, si mes deux objets sont une balle et la terre, plus j'éloigne la balle de la surface de la terre, plus elle gagne en énergie potentielle. Ce phénomène est similaire à l'énergie stockée dans les oscillateurs harmoniques simples. Plus l'objet est éloigné de son point d'équilibre, plus l'énergie potentielle maximale qu'il peut éprouver augmente, ce qui améliore son énergie totale.

$$E_\text{total} = \frac{1}{2}\k A^2$$

est l'équation que nous utilisons pour décrire l'énergie d'un système objet-ressort avec \(E_\text{total}\) comme énergie totale du système, \(k\) comme constante du ressort, et \(A\) comme amplitude.

Fig. 4 - Un ressort est un parfait exemple d'oscillateur harmonique simple qui présente un mouvement harmonique simple.

Exemple d'énergie dans un mouvement harmonique simple

Maintenant, armé de toutes ces connaissances sur le mouvement harmonique simple, faisons quelques exemples.

Dérivation de l'énergie dans le mouvement harmonique simple

Tout d'abord, nous allons dériver l'équation du mouvement harmonique simple d'un ressort.

Exemple 2

Nous allons maintenant utiliser cette équation pour trouver l'énergie d'un système ressort-objet.

Enfin, nous avons atteint le bas d'un long escalier ; voici les connaissances essentielles pour l'énergie des oscillateurs harmoniques simples.