La deuxième loi de Newton en forme angulaire

Couple et force

Le couple est l'analogue rotatif de la force, car il s'agit de la mesure de la force nécessaire pour qu'un objet commence à tourner autour d'un axe. Comme dans le mouvement linéaire où une force provoque l'accélération d'un objet, le couple provoque l'accélération angulaire d'un objet.

Le couple peut être défini par trois formules.

1. Formule du produit en croix,
2. Formule de l'amplitude,
3. la formule de la deuxième loi de Newton.

Formule du produit en croix

La définition du produit en croix du couple est exprimée par l'équation suivante

$$\vec{\tau}=\vec{r} \contre \vec{F}$$$

où \N( \Nvec{r} \N) est lebras de levier mesuré en \N( \Nmathrm{m} \N) et \N( \Nvec{F} \N) est la force appliquée mesurée en \N( \Nmathrm{N}. \N).

Il est important de reconnaître que le produit en croix est un autre terme pour le produit vectoriel, indiquant que \( r \N) et \( F \N) sont tous deux des quantités vectorielles.

Formule de la grandeur

Grâce au produit en croix, la définition de l'ampleur du couple est exprimée par l'équation suivante

$$\tau=rF\sin\theta$$$

où \N ( r \N) est le bras de levier, \N ( F \N) est la force appliquée, et \N( \Ntheta \N) est l'angle entre le bras de levier et la force appliquée. Les variables, \N ( r \N) et \N( F \N), ne représentent plus des vecteurs mais correspondent plutôt à la magnitude de chaque vecteur.

Accélération angulaire et accélération linéaire

L'accélération angulaire est l'équivalent rotationnel de l'accélération linéaire.

Cette relation est exprimée par la formule \( a=\alpha{r} \) qui peut être réécrite comme \( \alpha=\frac{a}{r} \) où \( r \) représente le rayon.

La formule mathématique correspondant à cette définition est

$$\alpha=\frac{\Delta{\omega}}{\Delta{t}}$$ où \( \omega \) est la vitesse angulaire et \( t \) le temps.

Moment d'inertie et masse

L'analogue rotatif de la masse est l'inertie. Le moment d'inertie d'un objet décrit la façon dont la masse est répartie par rapport à l'axe de rotation. La masse, quant à elle, décrit la quantité de matière contenue dans un objet.

Lesformules concernant lemoment d' inertie d' un objet varient en fonction de la forme de l'objet. Par exemple, le moment d'inertie d'une masse ponctuelle située à une distance de \(r\) de l'axe de rotation est donné par \( I=mr^2. \) Cette formule est importante car elle est la base de toutes les autres formules d'inertie puisque les objets peuvent être construits à partir d'ensembles de masses ponctuelles.

Formule de la deuxième loi de Newton pour la rotation

L'équation de la deuxième loi de Newton sous forme angulaire s'exprime comme suit

$$\tau =I\alpha$$

où \ ( \tau \) est le couple net total mesuré en \( \mathrm{N\,m} \), \( I \) est le moment d'inertie mesuré en \( \mathrm{{kg}\,{m^2}} \) et \ ( \alpha \) est l'accélération angulaire mesurée en \( \mathrm{\frac{rad}{s^2}}. \)

Signification de la deuxième loi de Newton sous forme angulaire

La deuxième loi de Newton sous forme angulaire stipule que l'accélération angulaire est proportionnelle au couple et inversement proportionnelle au moment d'inertie. Cette relation peut être observée si l'on réécrit l'équation en termes d'accélération angulaire sous la forme \( \alpha= \frac{\tau}{I} \). Cela signifie qu'un couple plus important implique une accélération angulaire plus importante, et qu'un moment d'inertie plus important implique une accélération angulaire plus faible. C'est ce qui se passe avec ton panier d'achat !

Preuve de la deuxième loi de Newton sous forme angulaire

Pour prouver que la deuxième loi de Newton peut être écrite sous forme angulaire, considérons cet exemple. Un objet de masse \( m\) tourne autour d'un axe et une force est exercée à une distance \( r \) de l'axe. Nous savons que l'objet est contraint de tourner dans un mouvement circulaire en raison de la fixité de l'axe et nous supposons que la force est tangente au cercle. Par conséquent, l'utilisation de cette information en conjonction avec la relation entre l'accélération linéaire et angulaire, \( a=\alpha{r} \), permet à l'équation d'être réécrite comme suit :

\N-[\N- Début{align*}F&=ma,\N- rF&=rma,\N- rF&=rm(\N- r),\N- rF&=(mr^2)\N-alpha,\N- \N- \Ntau&=I\N-alpha.\N- Fin{align*}}]

Ainsi, nous pouvons dériver la forme angulaire de la deuxième équation de Newton à partir de la forme linéaire.

Applications courantes de la deuxième loi de Newton

Une application courante de la deuxième loi de Newton sous forme angulaire est le manège.

Figure 2 : Un manège comme exemple de la deuxième loi de Newton sous forme angulaire.

Si tu as déjà emmené un enfant au parc, tu as démontré la deuxième loi de Newton sous forme angulaire en utilisant le manège.Faire tourner unmanège vide est beaucoup plus facile que d'en faire tourner un avec des enfants dessus. Pourquoi ? Eh bien, la réponse est la deuxième loi de Newton sous forme angulaire. Lorsque nous faisons tourner le manège, nous saisissons son bord et commençons à appliquer une force perpendiculaire au rayon du manège. Cela nous permet d'appliquer le maximum de couple nécessaire pour que le manège accélère. Cependant, dès que l'on ajoute de la masse, c'est-à-dire que les enfants montent dessus, le manège accélère moins facilement car la masse supplémentaire entraîne un moment d'inertie plus important. Si nous voulions augmenter l'accélération angulaire, nous devrions appliquer plus de couple (et donc plus de force si nous continuons à saisir le bord).

Exemples de couple avec la deuxième loi de Newton sous forme angulaire

Pour résoudre des problèmes concernant la deuxième loi de Newton sous forme angulaire, on peut utiliser l'équation du couple et l'appliquer à différents problèmes. Comme nous avons défini le couple et discuté de sa relation avec le mouvement de rotation ainsi qu'avec de multiples variables, travaillons sur quelques exemples pour nous familiariser avec les équations.

Note qu'avant de résoudre un problème, nous devons toujours nous rappeler ces étapes simples.

1. Lis le problème et identifie toutes les variables qu'il contient.
2. Détermine ce que le problème demande et quelles formules sont nécessaires.
3. Applique les formules nécessaires et résous le problème.
4. Fais un dessin si nécessaire pour fournir une aide visuelle.

Exemples

Appliquons notre nouvelle connaissance de la deuxième loi de Newton sous forme angulaire à quelques exemples.

Maintenant, complétons un exemple similaire où nous résolvons le moment d'inertie plutôt que le couple.

Enfin, terminons par un exemple un peu plus compliqué en utilisant la formule du moment d'inertie correspondant à une sphère solide.