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Définition de l'équilibre statique
L'équilibre statique est un concept que nous observons tous les jours mais dont nous ne tenons généralement pas compte. Il peut être défini comme suit.
L'équilibre statique est l'état de tout système dans lequel les trois critères suivants sont remplis.
- La somme de toutes les forces exercées sur le système est nulle,
- la somme de tous les couples sur le système est nulle, et
- toutes les particules/objets du système sont au repos.
Cela semble compliqué, mais si nous pensons à l'exemple de la lutte à la corde, la force que chaque équipe exerce sur la corde est égale mais dans des directions opposées, de sorte que la somme des forces est égale à zéro. Il n'y a pas de mouvement de rotation dans la corde, donc le couple est également nul. Enfin, la corde et les joueurs ne bougent pas, ou sont au repos. Ce système remplit toutes les conditions ci-dessus et on dit qu'il est en équilibre statique.
Les forces à l'origine de l'équilibre statique peuvent être très différentes d'un système à l'autre, mais le concept reste le même. L'équilibre statique peut être atteint quel que soit le type de forces agissant sur les objets de ce système.
Équation de l'équilibre statique
Nous allons étudier deux scénarios pour illustrer le concept de l'équilibre statique ; le premier sera une situation dans laquelle il n'y a que des forces et aucun couple et le second contiendra à la fois des forces et des couples.
Scénario 1 : Forces seulement
Nous pouvons examiner un exemple pour déterminer une équation qui expliquera mathématiquement l'équilibre statique. Comme le montre la figure ci-dessous, supposons qu'un bloc immobile sur un sol rugueux subisse une force appliquée \(F\) vers la droite, avec une force de frottement \(f\) s'y opposant, agissant vers la gauche. Le poids de la boîte (W) agit en son centre et verticalement vers le bas et la force de contact normale (N) agit vers le haut sur le bloc.
La force normale et le poids sont égaux en magnitude mais opposés en direction l'un de l'autre, et il en va de même pour la force appliquée et la force de frottement. L'effet du frottement annule l'effet de la force appliquée et l'effet du poids annule l'effet de la force normale ; le bloc ne bouge pas puisque la somme des forces et la somme des couples sur lui sont toutes deux nulles et qu'il était initialement immobile. On dit que la boîte est en équilibre statique parce que :
La somme de toutes les forces exercées sur le bloc est nulle,
aucun couple n'agit sur le bloc, le couple total est donc nul, et
le bloc reste au repos.
Mathématiquement, nous pouvons écrire ces conditions comme suit :
- \N(F-f=0\N) et \N(N-W=0\N),
- \(T=0\),
- \(v=0\).
en utilisant \(T\) pour représenter le couple sur le bloc et \(v\) pour représenter la vitesse du bloc. Note que les signes "moins" proviennent du fait que \N(F\N) et \N(f\N) sont dans des directions opposées, tout comme \N(N\N) et \N(W\N).
Scénario 2 : Forces et couples
Considérons maintenant un cas où des couples sont impliqués, et pour cela, nous utiliserons l'exemple d'une balançoire à bascule uniforme comme dans la figure ci-dessous. Un garçon et une fille se tiennent tous deux de part et d'autre du point de pivot, qui se trouve au centre de la poutre de la balançoire. Le poids du garçon est de \(W_1\) et le poids de la fille est de \(W_2\). La force de contact normale \(N\) que le pivot exerce sur la poutre est égale à la somme des poids du garçon et de la fille, mais dans la direction opposée (vers le haut). Le couple qui est exercé sur la poutre en raison du poids du garçon est \(T_1\), le couple dû au poids de la fille est \(T_2\), et ces couples sont respectivement dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et dans le sens des aiguilles d'une montre. Les couples sont de magnitude égale, de sorte que la balançoire ne tourne pas.
Cette bascule ne bouge pas et on peut dire qu'elle est en équilibre statique car les critères ci-dessus sont tous respectés :
la somme de toutes les forces qui s'exercent sur la bascule est nulle,
la somme de tous les couples agissant sur la bascule est nulle, et
la balançoire reste au repos.
Nous pouvons à nouveau les écrire mathématiquement, ce qui nous donne les équations suivantes :
- \N(W_1+W_2-N=0\N),
- \N(T_1-T_2=0\N),
- \N(v=\Noméga=0\N).
où \(v\) et \(\omega\) représentent respectivement la vitesse linéaire et la vitesse angulaire de la balançoire.
Equations générales
Nous pouvons utiliser les équations ci-dessus pour écrire une forme mathématique générale des critères d'équilibre statique. En utilisant \(F_i\) pour représenter les forces agissant sur un système, \(T_i\) pour représenter les couples, et \(v\) et \(\omega\) pour représenter respectivement les vitesses linéaire et angulaire, les équations générales peuvent être écrites comme suit :
- \N(F_i=0\N),
- \N(T_i=0\N),
- \(v=\omega=0\).
Ces équations s'appliquent à tous les systèmes en équilibre statique. Si l'une des équations n'est pas vraie pour un système, alors ce système n'est pas en équilibre statique.
Équilibre statique et équilibre dynamique
Nous pouvons maintenant comparer l'équilibre statique et l'équilibre dynamique. Les deux sont très similaires à une seule différence près : dans l'équilibre dynamique, le système peut être en mouvement. Il est facile de voir que ce dernier critère est la seule différence entre les deux types d'équilibre. Nous pouvons tabuler les critères qui définissent les équilibres statiques et dynamiques pour voir cette différence.
Critères d'équilibre statique | Critères de l'équilibre dynamique |
La somme de toutes les forces qui s'exercent sur le système est nulle. | La somme de toutes les forces exercées sur le système est nulle. |
La somme de tous les couples sur le système est nulle. | La somme de tous les couples sur le système est nulle. |
Toutes les particules/objets du système sont au repos. | Une ou plusieurs particules/objets du système se déplacent à une vitesse linéaire ou angulaire constante. |
Le dernier critère découle de la première loi de Newton ; un objet restera au repos ou se déplacera à une vitesse constante si la somme des forces qui s'exercent sur lui est nulle. Si l'objet ne se déplace pas à vitesse constante, la somme des forces n'est pas nulle et le premier critère n'est pas respecté ; le système n'est ni en équilibre statique ni en équilibre dynamique.
Nous pouvons examiner un exemple d'équilibre dynamique en considérant le cas où le bloc du scénario 1 ci-dessus est maintenant en mouvement, comme dans la figure ci-dessous. Les quatre mêmes forces agissent sur le bloc, mais il se déplace à une vitesse constante \(v\) vers la droite.
Exemple d'équilibre statique
Prenons le scénario 2 ci-dessus comme exemple et comme occasion de tester nos connaissances sur l'équilibre statique.
La figure ci-dessous montre un garçon et une fille de part et d'autre du point de pivot d'une balançoire. Le poids du garçon est de \(W_1=800\,\mathrm{N}\) et le poids de la fille est de \(W_2=600\,\mathrm{N}\). Le couple qui s'exerce sur la poutre en raison du poids du garçon est \N(T_1=1500\N,\Nmathrm{Nm}\N)et le poids de la fille est \N(W_2=600\N,\Nmathrm{Nm}\N). La bascule ne tourne pas et est en équilibre statique. Calcule la force de contact normale \(N\) que le pivot exerce sur la poutre et le couple sur la bascule dû au poids de la fille, \(T_2\).
Nous pouvons utiliser les deux premiers critères de l'équilibre statique pour déterminer les quantités inconnues dans ce problème. Tout d'abord, il faut que la somme des forces exercées sur la balançoire soit nulle :
\[\begin{align}W_1+W_2-N&=0\\N&=W_1+W_2\\&=800\,\mathrm{N}+600\,\mathrm{N}\\&=1400\,\mathrm{N}\end{align}\]
ce qui nous donne la force normale exercée sur la poutre à savoir (1400,\mathrm{N}\N). Note que le signe moins dans l'équation vient du fait que les poids du garçon et de la fille sont dans la direction opposée à la force normale.
Nous pouvons maintenant appliquer le deuxième critère pour déterminer le couple :
\[\N- Début{align} T_1-T_2&=0\\T_2&=T_1\\&=1500\,\mathrm{Nm}\end{align}\]
et le couple exercé sur la balançoire par le poids de la jeune fille est donc \(1500,\mathrm{Nm}\N).
Force résultante et équilibre statique
Nous voulons maintenant voir le lien entre l'équilibre statique et la force résultante. La force résultante peut être définie comme suit.
La force résult ante sur un objet est la somme de toutes les forces qui s'exercent sur cet objet.
Cela signifie que nous pouvons réécrire les critères qui définissent l'équilibre statique comme suit :
- La force résult ante sur le système est nulle,
- la somme de tous les couples sur le système est nulle, et
- toutes les particules/objets du système sont au repos.
Le seul changement est que nous introduisons le terme "force résultante" dans le premier critère. Il est difficile d'écrire "la somme de toutes les forces". Le terme "force résultante" est donc plus utile car il est équivalent et plus court.
Équilibre statique - Principaux enseignements
- L'équilibre statique est l'état de tout système dans lequel les trois critères suivants sont remplis.
- La somme de toutes les forces exercées sur le système est nulle,
- la somme de tous les couples sur le système est nulle, et
- toutes les particules/objets du système sont au repos.
Un ensemble d'équations générales pour les critères d'équilibre statique peut être écrit comme suit :
- \(F_i=0\),
- \N(T_i=0\N),
- \(v=\omega=0\).
- Pour l'équilibre dynamique, les deux premiers critères sont les mêmes que ceux de l'équilibre statique, mais le dernier critère se lit comme suit :
- Une ou plusieurs particules/objets du système se déplacent avec une vitesse linéaire ou angulaire constante.
- Le premier critère de l'équilibre statique peut être réécrit en termes de force résultante comme suit :
- La force résultante sur le système est nulle.
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