Potentiel Gravitationnel

Description mathématique de l'énergie potentielle gravitationnelle

Comprendre l'énergie contenue dans le champ gravitationnel nous fournit de nombreuses informations physiques utiles concernant la nature de la gravité et le rôle qu'elle joue dans la nature.

Équations de l'énergie potentielle gravitationnelle

Nous allons travailler avec la loi de la gravitation de Newton parce qu'elle offre une description simple, même si ce n'est pas la théorie qui décrit le mieux la gravitation. La principale caractéristique de cette description de la gravité est la symétrie sphérique, signalant qu'il n'y a pas de directions spatiales particulières. Nous commençons par écrire la loi de Newton pour l'intensité du champ gravitationnel.

\[\vec{Z} = G \cdot \frac{M}{r^2} \cdot \vec{e}_r\]

Ici, le vecteur Z est la force gravitationnelle, M est la masse du corps, r est la distance radiale au corps source, le vecteur_er est le vecteur radial unitaire pointant vers le corps source, et G est la constante universelle de gravitation dont la valeur est approximativement \(G = 6,67 \cdot 10 ^ {-11} m^3/kg \cdot s^2\).

Nous présentons maintenant l'expression de l'énergie potentielle gravitationnelle V :

\[V= -G \cdot \frac{M}{r}\]

On constate que la symétrie sphérique est conservée : tous les points répartis dans une sphère de rayon constant \(r = r_0\) ont la même énergie potentielle gravitationnelle. Par exemple, un corps situé au pôle nord a la même énergie potentielle qu'un corps situé au pôle sud. En fait, tous les corps à la surface de la terre ont la même énergie potentielle gravitationnelle parce qu'ils sont tous à une distance radiale constante du centre de la terre.

On constate aisément qu'en faisant la différence par rapport à la distance radiale r, on obtient l'expression de l'intensité du champ gravitationnel (compte tenu de nos connaissances, il faut croire à l'apparition du vecteur_er. ) :

\[\vec{Z} = \frac{dV}{dr} \cdot \vec{e}_r\].

Ce sont des expressions pour les champs produits par une masse M. Si nous voulons considérer la force subie par une masse m sous l'influence du champ gravitationnel et de son énergie potentielle gravitationnelle, il nous suffit de multiplier les expressions précédentes par un facteur m :

\(\vec{F} = m \cdot \vec{Z}\)(force sur la masse m sous l'influence du champ Z ).

\(U = m \cdot V\)(énergie potentielle gravitationnelle de la masse m sous l'influence du champ Z )

Potentiel gravitationnel : considérations énergétiques

Nous commençons par analyser les unités de l'énergie potentielle gravitationnelle d'une masse m. Connaissant les unités de toutes les quantités impliquées, nous trouvons que

\(m \cdot V = m \cdot G \cdot \frac{M}{r}\) correspond à \((kg) \cdot (\frac{m^3} {kg \cdot s^2}) \cdot (\frac{kg}{m}) = \frac {kg \cdot m^2}{s^2} = Joules\), qui sont les unités de l'énergie. C'est l'une des raisons qui ont conduit à l'appellation d'énergie potentielle gravitationnelle.

Avec cette notion en tête, nous retrouvons maintenant le principe de stabilité, qui stipule que les corps ont tendance à minimiser leur énergie. Si l'on prend l'expression de l'énergie potentielle gravitationnelle, on constate, grâce au signe négatif, que l'on obtient des énergies plus faibles en réduisant la distance radiale avec la source. Le graphique suivant devrait nous aider à comprendre cela.

Figure 1. Énergie potentielle gravitationnelle en fonction de la distance radiale. La force gravitationnelle est calculée comme la dérivée en un certain point en fonction d'une distance r (distance radiale).

Comme on peut le voir, l'énergie est plus faible lorsque la distance radiale est plus faible (atteignant asymptotiquement une quantité infiniment négative). L'ampleur de la force, qui peut être calculée comme la dérivée de l'énergie potentielle gravitationnelle, correspond à la pente de la ligne tangente en chaque point.

Pour des distances radiales plus grandes, la pente diminue, atteignant asymptotiquement une valeur de zéro à une distance radiale infinie. De même, à une distance radiale infinie, l'énergie devient nulle, ce qui signale que la masse n'est plus sous l'influence du champ gravitationnel.

Comment résoudre les exemples d'énergie potentielle gravitationnelle

En général, si l'on nous interroge sur les distributions spatiales, nous devons dessiner ou décrire des graphiques qui font intervenir les équations du champ (sans inclure la masse test m). Si l'on nous demande des valeurs spécifiques pour une certaine masse m, nous devons utiliser les deux autres, en nous rappelant que U est l'énergie potentielle d'un objet qui entre dans la formule de l'énergie totale avec un signe moins (au cas où nous aurions considéré d'autres formes d'énergie comme l'énergie cinétique).

Imaginons que nous ayons un corps qui crée un champ gravitationnel avec une masse M = 1,50 -¹⁰¹⁰ kg et que nous placions un corps avec une masse m = 1,00 kg pour voir son comportement sous le champ gravitationnel créé par le corps avec la masse M.

Puisque le corps de masse m possède l'unité de masse, la valeur numérique du champ gravitationnel et de la force gravitationnelle, d'une part, et la valeur numérique du champ potentiel gravitationnel et de l'énergie potentielle gravitationnelle, d'autre part, seront les mêmes. Cependant, il s'agit de concepts différents avec des unités différentes.

Nous pouvons calculer toutes les fonctions et étudier leur comportement :

\c[vec{Z} = G \cdot \frac{M}{e^2} \cdot \vec{e}_r = \frac{1}{r^2} \cdot \vec{e}_r [N/kg]\]

\c[\vec{F} = m \cdot \vec{Z} = \frac{1}{r^2} \cdot \vec{e}_r [N]\c]

\[V = -G \cdot \frac{M}{r} = -\frac{1}{r} [m^2/s^2]\cdot \c{1}{r} [m^2/s^2]\cdot \c{1}{r} [N]\c}]

\[U = m \cdot V = -\frac{1}{r} [J]\N]

Pour l'énergie potentielle gravitationnelle, nous obtenons un graphique similaire à celui de la figure 1. Pour la force gravitationnelle, nous allons ignorer l'orientation de l'espace radial, ce qui nécessiterait un graphique complexe, et représenter sa magnitude en fonction de la distance radiale r :

Figure 2. Ampleur de la force gravitationnelle en fonction de la distance radiale.

La force de l'interaction et l'énergie s'approchent asymptotiquement de zéro à une distance radiale infinie. Cela est logique car il ne devrait pas y avoir de gravité présente entre eux si les objets sont infiniment séparés et, par conséquent, l'énergie associée au champ devrait être nulle.

Nous observons également que les deux quantités divergent à l'approche d'une distance radiale nulle, ce qui indique que les objets ne peuvent pas être infiniment proches. Cela restreint la validité de la loi de Newton dans certaines circonstances.

Lorsque l'on considère des sphères centrées sur la source gravitationnelle, ni l'intensité de la force ni l'énergie ne changent (bien que la direction de la force change lorsqu'elle est dirigée vers le centre/la source). C'est pourquoi en nous déplaçant sur la terre, qui est une surface presque sphérique, nous ne ressentons pas de changements dans la force de gravité. De plus, nous n'avons pas besoin de mettre de l'énergie pour le faire (nous nous fatiguons à cause du frottement), sauf si nous allons vers le haut, comme lorsque nous escaladons une montagne, car nous gagnons de l'énergie. En revanche, lorsque nous descendons une surface inclinée, nous perdons de l'énergie, c'est pourquoi cela ne nous coûte aucun effort. De nombreux sports extrêmes sont basés sur ce principe.

Approche du potentiel gravitationnel à la surface d'une planète

Pour la terre, il existe une approximation pour les objets proches de la surface, qui simplifie considérablement la formule. Elle déplace l'énergie zéro (qui est située à une distance radiale infinie) vers la surface de la terre, de sorte que l'expression finale est :

\[E = m \cdot g \cdot h\]

Ici, E est l'énergie potentielle gravitationnelle pour les objets proches de la surface de la terre et l'origine de l'énergie à la surface, m est la masse du corps dont nous calculons l'énergie potentielle gravitationnelle, g est l'accélération gravitationnelle de surface pour la terre (égale à G-M /^R2 = 9,81 ^m/s2 ), et h est la hauteur au-dessus de la surface de la terre.