T'es-tu déjà demandé quelle était la distance entre la Terre et la Lune ? Pourrais-tu deviner ce qu'elle pourrait être en mètres ? D'après une étude réalisée par la NASA, cette distance est d'environ 382 500 000 mètres. Je ne sais pas ce qu'il en est pour toi, mais cela fait beaucoup de chiffres pour moi. Mais ne t'inquiète pas. C'est là que la notation scientifique entre en jeu ! Elle nous fournit une méthode pour traiter plus facilement des nombres extrêmement grands ou petits.
Dans cet article, nous aborderons le concept de notation scientifique. En outre, nous nous familiariserons avec une technique qui démontre comment nous pouvons convertir un nombre de la forme standard à la notation scientifique correspondante et vice versa.
Notation scientifique : définition
Pour commencer notre sujet, définissons d'abord la signification d'une notation scientifique.
La notation scientifique, également appelée forme standard, est une méthode qui permet d'exprimer (ou de réécrire) un nombre à plusieurs chiffres de manière compacte. Elle se présente sous la forme : \[a \times 10^{b}\]
où \(1\leqslant\mid a \mid<10\) et \(b\) est un entier.
C'est une façon très efficace d'écrire de très grands nombres ou de très petits nombres. Il peut être utile de noter que pour la structure introduite ci-dessus, c'est-à-dire \(a \times 10^b\) où \(1\leqslant\mid a \mid<10\), \(a\) est le coefficient et 10 est une base constante. Le tableau ci-dessous présente plusieurs exemples de notation scientifique.
| Nombre | Notation scientifique | valeurs a et b |
| 2 | \(2\times 10^0\) | \(a=2\ ; b=0\) |
| 20 | \(2 \times 10^1\) | \(a=2\ ; b=1\) |
| 200 | \(2\times 10^2\) | \(a=2\ ; b=2\) |
Cela signifie qu'un nombre plus important peut être réécrit de manière plus courte en augmentant la puissance de \(10\). En d'autres termes, la valeur de \(b\).
Par coïncidence, cela fonctionne également dans le sens inverse. Les nombres particulièrement proches de zéro peuvent également être exprimés de cette manière en changeant le signe de l'exposant. Voici un tableau qui présente quelques exemples.
| Nombre | Notation scientifique | valeurs a et b |
| 0.2 | \(2\times 10^{-1}\) | \(a=2\ ; b=-1\) |
| 0.02 | \(2\times 10^{-2}\) | \(a=2\ ; b=-2\) |
| 0.002 | \(2\times 10^{-3}\) | \(a=2\ ; b=-3\) |
Écrire en notation scientifique
Un nombre peut être écrit en notation scientifique en exprimant la valeur comme un nombre compris entre 1 et 10 multiplié par une puissance de 10. Par exemple, le nombre \(700\) peut être écrit sous la forme \(7\times 10^2\). Le nombre \(7\times 10^2\) est alors la notation scientifique de \(700\).
Le format de la notation scientifique est \(a\times 10^b\) où :
- \(a\) est un nombre entier ou un nombre décimal tel que la valeur absolue de \(a\) est supérieure ou égale à un et inférieure à dix ;
- \(b\) est la puissance de 10 nécessaire pour que la notation scientifique soit mathématiquement équivalente au nombre original.
Notation scientifique d'un nombre
Pour écrire un nombre en notation scientifique, il faut respecter les règles suivantes :
- La base est toujours 10.
- La valeur du coefficient est toujours supérieure ou égale à 1 et inférieure à 10.
- Les coefficients peuvent également être des valeurs positives ou négatives.
- Le nombre \(a\) qui contient les chiffres significatifs du nombre s'appelle la mantisse.
La mantisse est le nombre compris entre 1 et 10 devant la puissance de 10 dans la notation scientifique qui contient les chiffres significatifs.
Notation scientifique exemple
Dans cette section, nous allons examiner un exemple pratique impliquant la notation scientifique.
- \(650\,000\,000 = 6{,}5 \times 10^8\)
- \(75= 7{,}5 \times 10^1=7{,}5 \times 10\)
- \(0{,}00001=1\times 10^{-5}\)
- \(1\,230\,000\,000=1{,}23 \times 10^9\)
Remarque que toutes les conditions d'écriture des notations scientifiques sont réunies dans l'exemple ci-dessus :
- la base de chaque exemple est 10 ;
- les coefficients sont supérieurs ou égaux à 1 et inférieurs à 10 ;
- et l'exposant de la base est pris en compte pour la mantisse.
Erreurs courantes dans la notation scientifique
Bien que la méthode qui sous-tend la notation scientifique soit simple, il existe encore quelques erreurs courantes que tu dois prendre en compte afin de ne pas tomber dans le piège des fautes d'inattention dans ton travail. Voici un exemple où les notations scientifiques ne sont pas valables.
\(76400=76{,}4\times 10^3\)
Ce n'est pas correct car le coefficient doit être compris entre 1 et 10. Dans ce cas, il doit être \(7{,}64\), et non \(76{,}4\). La réponse correcte est \[76400 = 7{,}64\times 10^4\]
Voici un autre exemple concret.
\(160 = 2{,}5 \times 8^2\)
Bien que cette équation soit vraie, elle ne constitue pas une notation scientifique valide. Remarque la base utilisée dans l'exemple ci-dessus. Rappelons que toutes les notations scientifiques possèdent une base de 10. Dans le cas présent, la base est 8. Par conséquent, la réponse correcte devrait être \[160 = 1{,}6 \times 10^2\]
Prenons un dernier exemple avant de passer à la section suivante.
\(0{,}034=34\times 10^{-3}\)
Comme précédemment, le coefficient doit être compris entre 1 et 10. Dans ce cas, il est supérieur à 10. La notation scientifique correcte serait \[3{,}4 \times 10^{-2}\]
Forme standard et notation scientifique
Dans cette section, nous allons apprendre à faire passer un nombre donné par sa forme standard à la notation scientifique.
Conversion des nombres sous forme standard en notation scientifique
Pour comprendre comment nous pouvons convertir des nombres sous forme standard en leur notation scientifique appropriée, nous allons vous présenter deux cas.Cas 1 : La virgule se déplace vers la gauche si le nombre donné est supérieur à 10.Cela signifie que la puissance de 10 ici sera une valeur positive. Voici un exemple.La population mondiale est actuellement de \(7\,000\,000\,000\). Pour l'exprimer en notation scientifique, nous pouvons l'écrire comme suit \[7\,000\,000\,000 = 7\times 10^9\]
Cas 2 : La virgule se déplace vers la droite si le nombre donné est inférieur à 1.
Dans ce cas, la puissance de 10 deviendra une valeur négative. En voici un exemple.
Si nous devons écrire le diamètre d'un grain de sable, nous obtiendrons : \[0{,}0024 = 2{,}4 \times 10^{-3}\]
Conversion d'un nombre en notation scientifique au format standard
Il n'y a pas de règle particulière à suivre pour convertir un nombre de la notation scientifique à la forme standard. Cependant, il y a quelques points de repère à prendre en compte.
- Déplacer la virgule vers la droite si l'exposant de la base est positif.
- Déplacer la virgule vers la gauche si l'exposant de la base est négatif.
- Déplacez la virgule autant de fois que l'indique l'exposant.
- Dans la forme standard, on n'écrit plus multiplié par 10.
Prenons quelques exemples pour voir comment cela se passe.
La notation scientifique de la distance entre la Terre et la Lune est de \(3{,}825 \times 10^8\) mètres. Comment représenterais-tu ce nombre sous forme standard ?
Solution
Puisque l'exposant de la base est positif, déplace la virgule vers la droite. Au troisième déplacement, nous devrions être à 3825. Cela signifie que tout déplacement ultérieur ajoute un 0 au chiffre. Cela ajoutera 5 zéros de plus au nombre. Il en résulte donc \(382\,500\,000\) mètres.
Voici un autre exemple.
La longueur d'onde la plus courte de la lumière visible est considérée comme étant de l'ordre de \(4{,}0 \times 10^{-7}\) mètres. Ecris-la sous forme standard.
Solution
La virgule sera déplacée vers la gauche puisque l'exposant de la base est négatif. Un déplacement de la virgule nous amène à \(0{,}4\). Cependant, nous devons effectuer tous les déplacements. Chaque mouvement suivant ajoutera un zéro avant le 4. Nous aurons donc 0.0000004 m.
Opérations arithmétiques avec la notation scientifique
Dans cette partie, nous verrons comment effectuer des opérations arithmétiques de base avec des nombres en notation scientifique. La notation scientifique peut s'avérer assez complexe et déroutante lorsqu'il s'agit de nombres extrêmement grands ou très petits. L'objectif de la notation scientifique est de faciliter la lecture, l'écriture et le calcul des nombres. Les nombres en notation scientifique peuvent être additionnés, soustraits, multipliés et divisés tant qu'ils sont en notation scientifique.
Addition et soustraction de nombres en notation scientifique
Les étapes suivantes permettent d'additionner et de soustraire des nombres en notation scientifique.
- Fais en sorte que les deux nombres que tu essaies d'additionner ou de soustraire aient le même exposant en réécrivant le nombre avec le plus petit exposant et en déplaçant la virgule sur son nombre décimal le nombre de fois requis.
- Additionne ou soustrais ces nombres décimaux.
- Écris ton nombre en notation scientifique si nécessaire.
Voici un exemple qui illustre cette méthode.
\((6{,}7\times 10^4) + (5{,}87 \times 10^5)\)
En réécrivant le nombre, on obtient
\[(0{,}67\times 10^5) + (5{,}87 \times 10^5)\]
Nous aurons désormais ;
\[(0{,}67 + 5{,}87).10^5\] \[\rightarrow 6{,}54 \times 10^5\]
Multiplication et division en notation scientifique
Les étapes suivantes permettent de multiplier ou de diviser des nombres en notation scientifique.
- Multiplie ou divise les nombres décimaux.
- Maintenant, multiplie en ajoutant les exposants ou divise en soustrayant les exposants de 10 des nombres décimaux.
- Écris ta réponse en notation scientifique si nécessaire.
Voici un exemple concret.
Pour calculer, \((8{,}4 \times 10^{-3})(6{,}1 \times 10^6)\) on obtient : \[8{,}4 \times 6{,}1 = 51{,}24\]
Et, \[10^{-3} \times 10^6 = 10^3\]
Nous aurons désormais : \[51{,}24 \times 10^3 = 5{,}124 \times 10^4\]
Multiplier les notations scientifiques revient à trouver le produit de leurs coefficients et à additionner leurs exposants. À cet égard, les diviser revient également à trouver leur quotient et à soustraire leurs exposants.
Notation Scientifique - Points clés
- La notation scientifique est une manière de réécrire les nombres à plusieurs chiffres de façon compacte sous la forme \(a\times 10^b\) où \(1\leqslant\mid a \mid<10\) et \(b\) est un nombre entier.
- La valeur du coefficient est toujours supérieure ou égale à 1 et inférieure à 10.
- La base en notation scientifique est toujours 10.
- Lorsque vous additionnez ou soustrayez des nombres en notation scientifique, assurez-vous que tous les exposants impliqués ont la même valeur.
- Lorsque vous multipliez en notation scientifique, multipliez les coefficients et ajoutez les exposants de la base.
- Lorsque vous divisez en notation scientifique, divisez les coefficients et soustrayez les exposants de la base.
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