Accélération angulaire

1. Détermine l'accélération angulaire pendant que le volant d'inertie est accéléré et pendant qu'il tourne librement.
2. Trace la vitesse angulaire et l'accélération en fonction du temps.

Pour trouver l'accélération angulaire au cours de chaque période, nous pouvons utiliser la formule de l'accélération angulaire puisque nous connaissons les vitesses angulaires initiale et finale. Nous appelons l'accélération angulaire subie au cours des 5 premières secondes \(\alpha_1\) et celle des 10 secondes suivantes \(\alpha_2\) et nous la calculons :

\[\alpha_1=\dfrac{10\,\mathrm{rad/s}-0\,\mathrm{rad/s}}{5\,\mathrm{s}-0\,\mathrm{s}}=2\,\mathrm{rad/s}^2\]

\[\alpha_2=\dfrac{9\,\mathrm{rad/s}-10\,\mathrm{rad/s}}{15\,\mathrm{s}-5\,\mathrm{s}}=-0.1\,\mathrm{rad/s}^2\]

Pour représenter la vitesse et l'accélération en fonction du temps, nous traçons les valeurs à chacun de nos points temporels connus (\(0\, \mathrm{s}\), \(5\,\mathrm{s}\) et \(15\,\mathrm{s}\)) et nous les relions par des lignes droites parce que les accélérations angulaires sont constantes à chaque période.

Tracé de la vitesse angulaire (jaune) et de l'accélération angulaire (bleu) du volant d'inertie de 0 à 15 secondes, StudySmarter Originals.

Un ventilateur est immobile avec un déplacement angulaire de 90 degrés (\(\frac{\pi}{2}\,\mathrm{rad}\)). Lorsque le ventilateur est mis en marche à \(t=0\,\mathrm{s}\), il commence à tourner avec une accélération angulaire de \(2\pi\N,\mathrm{rad/s}^2\). Trouve la vitesse angulaire et le déplacement angulaire du ventilateur à \(t=3\,\mathrm{s}\).

Pour trouver la vitesse angulaire du ventilateur, nous pouvons réarranger l'équation cinématique angulaire pour l'accélération :

\[\alpha=\dfrac{\omega_f-\omega_i}{t_f-t_i}\]

donc

\[\omega_f=\alpha(t_f-t_i)+\omega_i\]

Par conséquent, la vitesse angulaire \(\omega_f\) du ventilateur après l'accélération est de

\[\omega_f=2\pi\,\mathrm{\tfrac{rad}{s^2}}\times (3\,\mathrm{s}-0\,\mathrm{s})+0\,\mathrm{\tfrac{rad}{s}}=6\pi,\mathrm{\tfrac{rad}{s}}\]

Pour trouver le déplacement angulaire du ventilateur après une accélération de 3 secondes, nous pouvons utiliser l'équation du déplacement :

\[\begin{align}\theta &=\omega_i(t_f-t_i)+\frac{1}{2}\alpha(t_f-t_i)^2=\\&=0\,\mathrm{\tfrac{rad}{s}}\times (3\,\mathrm{s}-0\,\mathrm{s})+\frac{1}{2}\times 2\pi\,\mathrm{\tfrac{rad}{s^2}}\times (3\,\mathrm{s}-0\,\mathrm{s})^2=\\&=9\pi\,\mathrm{rad}\end{align}\]

Cela nous donne la quantité de déplacement qui s'est produite au cours de la période de temps, donc pour trouver le déplacement actuel, nous devons ajouter le déplacement angulaire initial de \(\frac{\pi}{2}\,\mathrm{rad}\). Par conséquent, le déplacement angulaire du ventilateur à 3 secondes est de \N(9,5\Npi\N,\Nmathrm{rad}\N). Cependant, comme il n'y a que \N(2\pi\N,\Nmathrm{rad}\N) dans une rotation complète, ce déplacement peut être simplifié à \N(1,5\N,\Nmathrm{rad}\N), ce qui équivaut à un angle de \N(270^\Ncirc;\N).