Équilibre Statique

Équation de l'équilibre statique

Nous allons étudier deux scénarios pour illustrer le concept de l'équilibre statique ; le premier sera une situation dans laquelle il n'y a que des forces et aucun couple et le second contiendra à la fois des forces et des couples.

Scénario 1 : Forces seulement

Nous pouvons examiner un exemple pour déterminer une équation qui expliquera mathématiquement l'équilibre statique. Comme le montre la figure ci-dessous, supposons qu'un bloc immobile sur un sol rugueux subisse une force appliquée \(F\) vers la droite, avec une force de frottement \(f\) s'y opposant, agissant vers la gauche. Le poids de la boîte (W) agit en son centre et verticalement vers le bas et la force de contact normale (N) agit vers le haut sur le bloc.

Fig. 1. Quatre forces agissent dans des directions différentes sur un bloc. Les forces opposées sont de même ampleur, ce qui le maintient en équilibre statique puisqu'il n'est pas en mouvement ,

La force normale et le poids sont égaux en magnitude mais opposés en direction l'un de l'autre, et il en va de même pour la force appliquée et la force de frottement. L'effet du frottement annule l'effet de la force appliquée et l'effet du poids annule l'effet de la force normale ; le bloc ne bouge pas puisque la somme des forces et la somme des couples sur lui sont toutes deux nulles et qu'il était initialement immobile. On dit que la boîte est en équilibre statique parce que :

1. La somme de toutes les forces exercées sur le bloc est nulle,

2. aucun couple n'agit sur le bloc, le couple total est donc nul, et

3. le bloc reste au repos.

Mathématiquement, nous pouvons écrire ces conditions comme suit :

1. \N(F-f=0\N) et \N(N-W=0\N),
2. \(T=0\),
3. \(v=0\).

en utilisant \(T\) pour représenter le couple sur le bloc et \(v\) pour représenter la vitesse du bloc. Note que les signes "moins" proviennent du fait que \N(F\N) et \N(f\N) sont dans des directions opposées, tout comme \N(N\N) et \N(W\N).

Scénario 2 : Forces et couples

Considérons maintenant un cas où des couples sont impliqués, et pour cela, nous utiliserons l'exemple d'une balançoire à bascule uniforme comme dans la figure ci-dessous. Un garçon et une fille se tiennent tous deux de part et d'autre du point de pivot, qui se trouve au centre de la poutre de la balançoire. Le poids du garçon est de \(W_1\) et le poids de la fille est de \(W_2\). La force de contact normale \(N\) que le pivot exerce sur la poutre est égale à la somme des poids du garçon et de la fille, mais dans la direction opposée (vers le haut). Le couple qui est exercé sur la poutre en raison du poids du garçon est \(T_1\), le couple dû au poids de la fille est \(T_2\), et ces couples sont respectivement dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et dans le sens des aiguilles d'une montre. Les couples sont de magnitude égale, de sorte que la balançoire ne tourne pas.

Fig. 2. Un garçon et une fille sur une bascule qui est en équilibre statique puisque la somme des forces est nulle, la somme des couples est nulle et la bascule est immobile.

Cette bascule ne bouge pas et on peut dire qu'elle est en équilibre statique car les critères ci-dessus sont tous respectés :

1. la somme de toutes les forces qui s'exercent sur la bascule est nulle,

2. la somme de tous les couples agissant sur la bascule est nulle, et

3. la balançoire reste au repos.

Nous pouvons à nouveau les écrire mathématiquement, ce qui nous donne les équations suivantes :

1. \N(W_1+W_2-N=0\N),
2. \N(T_1-T_2=0\N),
3. \N(v=\Noméga=0\N).

où \(v\) et \(\omega\) représentent respectivement la vitesse linéaire et la vitesse angulaire de la balançoire.

Equations générales

Nous pouvons utiliser les équations ci-dessus pour écrire une forme mathématique générale des critères d'équilibre statique. En utilisant \(F_i\) pour représenter les forces agissant sur un système, \(T_i\) pour représenter les couples, et \(v\) et \(\omega\) pour représenter respectivement les vitesses linéaire et angulaire, les équations générales peuvent être écrites comme suit :

1. \N(F_i=0\N),
2. \N(T_i=0\N),
3. \(v=\omega=0\).

Ces équations s'appliquent à tous les systèmes en équilibre statique. Si l'une des équations n'est pas vraie pour un système, alors ce système n'est pas en équilibre statique.

Équilibre statique et équilibre dynamique

Nous pouvons maintenant comparer l'équilibre statique et l'équilibre dynamique. Les deux sont très similaires à une seule différence près : dans l'équilibre dynamique, le système peut être en mouvement. Il est facile de voir que ce dernier critère est la seule différence entre les deux types d'équilibre. Nous pouvons tabuler les critères qui définissent les équilibres statiques et dynamiques pour voir cette différence.

Le dernier critère découle de la première loi de Newton ; un objet restera au repos ou se déplacera à une vitesse constante si la somme des forces qui s'exercent sur lui est nulle. Si l'objet ne se déplace pas à vitesse constante, la somme des forces n'est pas nulle et le premier critère n'est pas respecté ; le système n'est ni en équilibre statique ni en équilibre dynamique.

Nous pouvons examiner un exemple d'équilibre dynamique en considérant le cas où le bloc du scénario 1 ci-dessus est maintenant en mouvement, comme dans la figure ci-dessous. Les quatre mêmes forces agissent sur le bloc, mais il se déplace à une vitesse constante \(v\) vers la droite.

Fig. 3. Quatre forces agissent dans des directions différentes sur un bloc. Les forces opposées sont de même ampleur, ce qui le maintient en équilibre dynamique puisqu'il se déplace à une vitesse constante.

Exemple d'équilibre statique

Prenons le scénario 2 ci-dessus comme exemple et comme occasion de tester nos connaissances sur l'équilibre statique.

Force résultante et équilibre statique

Nous voulons maintenant voir le lien entre l'équilibre statique et la force résultante. La force résultante peut être définie comme suit.

Cela signifie que nous pouvons réécrire les critères qui définissent l'équilibre statique comme suit :

1. La force résult ante sur le système est nulle,
2. la somme de tous les couples sur le système est nulle, et
3. toutes les particules/objets du système sont au repos.

Le seul changement est que nous introduisons le terme "force résultante" dans le premier critère. Il est difficile d'écrire "la somme de toutes les forces". Le terme "force résultante" est donc plus utile car il est équivalent et plus court.