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Fig. 1 - Les cheveux adhèrent à un ballon en raison de la charge électrique qui existe entre eux.
Si tu observes attentivement, tu peux remarquer que les cheveux essaient d'atteindre le ballon même lorsqu'ils ne le touchent pas. C'est parce que l'effet d'attraction provoqué par le ballon chargé s'étend dans l'espace, créant ainsi un champ électrique. Il peut être difficile de trouver une expression mathématique pour décrire un tel champ électrique. Cependant, la clé est d'apprendre à décrire le champ électrique à partir de charges multiples. Si nous savons comment décrire le champ électrique à partir de quelques charges ponctuelles, nous pouvons augmenter le nombre de charges et même passer à des charges réparties sur un objet (comme dans le cas du ballon chargé !).
Propriétés du champ électrique des charges ponctuelles multiples
Une charge ponctuelle est une quantité de charge électrique existant en un seul point. Les charges ponctuelles peuvent être positives ou négatives, et les charges de même signe se repoussent, tandis que les charges de signe opposé s'attirent. Il est utile d'utiliser des charges ponctuelles pour modéliser des objets qui sont très petits par rapport aux distances impliquées dans un problème spécifique, ou pour modéliser un grand objet en utilisant un grand nombre de charges ponctuelles.
Une charge ponctuelle est une quantité de charge électrique concentrée en un seul point.
Le champ électrique est une quantité vectorielle que nous utilisons pour décrire l'effet d'une charge électrique ou d'un système de charges électriques. Nous le faisons en spécifiant la force que le système de charges exercerait sur une charge d'essai à chaque position. En raison de sa nature vectorielle, un champ électrique a à la fois une magnitude et une direction. L'ampleur du champ électrique d'une charge ponctuelle est proportionnelle à la quantité de charge électrique et inversement proportionnelle au carré de la distance qui la sépare. Pour une charge positive, les lignes du champ électrique s'éloignent de la charge, tandis que pour les charges négatives, elles s'en rapprochent, comme le montre l'image ci-dessous.
Un champ électrique est une quantité vectorielle qui représente la force que ressentirait une charge d'essai (positive) à n'importe quelle position par rapport à la source.
En général, nous pouvons esquisser directement le champ électrique d'une seule ou d'une paire de charges ponctuelles. Cependant, lorsque plusieurs charges ponctuelles sont proches les unes des autres, le champ électrique devient difficile à visualiser en raison des contributions de chaque charge. Pour trouver le champ électrique résultant à un certain endroit, nous devons trouver la somme vectorielle des champs électriques de chaque charge ponctuelle. Cela signifie que les lignes de champ électrique ne se croisent jamais, mais que chaque endroit possède un vecteur qui représente le champ électrique net à cet endroit. L'image ci-dessous montre un exemple de champ électrique provenant de quatre charges ponctuelles.
Remarque que les lignes de champ électrique pointent toujours vers les charges négatives et s'éloignent des charges positives. À proximité des charges, les lignes de champ électrique sont plus proches les unes des autres. À mesure que la distance par rapport aux charges augmente, la séparation entre les lignes de champ augmente également. La séparation entre les lignes de champ représente l'ampleur du champ électrique. Ainsi, l'ampleur du champ électrique est plus importante aux endroits où les lignes de champ sont proches les unes des autres, près des charges, comme le montre l'image ci-dessous.
Formule du champ électrique net
Comme nous l'avons mentionné plus haut, le champ électrique net provenant de plusieurs charges à un certain endroit est trouvé en prenant la somme vectorielle des champs électriques provenant des charges. Pour une charge ponctuelle unique, l'amplitude du champ électrique est donnée par :
\[|\vec{E}|=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{|q|}{r^2},\]
où \(q\N) est la charge en coulombs, \N(\Nmathrm{C},\N) \N(r\N) est la distance de la charge ponctuelle au point d'intérêt en mètres, \N(\Nmathrm{m},\N) \N(\Nepsilon_0\N) est la permittivité de l'espace libre qui a une valeur de \N(8.854\times10^{-12}\mathrm{\frac{C^2}{N\,m^2}},\) et \(\vec{E}\) est le champ électrique, qui a des unités de newtons par coulomb, \(\mathrm{\frac{N}{C}}.\)
Considérons trois charges dont les champs électriques ont des amplitudes de \(|vec{E}_1|,\) \(|vec{E}_2|,\) et \(|vec{E}_3|\) en un point donné. Le champ électrique net est obtenu en faisant la somme vectorielle de chaque champ électrique :
\[\vec{E}_\mathrm{net}=\vec{E}_1+\vec{E}_2+\vec{E}_3.\]
Si nous considérons un champ électrique bidimensionnel, le vecteur de champ électrique de chaque charge est constitué d'une composante \(x\) et d'une composante \(y\). La magnitude du champ électrique net en tout point est obtenue en substituant ces composantes dans la relation de Pythagore :
\[|\vec{E}_\mathrm{net}|=\sqrt{(E_{x_1}+E_{x_2}+E_{x_3})^2+(E_{y_1}+E_{y_2}+E_{y_3})^2}.\]
Dans cette équation, \(E_{x_1}\), \(E_{y_1}\), et ainsi de suite représentent le champ électrique de chaque charge dans les directions \(x\) et \(y\) au point d'intérêt.
Nous pouvons généraliser cela pour un nombre de charges ponctuelles égal à (n) et réécrire ces équations comme suit :
\[\begin{align*}\vec{E}_\mathrm{net}&=\vec{E}_1+\vec{E}_2+...+\vec{E}_n\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=\sum_{i=1}^n\vec{E}_i.\end{align*}\]
\[\begin{align*}|\vec{E}_\mathrm{net}|&=\sqrt{(E_{x_1}+E_{x_2}+...+E_{x_n})^2+(E_{y_1}+E_{y_2}+...+E_{y_n})^2}\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=\sqrt{\left(\sum_{i=1}^nE_{x_i}\right)^2+\left(\sum_{i=1}^nE_{y_i}\right)^2}.\end{align*}\]
Champ électrique de deux charges ponctuelles opposées
Un exemple unique de la somme vectorielle des champs électriques est celui de deux charges ponctuelles opposées. Si deux charges sont égales en magnitude avec une charge opposée, elles créent un dipôle électrique. Le champ électrique d'un dipôle électrique est appelé champ dipolaire. Les lignes de champ pointent de la charge positive vers la charge négative, comme indiqué ci-dessous.
Un dipôle électrique est une paire de charges égales mais opposées.
Le champ électrique d'un dipôle électrique est connu sous le nom de champ dipolaire électrique.
Quelle serait l'ampleur du champ électrique au centre du dipôle ? Tu penses peut-être d'abord que le champ électrique des charges positives et négatives s'annule, ce qui fait que la magnitude du champ électrique est nulle à cet endroit. Cependant, nous devons tenir compte de la direction du champ électrique pour chaque charge. Les champs électriques des charges positives et négatives pointent tous deux vers la charge négative, ce qui fait que la magnitude du champ électrique est le double de la magnitude d'une seule des charges à cet endroit. L'article "Monopoles et dipôles" contient un exemple qui permet de trouver une expression pour le champ électrique au centre d'un dipôle.
Si deux charges opposées sont de magnitude différente, le champ électrique résultant sera différent de celui d'un dipôle électrique. Les lignes de champ électrique s'enroulent plus étroitement autour de la charge la plus faible, comme le montre l'image suivante. On voit clairement que les lignes de champ sont les plus proches les unes des autres entre les deux charges, ce qui indique que c'est à cet endroit que l'intensité du champ est la plus forte.
Une charge de \(4.0\N,\Nmathrm{nC}\Nest séparée par une distance de \N(6.0\N,\Nmathrm{cm}\Nd'une charge de \N(-3.0\N,\Nmathrm{nC}\N). Quelle est la magnitude du champ électrique directement entre les charges (à 3,0\Nmathrm{cm}\Nde distance de chacune d'elles) ?
Nous commençons par trouver le champ électrique de chaque charge à ce point. Comme le champ électrique pointe dans la direction horizontale à cet endroit, nous n'aurons besoin que de la composante \(x\) dans notre calcul. Comme nous l'avons déjà mentionné, le champ électrique des deux charges pointe vers la charge négative, nous allons donc résoudre l'ampleur du champ électrique pour chaque charge. L'amplitude du champ électrique de la charge positive est donnée par :
\[\begin{align*}|\vec{E}_1|&=E_{x_1}\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{|q|}{x_1^2}\\[8pt] xml-ph-0001@deepl.internal &=\frac{1}{4\pi(8.854\times10^{-12}\mathrm{\frac{C^2}{N\,m^2}})}\frac{4.0\,\mathrm{nC}}{(3.0\,\mathrm{cm})^2}\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=\frac{1}{4\pi(8.854\times10^{-12}\mathrm{\frac{C^2}{N\,m^2}})}\frac{4.0\times10^{-9}\,\mathrm{C}}{(3.0\times10^{-2}\,\mathrm{m})^2}\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=4.0\times10^4\,\mathrm{\frac{N}{C}}.\end{align*}\]
L'amplitude du champ électrique de la charge positive est donc de \(|vec{E}_1|=4.0\times10^4\,\mathrm{\frac{N}{C}}\) dans la direction positive \(x\). De même, l'amplitude du champ électrique de la charge négative est donnée par :
\[\begin{align*}|\vec{E}_2|&=E_{x_2}\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{|q|}{x_2^2}\\[8pt] xml-ph-0001@deepl.internal &=\frac{1}{4\pi(8.854\times10^{-12}\mathrm{\frac{C^2}{N\,m^2}})}\frac{3.0\,\mathrm{nC}}{(3.0\,\mathrm{cm})^2}\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=\frac{1}{4\pi(8.854\times10^{-12}\mathrm{\frac{C^2}{N\,m^2}})}\frac{3.0\times10^{-9}\,\mathrm{C}}{(3.0\times10^{-2}\,\mathrm{m})^2}\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=3.0\times10^4\,\mathrm{\frac{N}{C}}.\end{align*}\]
L'amplitude du champ électrique de la charge négative est donc de \(|vec{E}_2|=3.0\times10^4\,\mathrm{\frac{N}{C}}\) dans la direction positive \(x\). Comme les composantes du champ électrique n'ont que la direction \(x), nous trouvons la magnitude du champ électrique net en faisant la somme des magnitudes :
\[\begin{align*}|\vec{E}_{\mathrm{net}}|&=|\vec{E}_1|+|\vec{E}_2|\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=4.0\times10^4\,\mathrm{\frac{N}{C}}+3.0\times10^4\,\mathrm{\frac{N}{C}}\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=7.0\times10^4\,\mathrm{\frac{N}{C}}.\end{align*}\]
Energie potentielle électrique de plusieurs charges ponctuelles
Lorsqu'une charge se déplace dans un champ électrique, la force électrique n'agit sur la charge que si le déplacement de la charge se fait dans la même direction que le champ électrique. Cela signifie que le travail effectué par la force électrique sur la charge est indépendant de la trajectoire, de la même façon que le travail effectué par la gravité sur un objet en chute libre est indépendant de la trajectoire. Puisque le travail effectué est indépendant de la trajectoire, nous disons que la force électrique est une force conservatrice qui donne de l'énergie potentielle électrique au système lorsqu'elle agit sur une charge.
L'énergie potentielle électrique d'une charge, \(q_0,\N) qui se trouve à une distance, \N(r,\N) d'une autre charge, \N(q,\N) est donnée par :
\[U=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{qq_0}{r}.\]
Si la charge \(q_0\) se déplace d'une position, \(r_a,\) à une nouvelle position, \(r_b,\) le travail effectué serait équivalent au changement d'énergie potentielle :
\[\begin{align*}W&=\Delta U\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{qq_0}{r_b}-\frac{qq_0}{r_a}\right)\\[8pt] xml-ph-0001@deepl.internal &=\frac{qq_0}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{1}{r_b}-\frac{1}{r_a}\right).\N- [end{align*}\N]
L'énergie potentielle électrique de la charge en présence de plusieurs charges ponctuelles est trouvée en prenant simplement la somme des énergies potentielles de chaque charge :
\[\begin{align*}U&=\frac{q_0}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{q_1}{r_1}+\frac{q_2}{r_2}+...+\frac{q_n}{r_n}\right)\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=\frac{q_0}{4\pi\epsilon_0}\sum_{i=1}^n\frac{q_i}{r_i}.\end{align*}\]
Il est généralement plus facile de travailler avec l'énergie potentielle électrique qu'avec les champs électriques, car l'énergie potentielle électrique est un scalaire au lieu d'une quantité vectorielle.
Exemples de champ électrique de charges ponctuelles multiples
Prenons quelques autres exemples pour nous entraîner à trouver le champ électrique de plusieurs charges !
Deux charges positives égales de charge \(q\) sont séparées par une distance, \(d.\) Quelle est la magnitude du champ électrique directement entre elles ?
Puisqu'elles ont la même charge, la magnitude des deux charges est égale :
\[|\vec{E}_1|=|\vec{E}_2|\]
Les charges positives se repoussent l'une l'autre, de sorte que leurs champs électriques pointent dans des directions opposées. Le champ électrique net est donc le suivant :
\[\begin{align*}\vec{E}_\mathrm{net}&=\vec{E}_1+\vec{E}_2\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=-\vec{E}_2+\vec{E}_2\\[8pt] xml-ph-0001@deepl.internal &=0.\end{align*}\]
Ainsi, l'amplitude du champ électrique directement entre deux charges positives égales est nulle.
Trois charges ponctuelles sont positionnées comme le montre l'image ci-dessous. Deux charges positives se trouvent sur l'axe \N(x) et sont séparées par une distance \N(2d,\N) et une charge négative se trouve sur l'axe \N(y) à une distance \N(d) au-dessus de l'axe \N(x). La magnitude de chaque charge est de \(q\). Dessine un vecteur représentant l'ampleur et la direction du champ électrique à l'origine, et écris sa magnitude.
Fig. 7 - Deux charges ponctuelles positives sur l'axe \(x\) et une charge négative sur l'axe \(y\).
Trace d'abord des vecteurs pour représenter le champ électrique de chaque charge. Les vecteurs auront tous la même amplitude. Nous appellerons les champs électriques des charges positives de gauche et de droite respectivement \(\vec{E}_1\) et \(\vec{E}_2,\). Ils sont représentés en bleu dans l'image ci-dessous. Le champ électrique de la charge négative du dessus est \(\vec{E}_3,\) qui est représenté en vert.
Fig. 8 - Composantes du champ électrique de deux charges ponctuelles positives et d'une charge ponctuelle négative. Toutes les flèches ont la même longueur puisque chaque vecteur a la même amplitude.
Lorsque nous additionnons ces vecteurs, \(\vec{E}_1\) et \(\vec{E}_2\) s'annulent mutuellement de sorte qu'il n'y a pas de composante horizontale dans le champ électrique net. Cela signifie que \(\vec{E}_3\) est la seule composante qui contribue au champ électrique net à l'origine. Le vecteur du champ électrique net, \(\vec{E},\) est représenté en rose dans l'image ci-dessous.
Fig. 9 - Vecteur de champ électrique net à l'origine à partir de trois charges ponctuelles.
La magnitude de \(\vec{E}\) est alors égale à la magnitude de \(\vec{E}_3.\) Ainsi, en substituant \(d\) à la distance, nous pouvons écrire :
\[\begin{align*}|\vec{E}|&=|\vec{E}_3|\\[8pt] xml-ph-0000@deepl.internal &=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{|q|}{r^2}\\[8pt] xml-ph-0001@deepl.internal &=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{d^2}.\end{align*}\]
Champ électrique dû à des charges multiples - Principaux points à retenir
- Une charge ponctuelle est une quantité de charge électrique concentrée en un seul point.
- Un champ électrique est une quantité vectorielle qui représente la force qu'une charge d'essai (positive) ressentirait à n'importe quelle position par rapport à la source.
- Pour une charge ponctuelle unique, l'ampleur du champ électrique est donnée par :
\[|\vec{E}|=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{|q|}{r^2}.\]
- Pour trouver le champ électrique de plusieurs charges à un certain endroit, nous prenons la somme vectorielle des champs électriques de chaque charge ponctuelle formant notre système : \(\vec{E}_\mathrm{net}=\sum_{i=1}^n\vec{E}_i .\)
- Les lignes de champ électrique ne se croisent jamais, et la séparation entre elles représente l'ampleur du champ. Les lignes proches les unes des autres représentent un champ fort, tandis que les lignes éloignées les unes des autres représentent un champ faible.
- Les lignes de champ électrique pointent toujours vers les charges négatives et s'éloignent des charges positives.
- Deux charges ponctuelles égales mais opposées créent un champ dipolaire électrique.
- Une charge en présence d'une ou plusieurs charges possède une énergie potentielle électrique.
Références
- Fig. 1 - Les cheveux collent au ballon (https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Attractive-electric-force-between-hair-and-balloon.jpg) par Mike Run (https://commons.wikimedia.org/w/index.php?title=User:MikeRun&action=edit&redlink=1) publié par CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.en).
- Fig. 2 - Champ électrique des charges positives et négatives, StudySmarter Originals.
- Fig. 3 - Champ électrique de quatre charges, StudySmarter Originals.
- Fig. 4 - Intensité du champ électrique, StudySmarter Originals.
- Fig. 5 - Champ électrique d'un dipôle électrique, StudySmarter Originals.
- Fig. 6 - Champ électrique de deux charges inégales et opposées, StudySmarter Originals.
- Fig. 7 - Trois charges ponctuelles sur un système de coordonnées, StudySmarter Originals.
- Fig. 8 - Composantes du champ électrique de trois charges ponctuelles, StudySmarter Originals.
- Fig. 9 - Champ électrique net à partir de trois charges ponctuelles, StudySmarter Originals.
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