Graphique de l'énergie en fonction du temps

Es-tu déjà allé dans un parc d'attractions et as-tu essayé le manège du pendule ?

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Supposons qu'un bloc soit conçu pour osciller à l'extrémité d'un ressort avec une constante de ressort \(k = 0,50\) et avec une amplitude \(x_m=4,0 \,\text m\).

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Supposons que le bloc ait une masse de \(5,0 \,\text{kg}\) et qu'il soit conçu pour osciller à l'extrémité du ressort à une fréquence de \(4,0 \,\text{Hz}\) et avec une amplitude de \(0,25 \,\text{m\).

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    Le manège à pendule applique un mouvement harmonique qui va d'avant en arrière. Lorsqu'il est au plus haut, il s'arrête pendant un certain temps, puis commence à descendre en augmentant sa vitesse. Ensuite, il atteint à nouveau son apogée, s'arrête à nouveau et recommence à se déplacer plus rapidement, répétant ainsi le cycle. Pourquoi en est-il ainsi ? Cet article répondra à cette question en expliquant comment utiliser le graphique énergie-temps. Dans les prochains paragraphes, nous étudierons la définition d'un graphique énergie-temps, nous comparerons un graphique déplacement-temps à un graphique énergie potentielle et cinétique-temps, et nous ferons quelques calculs et exemples.

    Énergie Graphique du temps Balade à pendule StudySmarterFig. 1 - Le pendule d'un parc d'attractions te fait osciller d'avant en arrière et de haut en bas.

    Définition du graphique énergie-temps

    Nous allons commencer par une définition.

    Un graphique énergie-temps est un modèle utilisé pour montrer comment l'énergie d'un objet évolue dans le temps.

    Graphique de l'énergie en fonction du temps Image d'un bloc oscillant entre les positions -x et +x StudySmarterFig. 2 - Ici, il y a un bloc \(A\) qui est attaché à un ressort. Le bloc oscille entre des déplacements de \(-x\) et \(+x\).

    Disons que nous avons un bloc \(A\) attaché à un ressort. Que se passe-t-il si nous le comprimons jusqu'à la position \(+x\) et que nous le laissons ensuite aller ? Lorsque nous comprimons le bloc jusqu'à la position \(+x\), il gagne de l'énergie potentielle élastique. Lorsque le bloc revient à l'équilibre, il convertit son énergie potentielle en énergie cinétique. Le même phénomène se produit lorsqu'il s'étire jusqu'à la position \(-x\) ; il convertit son énergie cinétique en énergie potentielle élastique. En revenant à l'état initial, l'énergie potentielle est à nouveau convertie en énergie cinétique. L'énergie mécanique est conservée si le bloc se trouve dans un système fermé, ce qui signifie qu'il n'y a pas de dissipation ou d'ajout d'énergie. C'est pourquoi les énergies cinétique et potentielle se convertissent sans arrêt, mais leur valeur totale combinée reste constante.

    Graphiques de l'énergie et du temps de déplacement

    Prenons maintenant un exemple de mouvement harmonique simple (SHM). Tu trouveras ci-dessous deux graphiques qui décrivent ce qui arrive au bloc \(A\) (de l'image ci-dessus) lorsqu'il oscille d'avant en arrière.

    Graphique du temps de déplacement

    Ce graphique montre la position du bloc \(A\) en fonction du temps.

    Graphique de l'énergie et du temps Graphique de la position et du temps d'un bloc oscillant entre les positions -x et +x StudySmarterFig. 3 - Il s'agit d'un graphique position-temps qui montre le changement de position du bloc \(A\) dans le temps. Le graphique part de la position \(+x\) parce que le bloc est étiré et relâché. Le bloc continuera à osciller entre \(+x\) et \(-x\).

    Le mouvement trace une courbe sinusoïdale. Remarque qu'il a une amplitude de \(x\) et une période de \(4\,\mathrm{s}\). Rappelle-toi que l'amplitude est la hauteur de la courbe à partir de \(0\) et que la période est le temps qu'il faut à la courbe pour passer d'un pic à un autre pic.

    Graphique de l'énergie cinétique et potentielle en fonction du temps

    Ce graphique est le graphique énergie-temps pour le bloc \(A\).

    Graphique de l'énergie et du temps Graphique de l'énergie et du temps d'un bloc oscillant entre les positions -x et +x StudySmarterFig. 4 - Il s'agit du graphique énergie-temps du bloc \(A\). Alors que la courbe verte montre l'énergie potentielle élastique, la courbe rouge montre l'énergie cinétique.

    Grâce à ces deux graphiques, nous pouvons comprendre comment le bloc se déplace, ainsi que la façon dont il transfère son énergie. Prenons les choses étape par étape.

    1. Après que le bloc a été comprimé jusqu'à la position \N(+x\N) puis relâché, il passe d'abord du point d'équilibre comme indiqué dans le graphique position-temps entre \N(0-1\N,\Nmathrm{sec}\N)et la position \N(+x\N). Il perd alors toute son énergie potentielle et la convertit en énergie cinétique.
    2. En revenant à la position \N(-x\N) entre \N(1-2\N,\Nmathrm{sec}\N), il convertit son énergie cinétique en énergie potentielle car le ressort est étiré.
    3. À \(t=2s\), le sens de la course s'inverse et le bloc est accéléré pour revenir vers le point d'équilibre.
    4. Il passe de la position d'équilibre en convertissant son énergie potentielle en énergie cinétique entre les \(2-3\N,\Nmathrm{sec}\N).
    5. Et une fois de plus, il convertit son énergie cinétique en énergie potentielle entre \(4-5\,\mathrm{sec}\).

    Ce cycle se poursuit à l'infini, car en SHM, l'effet du frottement est ignoré et l'énergie mécanique est conservée.

    Lorsque l'objet est en position d'équilibre, toute son énergie est de l'énergie cinétique ; lorsqu'il est en déplacement maximal, c'est de l'énergie potentielle.

    La formule de l'énergie de l'oscillateur

    Pendant l'oscillation, alors que l'énergie mécanique est constante, les énergies cinétique et potentielle peuvent varier avec le temps. Par exemple, la variation de l'énergie potentielle d'un oscillateur linéaire dépend de la compression ou de l'étirement du ressort, soit \(x(t)\mathrm{.}\).

    D'après les principes du mouvement harmonique simple, nous pouvons exprimer le déplacement à tout moment comme suit : \(x(t)=x_\text{m} \Ncos{(\Noméga t + \Nphi )}\N- où \N(x(t)\Nest la fonction du déplacement par rapport au temps, \N(x_\Ntext{m} \Nest le déplacement maximum, \N(\Noméga \N) est la vitesse angulaire, \N(t\N) est le temps, et \N(\Nphi \N) est le déphasage de la fonction cosinus.

    L'énergie potentielle élastique est calculée comme \(U=\frac{1}{2}\ kx^2 \), nous pouvons donc insérer \(x(t)\) dans la formule de l'énergie potentielle comme suit :

    $$U(t)=\frac{1}{2}\\ kx^2 = \frac{1}{2}\k(x_\text{m} \cos{(\mega t + \phi )}) ^2$$

    $$U(t) = \frac{1}{2}\\\ k x_\text{m} ^2 \cos^2{(\omega t + \phi)}\mathrm{.}$$$

    En revanche, la variation de l'énergie cinétique dépend de la vitesse du bloc. Nous savons que l'énergie cinétique peut être trouvée à partir de \N(K=\frac{1}{2}\Nmv^2 \N). Si \(x(t) = x_\text{m} \Ncos{(\Nméga t + \Nphi )}\N), nous pouvons dériver la vitesse comme \N(V(t) = - \Nméga x_\Ntext{m} \sin{(\omega t + \phi )}\).

    Nous pouvons insérer cette formule dans celle de l'énergie cinétique,

    $$K(t)=\frac{1}{2}\ m(v(t))^2 = \frac{1}{2}\ m(-\omega x_\text{m}) \sin{(\omega t + \phi )})^2$$.

    $$K(t) = \frac{1}{2}\ m \omega ^2 x_\text{m} ^2 \sin^2{(\omega t +\phi )}\mathrm{,}$$.

    et puisque \(\omega ^2 = \frac{k}{m}\), nous pouvons transformer la formule de l'énergie cinétique en

    $$K(t) = \frac{1}{2}\\ k x_\text{m} ^2 \sin^2{(\omega t + \phi )}\mathrm{.}$$.

    Pendant l'oscillation, l'énergie mécanique totale \(E\) est conservée. Ainsi, la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle est égale à l'énergie mécanique :

    $$E=U+K$$

    $$E=\frac{1}{2}\\ k x_\text{m} ^2 \cos^2{(\omega t + \phi )} + \frac{1}{2}\ k x_\text{m} ^2 \sin^2{(\omega t +\phi )}\mathrm{.}$$.

    Puisque \(\frac{1}{2}\\ k x_\text{m} ^2 \) est la partie commune de l'équation, nous pouvons réécrire la somme comme suit.

    $$E=\frac{1}{2}\\ k x_\text{m} ^2 (\cos^2{(\omega t + \phi )} + \sin^2{(\omega t + \phi )})\mathrm{.}$$.

    Il est important de savoir que \(\sin^2{a} + \cos^2{a} = 1\). La somme sera donc égale à \(E=\frac{1}{2}\k x_\text{m} ^2 \).

    En SHM, l'énergie mécanique totale est indépendante du temps ! Elle ne dépend que de la constante du ressort et de l'amplitude.

    Graphique énergie-temps du condensateur

    Jusqu'à présent, nous avons seulement montré comment les graphiques énergie-temps peuvent nous aider à comprendre les oscillateurs. Mais ce n'est pas leur seule utilité ! Les graphiques énergie-temps peuvent également nous aider à modéliser l'énergie des condensateurs.

    Bien que l'AP Physics 2 se concentre principalement sur l'électricité et le magnétisme, il est toujours utile de savoir que les graphiques énergie-temps ont d'autres utilisations que la modélisation des problèmes de mécanique. Le graphique énergie-temps d'un condensateur est généralement logarithmique ou exponentiel. Tu trouveras ci-dessous un exemple d'énergie (U) en fonction du temps (t) pour un condensateur en cours de charge.

    Graphique de l'énergie et du temps Condensateur Graphique de l'énergie et du temps StudySmarterFig. 5 - Voici à quoi pourrait ressembler un graphique énergie-temps pour un condensateur.

    Ce graphique montre qu'un condensateur gagne de l'énergie à un rythme décroissant au fur et à mesure qu'il s'approche de sa charge maximale.

    Calcul de l'énergie donnée par le graphique puissance-temps

    Il n'y a pas d'application réelle pour la surface sous un graphique énergie-temps, à moins que nous ne parlions de physique quantique et de déphasage. À mon avis, les seules connaissances que tu as sur la physique quantique proviennent d'Avengers : Endgame (qui est tout faux : choquant !), alors nous n'irons pas dans ce trou de lapin.

    La pente d'un graphique énergie-temps nous dit cependant quelque chose d'utile. Mais avant d'en parler, nous avons besoin d'un peu de contexte.

    La puissance est égale au taux d'énergie en fonction du temps. Par conséquent, la puissance nous donne une mesure de la force de frappe de notre énergie. Une petite quantité d'énergie sur une grande période de temps nous donnera peu de punch. Alors qu'une grande quantité d'énergie sur une petite période de temps nous donne une grande force de frappe. Une équation pertinente pour ce principe est la suivante

    $$P=\frac{\Delta E}{\Delta t}\\\mathrm{.} $$

    De cette connaissance, nous déduisons que la pente d'un graphique énergie-temps est égale à la puissance ! Rappelle-toi que la pente est le taux de variation de \(y\) sur le taux de variation de \(x\). Puisque l'énergie est le \(y\N) et le temps le \N(x\N), en introduisant ces données dans l'équation de la pente, on obtient

    $$m=\frac{\Delta E}{\Delta t}\$$

    où \(m\) est la pente. C'est l'équation exacte de la puissance. Pour illustrer ce principe, nous allons passer en revue le graphique énergie-temps ci-dessous.

    Graphique de l'énergie et du temps Courbe de l'énergie et du temps Pente Exemple StudySmarterFig. 6 - La pente d'une courbe énergie-temps est la puissance

    La figure 6 montre que la pente d'un graphique Énergie-Temps est égale à la puissance. Pour trouver la puissance de la fonction ci-dessus de l'énergie par rapport au temps, il suffit de trouver la pente :

    $$\begin{align*} m&=\frac{\Delta y}{\Delta x} \\N m&=\frac{\N100,\mathrm{J}-0,\mathrm{J}}{\N1,\mathrm{s}-0,\mathrm{s} = 100\Nmathrm{\frac{J}{s}} \\ m&=\text{Power}=100\,\mathrm{\frac{J}{s}.} \\N- \N- \N- \Nend{align*}}$$$

    L'énergie est égale à la surface du graphique de la puissance en fonction du temps parce que la puissance est égale à l'énergie en fonction du temps, donc l'énergie est égale à la puissance multipliée par le temps :

    $$\Delta E = P\Delta t.$$

    Graphique de l'énergie cinétique en fonction du temps et mouvement harmonique simple

    Maintenant, il est temps de donner quelques exemples.

    Supposons que le bloc du schéma ci-dessous ait une masse de \(m=2.00\,\mathrm{kg} \) et qu'il soit conçu pour osciller à l'extrémité d'un ressort à la fréquence \(f=20.0\,\mathrm{Hz}\) et avec une amplitude \(x_m = 50.0\,\mathrm{cm}\).

    Energie Temps Graphique Bloc Oscillant Exemple StudySmarterFig. 7 - À \(x=0\), l'énergie potentielle est entièrement convertie en énergie cinétique.

    a) Quelle est l'énergie mécanique totale \(E\) du système ressort-bloc ?

    b) Quelle est la vitesse du bloc lorsqu'il passe par la position d'équilibre ?

    Solution

    a) L'énergie mécanique dépend de la constante du ressort et de l'amplitude et peut être visualisée à l'aide du graphique ci-dessous.

    Graphique de l'énergie et du temps Énergie mécanique de l'énergie Graphique de l'énergie et du temps StudySmarterFig. 8 - Au maximum ou au minimum de l'amplitude, toute l'énergie est stockée dans le potentiel élastique. À \(0\), toute l'énergie du ressort est transférée en énergie cinétique.

    Dans l'exemple, la fréquence et la masse du bloc sont données pour que nous puissions calculer la constante du ressort en utilisant \(\omega ^2 = \frac{k}{m}\\\). De plus, \(\omega \) dépend de la fréquence et est égale à \(\omega = 2\pi f\). Par conséquent, nous pouvons calculer :

    $$(2\pi f)^2 =\frac{k}{m}\N$.

    $$4\pi ^2 f^2 = \frac{k}{2}\$$

    pour nous donner une réponse de

    $$k=8\pi ^2(20.0\,\mathrm{Hz})^2=3.16 \times 10^4 \,\mathrm{\frac{N}{m}\}\mathrm{.}$$$

    Maintenant que nous avons trouvé la constante de ressort \(k\), nous pouvons calculer l'énergie mécanique (sans oublier de convertir l'amplitude en unités de mètres !):

    $$E=\frac{1}{2}\\ k x_m ^2 $$

    $$E=\frac{1}{2}\\(3.16\times 10^4 \,\mathrm{\frac{N}{m}\\})(0.500\,\mathrm{m})^2$$

    $$E=3,95\\Nfois 10^3 \Nmathrm{J}\Nmathrm{.}$$$

    b) Lorsque le bloc passe la position d'équilibre, son énergie potentielle est convertie en énergie cinétique. L'énergie mécanique sera donc égale à l'énergie cinétique :

    $$\frac{1}{2}\k x_m ^2 = \frac{1}{2}\\ mv^2\mathrm{.}$$.

    A partir de cette équation, on peut trouver la vitesse :

    $$3.95\times 10^3 \,\mathrm{J}=\frac{1}{2}\\(2.00\,\mathrm{kg})v^2$$

    3,95 fois 10^3 \Nmathrm{J}=v^2$$.

    $$\sqrt{3.95\times 10^3 \,\mathrm{J}}=\sqrt{v^2}$$$

    $$v=62.8\,\mathrm{\frac{m}{s}\\}\mathrm{.}$$

    C'était un véritable tour de montagnes russes ! Il y a eu beaucoup de va-et-vient, des hauts et des bas, et encore plus d'arrêts et de chutes. J'espère qu'à présent, tu n'as plus la nausée à cause de toute cette frénésie physique et que tu es prêt à assimiler les points essentiels de notre article sur les graphiques énergie-temps.

    Graphique de l'énergie et du temps - Principaux points à retenir

    • Les systèmes dotés d'une structure interne ont une énergie potentielle. Un système peut avoir une énergie potentielle si les objets qui le composent interagissent avec des forces conservatrices.

    • Si la composition du système change, l'énergie potentielle peut changer. Les oscillateurs masse-ressort en sont un exemple.

    • Dans un système fermé, l'énergie mécanique est constante pendant l'oscillation.

    • L'énergie mécanique est indépendante du temps.

    • L'énergie mécanique dépend de l'amplitude et de la constante du ressort.

    • Les énergies cinétique et potentielle dépendent du temps et se convertissent l'une en l'autre pendant l'oscillation.

    • Les énergies cinétique et potentielle d'un système constituent l'énergie interne du système.

    • Comme l'énergie est constante dans un système fermé, les changements dans l'énergie potentielle d'un système peuvent entraîner des changements dans l'énergie cinétique du système.

    • Il n'y a pas d'application réelle pour l'aire sous un graphique énergie-temps.

    • La puissance est la pente d'un graphique énergie-temps.

    • Nous pouvons utiliser les graphiques énergie-temps pour modéliser l'énergie d'un condensateur.

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    Questions fréquemment posées en Graphique de l'énergie en fonction du temps
    Qu'est-ce qu'un graphique de l'énergie en fonction du temps?
    Un graphique de l'énergie en fonction du temps montre comment l'énergie varie au cours du temps. Les axes sont généralement le temps (x) et l'énergie (y).
    À quoi sert un graphique de l'énergie en fonction du temps?
    Un graphique de l'énergie en fonction du temps sert à visualiser et analyser les changements d'énergie dans un système physique au fil du temps.
    Quels types d'énergie peut-on représenter sur ce graphique?
    On peut représenter diverses formes d'énergie comme l'énergie cinétique, potentielle, thermique, ou élastique en fonction du contexte de l'expérience.
    Comment interpréter les courbes sur un graphique de l'énergie en fonction du temps?
    Interpréter les courbes consiste à examiner les variations d'énergie: une courbe ascendante indique une augmentation d'énergie, tandis qu'une courbe descendante indique une diminution.

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    Lorsque l'objet est en position d'équilibre, toute son énergie est cinétique.

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