Graphique de l'énergie en fonction du temps

Définition du graphique énergie-temps

Nous allons commencer par une définition.

Fig. 2 - Ici, il y a un bloc \(A\) qui est attaché à un ressort. Le bloc oscille entre des déplacements de \(-x\) et \(+x\).

Disons que nous avons un bloc \(A\) attaché à un ressort. Que se passe-t-il si nous le comprimons jusqu'à la position \(+x\) et que nous le laissons ensuite aller ? Lorsque nous comprimons le bloc jusqu'à la position \(+x\), il gagne de l'énergie potentielle élastique. Lorsque le bloc revient à l'équilibre, il convertit son énergie potentielle en énergie cinétique. Le même phénomène se produit lorsqu'il s'étire jusqu'à la position \(-x\) ; il convertit son énergie cinétique en énergie potentielle élastique. En revenant à l'état initial, l'énergie potentielle est à nouveau convertie en énergie cinétique. L'énergie mécanique est conservée si le bloc se trouve dans un système fermé, ce qui signifie qu'il n'y a pas de dissipation ou d'ajout d'énergie. C'est pourquoi les énergies cinétique et potentielle se convertissent sans arrêt, mais leur valeur totale combinée reste constante.

Graphiques de l'énergie et du temps de déplacement

Prenons maintenant un exemple de mouvement harmonique simple (SHM). Tu trouveras ci-dessous deux graphiques qui décrivent ce qui arrive au bloc \(A\) (de l'image ci-dessus) lorsqu'il oscille d'avant en arrière.

Graphique du temps de déplacement

Ce graphique montre la position du bloc \(A\) en fonction du temps.

Fig. 3 - Il s'agit d'un graphique position-temps qui montre le changement de position du bloc \(A\) dans le temps. Le graphique part de la position \(+x\) parce que le bloc est étiré et relâché. Le bloc continuera à osciller entre \(+x\) et \(-x\).

Le mouvement trace une courbe sinusoïdale. Remarque qu'il a une amplitude de \(x\) et une période de \(4\,\mathrm{s}\). Rappelle-toi que l'amplitude est la hauteur de la courbe à partir de \(0\) et que la période est le temps qu'il faut à la courbe pour passer d'un pic à un autre pic.

Graphique de l'énergie cinétique et potentielle en fonction du temps

Ce graphique est le graphique énergie-temps pour le bloc \(A\).

Fig. 4 - Il s'agit du graphique énergie-temps du bloc \(A\). Alors que la courbe verte montre l'énergie potentielle élastique, la courbe rouge montre l'énergie cinétique.

Grâce à ces deux graphiques, nous pouvons comprendre comment le bloc se déplace, ainsi que la façon dont il transfère son énergie. Prenons les choses étape par étape.

1. Après que le bloc a été comprimé jusqu'à la position \N(+x\N) puis relâché, il passe d'abord du point d'équilibre comme indiqué dans le graphique position-temps entre \N(0-1\N,\Nmathrm{sec}\N)et la position \N(+x\N). Il perd alors toute son énergie potentielle et la convertit en énergie cinétique.
2. En revenant à la position \N(-x\N) entre \N(1-2\N,\Nmathrm{sec}\N), il convertit son énergie cinétique en énergie potentielle car le ressort est étiré.
3. À \(t=2s\), le sens de la course s'inverse et le bloc est accéléré pour revenir vers le point d'équilibre.
4. Il passe de la position d'équilibre en convertissant son énergie potentielle en énergie cinétique entre les \(2-3\N,\Nmathrm{sec}\N).
5. Et une fois de plus, il convertit son énergie cinétique en énergie potentielle entre \(4-5\,\mathrm{sec}\).

Ce cycle se poursuit à l'infini, car en SHM, l'effet du frottement est ignoré et l'énergie mécanique est conservée.

La formule de l'énergie de l'oscillateur

Pendant l'oscillation, alors que l'énergie mécanique est constante, les énergies cinétique et potentielle peuvent varier avec le temps. Par exemple, la variation de l'énergie potentielle d'un oscillateur linéaire dépend de la compression ou de l'étirement du ressort, soit \(x(t)\mathrm{.}\).

D'après les principes du mouvement harmonique simple, nous pouvons exprimer le déplacement à tout moment comme suit : \(x(t)=x_\text{m} \Ncos{(\Noméga t + \Nphi )}\N- où \N(x(t)\Nest la fonction du déplacement par rapport au temps, \N(x_\Ntext{m} \Nest le déplacement maximum, \N(\Noméga \N) est la vitesse angulaire, \N(t\N) est le temps, et \N(\Nphi \N) est le déphasage de la fonction cosinus.

L'énergie potentielle élastique est calculée comme \(U=\frac{1}{2}\ kx^2 \), nous pouvons donc insérer \(x(t)\) dans la formule de l'énergie potentielle comme suit :

$$U(t)=\frac{1}{2}\\ kx^2 = \frac{1}{2}\k(x_\text{m} \cos{(\mega t + \phi )}) ^2$$

$$U(t) = \frac{1}{2}\\\ k x_\text{m} ^2 \cos^2{(\omega t + \phi)}\mathrm{.}$$$

En revanche, la variation de l'énergie cinétique dépend de la vitesse du bloc. Nous savons que l'énergie cinétique peut être trouvée à partir de \N(K=\frac{1}{2}\Nmv^2 \N). Si \(x(t) = x_\text{m} \Ncos{(\Nméga t + \Nphi )}\N), nous pouvons dériver la vitesse comme \N(V(t) = - \Nméga x_\Ntext{m} \sin{(\omega t + \phi )}\).

Nous pouvons insérer cette formule dans celle de l'énergie cinétique,

$$K(t)=\frac{1}{2}\ m(v(t))^2 = \frac{1}{2}\ m(-\omega x_\text{m}) \sin{(\omega t + \phi )})^2$$.

$$K(t) = \frac{1}{2}\ m \omega ^2 x_\text{m} ^2 \sin^2{(\omega t +\phi )}\mathrm{,}$$.

et puisque \(\omega ^2 = \frac{k}{m}\), nous pouvons transformer la formule de l'énergie cinétique en

$$K(t) = \frac{1}{2}\\ k x_\text{m} ^2 \sin^2{(\omega t + \phi )}\mathrm{.}$$.

Pendant l'oscillation, l'énergie mécanique totale \(E\) est conservée. Ainsi, la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle est égale à l'énergie mécanique :

$$E=U+K$$

$$E=\frac{1}{2}\\ k x_\text{m} ^2 \cos^2{(\omega t + \phi )} + \frac{1}{2}\ k x_\text{m} ^2 \sin^2{(\omega t +\phi )}\mathrm{.}$$.

Puisque \(\frac{1}{2}\\ k x_\text{m} ^2 \) est la partie commune de l'équation, nous pouvons réécrire la somme comme suit.

$$E=\frac{1}{2}\\ k x_\text{m} ^2 (\cos^2{(\omega t + \phi )} + \sin^2{(\omega t + \phi )})\mathrm{.}$$.

Il est important de savoir que \(\sin^2{a} + \cos^2{a} = 1\). La somme sera donc égale à \(E=\frac{1}{2}\k x_\text{m} ^2 \).

Graphique énergie-temps du condensateur

Jusqu'à présent, nous avons seulement montré comment les graphiques énergie-temps peuvent nous aider à comprendre les oscillateurs. Mais ce n'est pas leur seule utilité ! Les graphiques énergie-temps peuvent également nous aider à modéliser l'énergie des condensateurs.

Calcul de l'énergie donnée par le graphique puissance-temps

Il n'y a pas d'application réelle pour la surface sous un graphique énergie-temps, à moins que nous ne parlions de physique quantique et de déphasage. À mon avis, les seules connaissances que tu as sur la physique quantique proviennent d'Avengers : Endgame (qui est tout faux : choquant !), alors nous n'irons pas dans ce trou de lapin.

La pente d'un graphique énergie-temps nous dit cependant quelque chose d'utile. Mais avant d'en parler, nous avons besoin d'un peu de contexte.

La puissance est égale au taux d'énergie en fonction du temps. Par conséquent, la puissance nous donne une mesure de la force de frappe de notre énergie. Une petite quantité d'énergie sur une grande période de temps nous donnera peu de punch. Alors qu'une grande quantité d'énergie sur une petite période de temps nous donne une grande force de frappe. Une équation pertinente pour ce principe est la suivante

$$P=\frac{\Delta E}{\Delta t}\\\mathrm{.} $$

De cette connaissance, nous déduisons que la pente d'un graphique énergie-temps est égale à la puissance ! Rappelle-toi que la pente est le taux de variation de \(y\) sur le taux de variation de \(x\). Puisque l'énergie est le \(y\N) et le temps le \N(x\N), en introduisant ces données dans l'équation de la pente, on obtient

$$m=\frac{\Delta E}{\Delta t}\$$

où \(m\) est la pente. C'est l'équation exacte de la puissance. Pour illustrer ce principe, nous allons passer en revue le graphique énergie-temps ci-dessous.

Fig. 6 - La pente d'une courbe énergie-temps est la puissance

La figure 6 montre que la pente d'un graphique Énergie-Temps est égale à la puissance. Pour trouver la puissance de la fonction ci-dessus de l'énergie par rapport au temps, il suffit de trouver la pente :

$$\begin{align*} m&=\frac{\Delta y}{\Delta x} \\N m&=\frac{\N100,\mathrm{J}-0,\mathrm{J}}{\N1,\mathrm{s}-0,\mathrm{s} = 100\Nmathrm{\frac{J}{s}} \\ m&=\text{Power}=100\,\mathrm{\frac{J}{s}.} \\N- \N- \N- \Nend{align*}}$$$

Graphique de l'énergie cinétique en fonction du temps et mouvement harmonique simple

Maintenant, il est temps de donner quelques exemples.

C'était un véritable tour de montagnes russes ! Il y a eu beaucoup de va-et-vient, des hauts et des bas, et encore plus d'arrêts et de chutes. J'espère qu'à présent, tu n'as plus la nausée à cause de toute cette frénésie physique et que tu es prêt à assimiler les points essentiels de notre article sur les graphiques énergie-temps.