Graphiques de Force vs Position

Relation entre la force et la position

Avant de nous plonger dans le plaisir des graphiques (je sens ton excitation), nous devons revoir une définition clé : les relations directement proportionnelles.

Cette définition te sera utile tout au long de ta lecture, en particulier lorsque tu parleras des constantes du ressort. À ce moment-là, réfléchis à ce que signifie une relation directement proportionnelle entre la force et la position. Si \(k\) est la pente de notre graphique de la force par rapport à la position et qu'il s'agit également d'une constante, qu'est-ce que cela signifie pour la relation entre la force et la position ?

Interprétation de la force et de la position

L'une des compétences essentielles à développer en physique est de trouver des relations. La physique consiste à déterminer comment une chose est liée à une autre. C'est ainsi que nous obtenons toutes nos équations ; c'est pourquoi la modélisation des relations à l'aide de graphiques a un sens. Le fait d'être attentif aux relations et de se demander comment les concepts que tu apprends sont liés les uns aux autres accélérera ta compréhension de la physique.

Graphique de l'aire sous une force en fonction de la position

L'aire sous un graphique de force en fonction de la position est égale au travail effectué par la force sur l'objet déplacé. Rappelle-toi l'équation

$$W = F \Delta x$$$

qui décrit le travail effectué, que tu as apprise dans AP Physics 1.

Remarque que le travail est simplement le produit de la force et de la position. Le fait de reconnaître cette relation facilite la compréhension de l'aire d'un graphique de la force par rapport à la position. L'aire sous la courbe est égale au travail parce que l'intégrale du graphique relie la force à la position de l'objet. Par conséquent, une équation plus avancée pour le travail peut être obtenue en appliquant l'intégration comme suit :

$$W = \int_{\vec a}^{\vec b} \vec{F}\cdot \mathrm{d}\vec{r}$$$.

où \(W\) est le travail effectué, \(\vec a\) et \(\vec b\) sont vos positions initiale et finale, et \(\vec F\) est la force en fonction de la position \(\vec r\).

Fig. 1 - Ici, l'aire sous la courbe d'un graphique de la force en fonction de la position est ombrée et désignée comme le travail.

Remarque que l'équation du travail implique l'évaluation du produit en points de deux vecteurs.

Exprimé mathématiquement, le produit de points est le suivant

$$\vec{A} \cdot \vec{B} = A B \cos{\theta}, $$

où \(\vec A\) et \(\vec B\) sont nos deux vecteurs, \(A\) et \(B\) sont leurs grandeurs, et \(\theta\) est l'angle entre eux.

Pente de la force par rapport à la position

Tu te souviens que nous avons dit que la physique consiste à trouver des relations ? Voyons si nous pouvons trouver une relation entre la force et la position qui expliquerait la pente d'un graphique de la force par rapport à la position.

Signification de la pente du graphique de la force par rapport à la position

La pente est égale à l'augmentation de la course ; par conséquent, la pente de notre graphique ressemblerait à ceci :

$$\frac{F}{\Delta x}\\\mathrm{.}$$

Cette équation te dit quelque chose ? C'est la formule de la constante du ressort \(k\) qui apparaît dans la loi de Hooke.

Écrite mathématiquement, la loi de Hooke ressemble à ceci

$$F_\text{spring}=-kx,$$

où \(F_\text{spring}\) est l'ampleur de la force du ressort et \(x\) est la distance du ressort par rapport à l'équilibre.

Cela signifie qu'un graphique de la force en fonction de la position qui se réfère à l'effet du déplacement sur la force d'un ressort aurait une constante de ressort qui pourrait être calculée à l'aide de la formule suivante

$$k = \frac{F}{\Delta x}\\\mathrm{.}$$$

Fig. 3 - Note que la variable \(k\) est multipliée par \(x\) pour montrer que \(k\) est la pente. Puisque \(k\) est une valeur constante, la force et le déplacement ci-dessus ont une relation directement proportionnelle.

La pente d'un graphique de force en fonction de la position est constante, comme le montre la figure 2 ci-dessus lorsque nous nous référons aux ressorts et à la loi de Hooke : dans ce cas précis, la pente de notre graphique de force-déplacement est constante et égale à la constante du ressort \(k\). Cependant, lorsque l'on généralise la pente d'un graphique force-déplacement, la pente n'a pas besoin d'être constante. Par exemple, \(F(x)\) pourrait, peut-être, être une force variable décrite par une équation d'ordre supérieur, ce qui signifie que la pente de notre graphique pourrait suivre une trajectoire plus parabolique ou cubique. Par conséquent, d'une manière générale, nous devons dire que la pente d'un graphique de force en fonction de la position est sa dérivée, ce qui peut s'appliquer à de nombreux autres scénarios physiques : la constante de ressort \(k\) n'est qu'un exemple dans le cas où la force est directement proportionnelle au déplacement.

Par conséquent, nous pouvons réécrire notre équation pour une "constante de ressort variable" \(k_\text{variable}\) sous un nouvel angle, en faisant appel à notre connaissance des dérivées :

$$k_\text{variable}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F(x).$$

Un regard plus attentif sur \(k\)

Pour les ressorts idéaux, \(k\) n'est pas variable et est une constante qui dépend des caractéristiques inhérentes au ressort.

Fig. 4 - Lorsque le ressort se dilate ou se contracte (il se déplace d'une certaine quantité \(x\) par rapport à l'équilibre), la force exercée change ; la constante \(k\) quantifie l'élasticité du ressort.

Le graphique de la figure 4 examine de plus près la signification de la constante du ressort \(k\). Lorsque le ressort s'éloigne d'une certaine quantité \(x\) de l'équilibre, la force de rappel essaie de le ramener (représentée par la flèche verte \(F_\text{s}\)). La force exercée sur le ressort, qui provoque son déplacement, est représentée par la flèche violette \(F\). La constante du ressort \(k\N) est l'élasticité du ressort, elle quantifie la difficulté qu'ont nos deux forces à déplacer le ressort, ou en d'autres termes, à changer \N(x\N).

Unités de la pente de la force par rapport à celle de la position

En suivant un processus similaire, on peut trouver les unités de la pente d'un graphique de force en fonction de la position. Commence par notre équation de travail,

$$\frac{F}{\Delta x}\\\mathrm{,}$$

et reconnais que les unités pour la force sont les newtons et pour la position, les mètres :

$$\mathrm{\frac{N}{m}\\}\mathrm{.}$$

Ces unités sont très logiques. Comme \(k\) est la constante du ressort, le fait que ses unités soient les newtons sur les mètres montre qu'on peut la trouver en calculant la force par unité de longueur. Cela donne l'élasticité du ressort. Rappelle-toi que les newtons sont donnés comme suit

$$\mathrm{N=\frac{m\,kg}{s^2}\\}\mathrm{,}$$

Par conséquent, nous pouvons relier notre compréhension initiale des unités, la force sur les mètres, à une nouvelle compréhension :

$$\mathrm{\frac{N}{m}\\=\frac{kg}{s^2}\\}\mathrm{.}$$

En allant encore plus loin, nous pouvons voir comment la constante du ressort est liée à la tension superficielle. La tension superficielle s'obtient en calculant la force sur une longueur, et son unité est le kilogramme sur la seconde au carré, tout comme la constante d'élasticité.

Graphique de la force en fonction de la position et de la vitesse

Les graphiques de la force par rapport à la position nous donnent suffisamment d'informations pour trouver la vitesse d'un objet. En calculant le travail à partir du graphique en trouvant l'aire sous la courbe, on peut trouver la vitesse à l'aide du théorème travail-énergie.

Maintenant, quand ta mère te demande de sortir la poubelle, dis-lui que tu pourrais faire plus d'efforts en soulevant simplement un crayon (si tu ne parviens pas à déplacer la poubelle).